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\entete{Exercices sur les suites}{Exercices sur les suites}{1\up{ère}ES3}%g,d,b
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    \end{center}}




\begin{document}
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\thispagestyle{empty}





\psshadowbox*[fillcolor=0.9white,framearc=.25]{%
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\smallskip
{\LARGE\bfseries \begin{center} 1\up{ère}ES3 \hfill Exercices sur les suites
\end{center}}
\smallskip
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\exot{}


Une usine d'objets en résine fabrique des boîtiers de portable.\\
La machine fonctionne 7 jours sur 7 durant le mois de juin. La production est de $2\,500$ boîtiers le 31 mai.\\
A partir du 1er juin, la production augmente de 50 boitiers par jour.\\
Pour un client, on stocke la production du 11 juin au 24 juin inclus.\\
On nomme $u_n$ la production le jour $n$ du mois de juin.

\begin{enumerate}
\item Etablir la formule donnant $u_n$ en fonction de $n$ et calculer la production du 24 juin.
\item Calculer le nombre de boîtiers stockés pour le client.
\item On vend chaque boîtier $1,40$ \texteuro{} pièce, prix TTC.\\
Calculer le montant de la facture TTC pour le client.
\end{enumerate}


\exot{}

$(u_n)_{n \geqslant 0}$ est une suite géométrique de premier terme $5$ et de raison $3$.

\begin{enumerate}
\item Donner la relation de récurrence.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Donner le sens de variation de la suite. Justifier votre réponse.
\item Calculer $S=u_0+u_1+u_2+ \cdots +u_{10}$.
\end{enumerate}



\exot{}


  On considère la suite $u_n$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $\left\{
  \begin{array}[c]{l}
    u_0=2\\
    u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+1\textrm{, pour }n\in\mathbb{N}\\
  \end{array}\right.$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
\item La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
\item On définit la suite $(v_n)$ par $v_n=u_n-3$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
   \begin{enumerate}
   \item Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$.
   \item Déterminer la nature de la suite  $(v_n)$.
   \item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
   \end{enumerate}
\item
   \begin{enumerate}
   \item Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$, puis en fonction de $n$.
   \item Calculer $u_8$.
   \end{enumerate}
\end{enumerate}


\pagebreak

\exot{}


\begin{enumerate}
\item Parmi les suites suivantes, déterminer lesquelles sont arithmétiques (en justifiant votre réponse); le cas échéant, vous préciserez le premier terme $u_0$ et la raison $r$:\\

\begin{tabular}{l c l c l}
$u_n=25-6n$ pour $n\in\mathbb{N}$  &&  $u_n=n^2-3$ pour $n\in\mathbb{N}$ && $u_n=\dfrac{2+n}{5}$ pour $n\in\mathbb{N}$\\ 
&&&&\\
$u_n=n^2-(n+3)^2$ pour $n\in\mathbb{N}$ && $\left\{ \begin{array}{l} u_0=-7\\ u_{n+1}=9+u_n\text{ pour }n\geqslant0   \end{array} \right.$ && $\left\{ \begin{array}{l} u_1=15\\ u_{n+1}=3-u_n\text{ pour }n\geqslant1  \end{array} \right.$\\
\end{tabular}
\item Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $u_0=-7$. Ecrire la définition par récurrence de cette suite. Calculer $u_1$, $u_2$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $u_{10}$ et $u_{99}$.
\item Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r=\frac{2}{5}$ et telle que $u_8=0$. Calculer $u_0$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $u_{12}$ et $u_{999}$.
\item Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0=-10$ et $u_5=0$. Calculer la raison de cette suite. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $u_{25}$ et $u_{2005}$.
\item Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_8=10$ et $u_{14}=6$. Calculer la raison de cette suite. Calculer $u_0$. Ecrire la définition par récurrence de cette suite, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$. Enfin calculer $u_{303}$ et $u_{2005}$.
\item Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=-3$ et de raison $r=0,5$. Calculer $u_{10}$, $u_{30}$ et $u_{99}$, puis calculer les sommes $S_1=u_0+u_1+u_2+\dots+u_{99}$ et $S_2=u_{10}+u_{11}+u_{12}+\dots+u_{30}$.
\end{enumerate}



\exot{}

\begin{enumerate}
\item Parmi les suites suivantes, déterminer lesquelles sont géométriques (en justifiant votre réponse); le cas échéant, vous préciserez le premier terme $u_0$ et la raison $q$:\\

\begin{tabular}{l c l c l}
$u_n=6n$ pour $n\in\mathbb{N}$  &&  $u_n=-3\times10^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ && $u_n=\dfrac{3^n}{5^{n+1}}$ pour $n\in\mathbb{N}$\\ 
&&&&\\
$u_n=4\times(1,03)^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ && $\left\{ \begin{array}{l} u_0=-7\\ u_{n+1}=0,9~u_n\text{ pour }n\geqslant0   \end{array} \right.$ && $\left\{ \begin{array}{l} u_1=15\\ u_{n+1}=\frac{3}{u_n}\text{ pour }n\geqslant1  \end{array} \right.$\\
\end{tabular}
\item Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q=1,2$ et de premier terme $u_0=3$. Ecrire la définition par récurrence de cette suite. Calculer $u_1$, $u_2$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $u_{6}$ et $u_{10}$.
\item Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q=2$ et telle que $u_4=48$. Calculer $u_0$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $u_{6}$ et $u_{12}$.
\item Soit $(u_n)$ une suite géométrique telle que $u_0=-10$ et $u_3=1,25$. Calculer la raison de cette suite. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer $u_{1}$ et $u_{7}$.
\item Soit $(u_n)$ une suite géométrique telle que $u_{20}=45$ et $u_{23}=5625$. Calculer la raison de cette suite. Calculer $u_0$. Ecrire la définition par récurrence de cette suite, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$. Enfin calculer $u_{17}$ et $u_{27}$.
\item Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=2500$
  et de raison $q=1,04$. Calculer $u_{1}$, $u_{2}$ et $u_{15}$
  (arrondir au centième). Déterminer à l'aide de la calculatrice le
  plus petit rang $n$ pour lequel $u_n \geqslant 5000$.
\item Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=0,3$ et de raison $q=2$. Calculer $u_{3}$, $u_{15}$ et $u_{20}$, puis calculer les sommes $S_1=u_0+u_1+u_2+\dots+u_{15}$ et $S_2=u_{3}+u_{4}+u_{12}+\dots+u_{20}$.
\end{enumerate}





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