
%\setcounter{chapter}{1}

\chapterimage{planete}


\chaptertext{Le chapitre précédent nous a permis d'explorer les rotations
vectorielles. Cependant,  ce ne  sont pas des  vecteurs que  vous devrez
manipuler  mais  des solides  constitués  de  points:~nous devons  donc
passer du \emph{vectoriel}, immatériel, vers l'\emph{affine}...}

\chapter{Étude  du  mouvement d'un  bras  de robot}

\section{Affine / Vectoriel}


Jusqu'à  présent,  dans  cette  leçon,  nous avons  travaillé  avec  des
vecteurs dans un \og espace  de mouvement \fg{} c'est-à-dire un espace
vectoriel.
 Nous voulons à présent
nous occuper de solides constitués de points. L'idée d'espace affine est
que l'on \og passe  \fg{} d'un de ses éléments à un  autre à l'aide d'un
vecteur.


\og Notre\fg{} espace affine $\ER$ est  en fait défini par un point O et
l'espace vectoriel $\bbr^3$. À partir de là, on peut définir tous les
autres points~:

\begin{center}
  Pour tout point M de $\ER$,  il existe un vecteur $\ve{v}$ de $\bbr^3$
  tel que $M=O+\ve{v}$.
\end{center}




\section{Changement de repère}

Jusqu'à  présent,  dans  cette  leçon,  nous avons  travaillé  avec  des
vecteurs dans un \og espace de déplacement \fg{}. Nous voulons à présent
nous occuper  de solides constitués  de points. Nous  travaillerons donc
dans des repères.


  \begin{theoreme}[repère de l'Espace affine de dimension 3]
    Un  point  O   et  une  base  $\BR=\pav{\ve{e_1},\ve{e_2},\ve{e_3}}$
    définissent  un  repère de  l'Espace  affine  de  dimension 3.  Cela
    signifie que  pour tout point M  de l'Espace, il  existe trois réels
    $x$, $y$ et $z$ tels que~:

\[\ve{OM}=x \ve{e_1}+y \ve{e_2}+z \ve{e_3}\]
    \end{theoreme}
  


Un repère  est la donnée  d'un point et  d'une base. Changer  de repère,
c'est changer de base (nous savons faire) et éventuellement d'origine.

Soit     $\RR$    le     repère     d'origine    O     et    de     base
$\BR=\pav{\ve{e_1},\ve{e_2},\ve{e_3}}$   et   soit   $\RR'$  le   repère
d'origine O' et de base
$\BR'=\pav{\ve{e_1'},\ve{e_2'},\ve{e_3'}}$.

On sait comment exprimer le passage  d'une base à l'autre à l'aide d'une
matrice. Qu'en est-il pour les repères~?

%          \includemovie[3Dlights=File,poster,text=Changement         de
% repère,label=,toolbar=true,3Daac=0.000000000000000000,3Dc2c=0.000000000000000000 0.000000000000000000 1.000000000000000000,3Dcoo=0.000000000000000000 0.000000000000000000 -30.870617705734080261,3Droll=0.000000000000000000,3Droo=30.870617705734080261,3Dbg=1.000000000000000000 1.000000000000000000 1.000000000000000000,3Djscript=changement1+0.js]{\textwidth}{10cm}{changement1+0.prc}

\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.8\linewidth]{changement1}
\end{center}
\end{figure}



On a $\ve{OM}=\ve{OO'}+\ve{O'M}$ (1).


Notons $(x,y,z)$  les coordonnées  de M dans  $\RR$ et  $(x',y',z')$ les
coordonnées de M dans $\RR'$.

Notons $X=\mat \ve{OM}$, $X'=\mat[']\ve{O'M}$ et $X''=\mat \ve{O'M}$.

Notons $A=\mat  \ve{OO'}$ et $\PR_{\BR,\BR'}$  la matrice de  passage de
$\BR$ à $\BR'$.

Alors la relation (1) s'écrit $X=A+X''=A+\PR_{\BR,\BR'}\times X'$.


  \begin{theoreme}[formule de changement de repère]
Avec les notations habituelles rappelées ci-dessus~:
\[X=A+\PR_{\BR,\BR'}\times X'\]

soit encore

\[X'=\tr \PR_{\BR,\BR'}(X-A)\]
    \end{theoreme}
  


\section{Translation et rotation}

Si  on y  réfléchit bien,  quand on  change d'origine  sans  changer les
vecteurs de base, on effectue une translation du repère initial.

Quand  on  bouge les  vecteurs  de  base  (qui doit  rester  orthonormée
directe)  sans changer  l'origine, on  effectue une  rotation  du repère
initial.

Quand  on   combine,  les   deux,  on  compose   une  rotation   et  une
translation~:~bouger  dans   l'Espace  revient  donc   à  effectuer  une
translation/rotation.  De plus,  parmi  ces translations/rotations,  les
déplacements 
qui nous  intéressent le plus  sont les vissages  car ils sont  plus \og
souples \fg{} à manipuler.




% \section{Analyse du mouvement d'un bras de robot}

% Voici un bras de robot en action~:

% % \begin{center}\label{film}
% % %\begin{figure}
% % \includemovie[
% %   poster=robotposter.pdf,
% %   text={\Large\bf\centering \fbox{Cliquer pour commencer} \vspace{10cm}}
% % ]{0.5\textwidth}{8cm}{robot.swf}
% % %\caption{Bras de robot en mouvement}
% % %\end{figure}
% % \end{center}
% %\includemovie[continue]{\textwidth}{10cm}{robot.swf}

% Nous  voudrions décrire le  mouvement du  verre d'eau  par rapport  à un
% repère \og  fixe\fg{}, par  exemple celui fixé  au mur (même  s'il n'est
% pas  vraiment  fixe par  rapport  au  Soleil ou  au  centre  de la  Voie
% Lactée...).

% Au départ, le bras a cette tête~:





% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=7cm]{robotrepos}\caption{\label{robplan}Bras du robot au repos}
% \end{center}
% \end{figure}


% Certaines articulations  ont une  liaison \og pivot\fg{}  et nécessitent
% deux repères pour les caractériser. 

% Nous avons donc besoin d'observer le robot après quelques rotations~:






% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=7cm]{robotmvt}\caption{\label{robplan2}Bras du robot après mouvement}
% \end{center}
% \end{figure}


% Nous avons besoin de 7 repères~:

% \begin{itemize}
% \item    deux    au    niveau     de    la    première    liaison    \og
%   pivot\fg{}~:~$\RR_0=(A_0,\ve{e_{x0}},\ve{e_{y0}},\ve{e_{z0}})$        et
%   $\RR_1$ (avec des notations similaires)~;
% \item $\RR_2$ au niveau de la deuxième articulation~;
% \item $\RR_3$  et $\RR_4$ au niveau  de la troisième  articulation où se
%   trouve une deuxième liaison pivot~;
% \item $\RR_5$ au niveau de la quatrième articulation~;
% \item $\RR_6$ au niveau de la pince.
% \end{itemize}




% Décomposons le mouvement~:

% \begin{enumerate}
% \item le premier mouvement est une rotation $r_1$ d'angle $\theta_1$ autour de l'axe
%   $\pav{P_0,\ve{e_{y0}}}$ qui a pour matrice 

% \[M_1=\begin{pmatrix} \cos\theta_1 &0 & -\sin\theta_1\\
%                  0 &1&0\\
%                 \sin\theta_1&0&\cos\theta_1\end{pmatrix}\]

% \item le reste...
% \end{enumerate}

% \vfill 

% \eject

% \thispagestyle{empty}\setcounter{page}{1}
\section{Mouvement d'un bras de robot}
% \begin{exercice}
%   Reprenez l'exercice 2.2 ~\vpageref{main} en l'étudiant plus précisément grâce
%   aux nouveaux  outils mathématiques à votre  disposition. Vous prendrez
%   les mesures correspondant à votre propre corps.
% \end{exercice}









\begin{exercice}
  On considère le bras de robot dont une vue de dessus est donnée figure~\vref{robplan3}~:



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=1.2]{figIni3d8}\caption{\label{robplan3}vue
    de dessus du bras de robot (plan $(xOy)$)}
\end{center}
\end{figure}

On suppose  que les deux  segments constituant le  bras du robot  sont de
même longueur $\ell$.

\begin{enumerate}
\item Déterminez  les coordonnées de  $P_2$ si $[P_0P_1]$ a  effectué une
  rotation d'angle $\theta_1$ autour de l'axe $(P_0,\ve{e_3})$ et $[P_1P_2]$ a  effectué une
  rotation d'angle $\theta_2$ autour de l'axe $(P_1,\ve{e_3})$.
\item Calculez  les valeurs possibles  de $\theta_1$ et  $\theta_2$ pour
  que $P_2$ ait pour coordonnées $(\frac{\ell}{2},0,0)$.
\item Quel mouvement imaginer pour que $P_2$ soit en $(\frac{\ell}{2},4\ell,0)$~?
\end{enumerate}


\end{exercice}

\begin{exercice}
Voici un nouveau robot qui cette fois à un \og avant-bras\fg{} $[P_1P_2]$ dont la
longueur est variable et qui est muni d'une \og main\fg{} $[P_2P_3]$ de
longueur  $\ell_3$.   L'\og  humérus\fg{}  $[P_OP_1]$   a  une  longueur
$\ell_1$.

On  notera   $\ell_2$  la  longueur   minimum  de  l'avant-bras.   On  a
$\ell_3<{\rm min}(\ell_2,\ell_3)$.



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=1.2]{figIni3d9}\caption{\label{robplan4}vue
    de dessus du bras de robot à longueur variable (plan $(xOy)$)}
\end{center}
\end{figure}


On    note   $\RR$   le    repère   d'origine    $P_0$   et    de   base
$\pav{\ve{e_1},\ve{e_2},\ve{e_3}}$. Donnez les coordonnées de $P_3$ dans
$\RR$ sachant  que l'avant-bras  s'est allongé de  $r$ par rapport  à sa
position minimum.

\end{exercice}

%
\begin{exercice}
Reprenons le robot dont le mouvement a été visualisé au début du cours.
Nous  voudrions décrire le  mouvement du  verre d'eau  par rapport  à un
repère \og  fixe\fg{}, par  exemple celui fixé  au mur (même  s'il n'est
pas  vraiment  fixe par  rapport  au  Soleil ou  au  centre  de la  Voie
Lactée...).

Au départ, le bras a cette tête:





\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=6cm]{robotrepos}\caption{\label{robplan}Bras du robot au repos}
\end{center}
\end{figure}


Certaines articulations  ont une  liaison \og pivot\fg{}  et nécessitent
deux repères pour les caractériser. 

Nous avons donc besoin d'observer le robot après quelques rotations:






\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=6cm]{robotmvt}\caption{\label{robplan2}Bras du robot après mouvement}
\end{center}
\end{figure}


Nous avons besoin de 7 repères.
% \begin{itemize}
% \item    deux    au    niveau     de    la    première    liaison    \og
%   pivot\fg{}~:~$\RR_0=(A_0,\ve{e_{x0}},\ve{e_{y0}},\ve{e_{z0}})$        et
%   $\RR_1$ (avec des notations similaires)~;
% \item $\RR_2$ au niveau de la deuxième articulation~;
% \item $\RR_3$  et $\RR_4$ au niveau  de la troisième  articulation où se
%   trouve une deuxième liaison pivot~;
% \item $\RR_5$ au niveau de la quatrième articulation~;
% \item $\RR_6$ au niveau de la pince.
% \end{itemize}
Décomposons le mouvement:

\begin{enumerate}
\item le premier mouvement est une rotation $r_1$ d'angle $\theta_1$ autour de l'axe
  $\pav{P_0,\ve{e_{y0}}}$ qui a pour matrice 
$M_1=\begin{bmatrix} \cos\theta_1 &0 & -\sin\theta_1\\
                 0 &1&0\\
                \sin\theta_1&0&\cos\theta_1\end{bmatrix}$

\item le reste?...
\end{enumerate}

\end{exercice}


% \begin{exercice}
% Reprendre à présent le robot étudié \vpageref{robplan}
% \end{exercice}







%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "centralB.tex"
%%% End: 
