\documentclass[a4paper,10pt,latin1]{polymaths}


\entetalice{Fonction exponentielle}{T$^{\text{ale}}$ STL2 - 2005/2006}


\begin{document}
 \setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}

.

\vspace{-2cm}

\begin{center}

\textcolor{bleu_f}{\bfseries\huge\floweroneleft \ \ T$^{\text{ale}}$ STL2  \ \ Fonction exponentielle\ \ \floweroneright}

\end{center}

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\Exot{}
La désintégration radioactive du Zirconium 95 se fait en deux 
étapes : formation de Niobium (Nb) puis transformation qui conduit à un isotope 
stable. On s'intéresse à l'évolution du $^{95}$Nb en fonction 
du temps. 

À l'instant $t$ (exprimé en jours), on note $N(t)$ le nombre d'atomes 
de $^{95}$Nb. 

On admet que sur l'intervalle $[0~;~ + \infty [$, l'expression de $N(t)$ est : 

\[N(t) = 200\left(\text{e}^{-0,01t} - \text{e}^{-0,02t}\right).\] 

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $N$ dans un repère 
orthogonal d'unités graphiques : 

1 cm pour 10 jours sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 10 unités sur l'axe des ordonnées. 

\begin{enumerate} \item Calculer $N(0)$. 

\item \begin{enumerate} \item Calculer la limite de $N(t)$ lorsque $t$ tend 
vers $+ \infty$. 

\item Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ? 

\end{enumerate} 

\item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $N'$ dérivée de $N$ vérifie 

\[N'(t) = 200 \text{e}^{-0,02t}\left(0,02 - 0,01\text{e}^{0,01t}\right).\] 

\item Résoudre l'équation $N'(t) = 0$. 

Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$ près de la 
solution $t_0$ de cette équation. 

\item Résoudre dans $[0~;~ + \infty [$ l'inéquation $N'(t) \geqslant 0$. 

En déduire le tableau de variations de la fonction $N$. Préciser la 
valeur exacte de $N\left(t_{0}\right)$. 

\end{enumerate} 

\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle [0 ; 150]. 

\item Déterminer graphiquement l'intervalle de temps pour lequel $N(t) 
\geqslant 40$. 

(On laissera apparaître sur la figure les constructions utiles). 

\end{enumerate} 







\Exot{}

On étudie l'évolution d'une culture bactérienne en fonction du temps. On estime que le nombre de bactéries en milliards par ml est donné, à chaque instant $t$ (exprimé en heures) par la fonction $f$ définie sur [0 ; 24] par

\[ f(x) = (3t + 1)\text{e}^{-0,15t}.\]

On note ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 0,5 cm pour une heure sur l'axe des abscisses et 2 cm pour un milliard par ml sur l'axe des ordonnées).

\begin{enumerate}\item \begin{enumerate}\item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est telle que $f'(t) =  (2,85 - 0,45t)\text{e}^{-0,15t}.$

\item Étudier le signe de $f'(t)$. Dresser le tableau de variations de $f$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}\item Reproduire et compléter le tableau suivant (les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près).

\item Calculer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A d'abscisse 0.

\item Tracer T et ($\mathcal{C}$) dans le repère donné.

\end{enumerate}

\item À l'aide du graphique, et en faisant apparaître les constructions nécessaires, déterminer à une heure près les valeurs de $t$ pour lesquelles il y a 5 milliards de bactéries par ml.

\end{enumerate}




\Exot{}

On considère la fonction $f$ détinie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \cfrac{3\text{e}^{4x} - 1}{\text{e}^{4x} + 1}.\]

\noindent $\mathcal{C}$ est sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan (unité graphique 5 cm).

\begin{enumerate}\item Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations sur $[0~;~+ \infty[$.

\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty ~\left(\text{on pourra montrer que}~ f(x) = \cfrac{3 - \text{e}^{-4x}}{1 + \text{e}^{-4x}}\right)$.

\item Donner les valeurs approchées à $10^{-2}$	près de $(x)$ pour les valeurs suivantes de $x$ :  0 ;  0,2 ; 0,4 ;
0,6 ;0,8 ; 1 ;  	1,2 et 1,4.

\item Déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et  sa tangente $T$.

\item Montrer que $f(x) = \cfrac{3\text{e}^{3x} - \text{e}^{-x}}{\text{e}^{3x} + \text{e}^{-x}}$.

On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par

\[ F(x) = \ln \left(\text{e}^{3x} + \text{e}^{-x}\right) + 1.\]

Montrer que  $f$ est la dérivée  de $F$ sur $[0~;~+ \infty[$.

\end{enumerate}




\Exot{}

On injecte dans le sang 100 mg d'un médicament A.

\noindent Pendant l'élimination naturelle, la dose restant dans le sang à l'instant $t$ est
 donnée en mg par la fonction $f$ définie par :

\[\colorbox{yellow}{$f(t) = 100\text{e}^{-0,4t}$}\]

\noindent où $t$ est exprimé en heure.

\vspace{0,6cm}

\noindent \textbf{Partie A}

\'Etude de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$

\begin{enumerate} \item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.

\item Calculer $f'(t)$ et justifier son signe.

\item Dresser le tableau de variations de $f$.

\item On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthogonal 
(unites : 1 cm pour 1 h en abscisse et 1 cm pour 10 mg en ordonnée). Déterminer
 une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ de $f$ au point A 
d'abscisse 0.

\end{enumerate}

\vspace{0,6cm}

\noindent \textbf{\gray Partie B}

On injecte une deuxième dose de 100 mg huit heures après la première.

\begin{enumerate} \item Calculer la dose totale dans le sang juste après cette deuxième 
injection.

\item La dose restant dans le sang après la deuxième injection est donnée
 en mg par la fonction $g$ définie sur $[8~;~+ \infty[$ par 

\[\colorbox{yellow}{$g(t) =100\text{e}^{-0,4t} \left(1 + \text{e}^{3,2}\right)$}\]

\noindent  où $t$ est exprimé en heure.

\noindent Tracer T et $\mathcal{C}$ sur [0 ; 8] puis la courbe $\mathcal{C}'$ représentative
 de $g$ sur [8 ; 16].
 
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,6cm}

\noindent \textbf{\gray Partie C}

On répondra aux questions suivantes par lecture graphique.

\noindent On considère que le médicament est efficace lorsque la dose restant dans le 
sang est supérieure à 20 mg.

\begin{enumerate} \item Au bout de combien de temps la première injection perd-elle son 
effet ?

\item Sur quels intervalles de temps le médicament agit-il ?

\end{enumerate} 



\Exot{}

Une réserve d'eau naturelle est aménagée pour la baignade. Un système
 d'évacuation permet de maintenir dans ce bassin, en toutes circonstances,
 un volume d'eau constant égal à $50\:000$ litres. À la suite de pluies
 torrentielles, des eaux de ruissellement, polluées par des pesticides,
 se déversent dans ce bassin. 

On a déterminé le volume $y_i$ (en litres) de pesticides contenus dans
 le bassin à l'instant $t_i$ (exprimé en heures). Les résultats 
figurent dans le tableau suivant :

\vspace{0,3cm}

\begin{center} \begin{tabular}{|*{7}{c |}}\hline 
~~$t_i$~~&~~0~~&~~20~~&~~40~~&~~60~~&~~80~~&~~100~~\\ \hline
$y_i$& 0 & 173 & 375 & 502 & 688 & 778\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\vspace{0,3cm}

\noindent On pose $z_i = - 7 + \ln (2000 -y_i)$, où $\ln$ désigne la fonction 
logarithme népérien. 

\begin{enumerate} \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en donnant
 les valeurs de $z_i$ à $10^{-2}$ près.
 
\vspace{0,3cm}
 
\begin{center} \begin{tabular}{|*{7}{c |}}\hline 
$~~t_{i}~~$	&	~~0~~&	~~20~~&	~~40~~&		~~60~~&	~~80~~&~~100~~\\ \hline
$z_i$	&	&	&0,39 & & &  	\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\vspace{0,3cm}

\item Dans un repère orthogonal \oij, représenter
 le nuage de points $M_i(t_i,~ z_i)$. 

\noindent (On prendra 0,1 cm pour unité en abscisses, et 20 cm pour unité en
 ordonnées). 

\item \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$ des
 trois premiers points du nuage et celles du point moyen G$_2$ des trois
 derniers points du nuage. 

\item Placer les points G$_1$ et G$_2$ sur le graphique et tracer la
 droite (G$_1$G$_2$). 

\item Déterminer une équation de la droite (G$_1$G$_2$). 

\end{enumerate}

\item On considère que la droite (G$_1$G$_2$) constitue un
 ajustement affine convenable du nuage de points $Mi(t_i ,~ z_i)$. À l'aide
 du résultat obtenu en \textbf{3. c.}, montrer que l'on peut choisir comme
 expression approchée de $y$ en fonction de $t$ :

\[ \colorbox{yellow}{$y = 2000 \left(1 - \text{e}^{-0,005t}\right).$}\] 

\item La baignade devient dangereuse dès que le taux de
 pesticides contenus  dans l'eau atteint $2\:\%$.

\begin{enumerate} \item Pour quel volume de pesticides ce taux est-il atteint ?

\item Résoudre l'inéquation : 

\[\colorbox{yellow}{$2000 \left(1 - \text{e}^{- 0,005 t}\right) \geqslant 1000.$}\]

\item En déduire au bout de combien de jours la baignade sera dangereuse 
(on arrondira le résultat à l'entier le plus proche).

\item Comment peut-on vérifier graphiquement ce résultat ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\Exot{}

Le but de l'exercice est la détermination puis l'étude de quelques 
propriétés d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, dont la
 représentation graphique ($\mathcal{C}$), ainsi que la tangente à ($\mathcal{C}$)
 au point d'abscisse 0, figurent ci-dessous.

\vspace{0,5cm} 

\noindent \textbf{\gray Partie A : détermination de la fonction \boldmath  $f$ 
\unboldmath}

\begin{enumerate} \item À l'aide du graphique, déterminer $f(0)$ et $f'(0)$,
 où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$. 

\item On suppose que l'expression de $f$ est donnée pour
 tout nombre réel $x$ par : 

\[f(x) = \alpha + \beta x \text{e}^{-x},~ \text{où}~ \alpha~ \text{et}~
\beta~ \text{sont des nombres que l'on se propose de déterminer.}\] 

\begin{enumerate} \item En utilisant un résultat du \textbf{1)} déterminer la valeur 
de $\alpha$. 

\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x,~ f'(x) = 
\beta \text{e}^{-x} (1 - x)$. 

À l'aide de l'autre résultat du \textbf{1)} en déduire $\beta$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\noindent \textbf{\gray Partie B : étude de quelques propriétés de la fonction 
\boldmath $f$ \unboldmath}

On admet dans cette partie que l'expression de $f$ est 

\[\colorbox{yellow}{$f(x) = 2 + 3 x \text{e}^{-x}.$}\]

\begin{enumerate} \item En utilisant l'expression de la dérivée obtenue dans la
 partie \textbf{A. 2. b.}, étudier les variations 
de la fonction $f$ , et préciser les coordonnées exactes du point correspondant
 au maximum de cette fonction. 

\item \'Etudier les limites de la fonction $f$ en - $\infty$ et
 en  + $\infty$.

\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. 

\item Pour quelles valeurs du nombre réel $x$ a-t-on $f(x) < 
2$ ?

\begin{center} \begin{pspicture}(-2,-3)(10,6)
\psgrid[subgriddiv=1](0,0)(-2,-3)(10,6)
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(-2,0)(10,0)
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,-3)(0,6)
\psline(-1.667,-3)(1.333,6)
\psplot{-0.771}{10}{3 x mul 2.71828 x exp div 2 add}
\rput(3.5,2.5){($\mathcal{C}$)}
\end{pspicture} \end{center}

\end{enumerate}
\end{document}