\documentclass[10pt,landscape]{report}
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\psshadowbox*[fillcolor=0.8white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries \begin{center} Exercices BTS 1 : nombres complexes 
\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}
         

\begin{multicols}{3}


\exop{Forme exponentielle}
Donnez la forme exponentielle de $j$, $2j$, $1-j$, 32, $j(1-j)$, $j/(1-j)$, $1-j\sqrt{3}$, $-e^{j\pi/4}$.

\exop{Forme trigonométrique}


\'Ecrivez sous forme trigonométrique $a=e^{2jx}+e^{-2jx}$, $b=-4i\pa{e^{5jt}-e^{-5jt}}$, $c=6e^{4j\pi/9}$, $d=1-e^{j\al}$.

\exop{Lignes trigonométriques de $\pi/12$}

\'Ecrivez sous forme trigonométrique $z=\fr{\sqrt{6}-j\sqrt{2}}{2(1-j)}$ puis sous forme algébrique et déduisez-en $\cos\pa{\fr{\pi}{12}}$ et $\sin\pa{\fr{\pi}{12}}$


\exop{\'Equations du second degré}

Résolvez dans $\bbc$ les équations suivantes :
$$a)\ z^2+1=0\qquad b)\ z^2+z+1=0\qquad c)\ z^2-j\sqrt{2} z-j\fr{\sqrt{3}}{2}=0$$
$$d)\ z^2+5(1-j)z-4(3+4j)=0 \qquad e)\ z^4+(1-2j)z^2-2j=0$$

$$ f)\ (z-1)^6+(z-1)^3+1=0$$

\exop{Formules d'Euler et de Moivre}

Linéarisez $\cos^4 t$, $\cos^3t+\sin^4 t$. Exprimez $\sin(3x)$  et $\cos(5x)$ en fonction de $\sin x$ et $\cos x$ 

\exop{\' Equation dans $\bbc$}

Déterminer la solution complexe $z_0$ de l'équation
$$
   {z+1 \over z-1} = 1+i.
$$

\exop{Système d'équations dans $\bbc$}

Déterminer les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ tels que
$$
   \begin{cases}
      2z_1 + z_2 = 4\\
      -2iz_1 + z_2 = 0
   \end{cases}
$$


\exop{Impédance complexe}

On note $j$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\pi /2$.

On donne le nombre complexe 
$$
   \underline \alpha = {\underline Z_2\over \underline Z_1 (\underline
   Z_2 + R) + \underline Z_2 R},
$$
avec $R = 900$, $\underline  Z_1 = 1\, 100j$, $\underline Z_2 = -600j$.

Mettre le nombre complexe $\underline \alpha $ sous la forme algébrique
$a + bj$.




\exop{Impédance complexe}

On note $j$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\pi /2$.

L'impédance complexe d'un circuit est telle que
$$
   \underline Z = {\underline Z_1 \times \underline Z_2\over
   \underline Z_1 + \underline Z_2 + \underline Z_3},
$$
avec $\underline Z_1 = 1+2j$, $\underline Z_2 = -1+3j$ et $\underline
Z_3 = 4+5j$.

Mettre $\underline Z$ sous la forme algébrique $a+bj$.



\exop{\' Ecriture sous forme trigonométrique}

Déterminer les formes trigonométriques des nombres
$$
   z_1 = 3j,
      \qquad
   z_2 = -5,
      \qquad
   z_3 = 2-2j
      \qquad
   z_4 = 1 + j\sqrt3 
$$

\exop{Module et argument d'une puissance}

On considère les nombres complexes~:
$$
   z_1 = \sqrt 3 - j,
      \qquad
   z_2 = 2 - 2j,
      \qquad
   A = {z_1^4 \over z_2^3}
$$
(où $i$ désigne lme nombre complexe de module 1 et d'argument $\pi
/2$).

\begin{enumerate}

\item Déterminer le module et un argument des nombres
complexes $z_1$, $z_2$, $z_1^4$, $z_2^3$ et $A$.

\item En déduire la forme algébrique des nombres complexes
$z_1^4$, $z_2^3$ et $A$.

\item Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de
$\displaystyle \cos {\pi \over 12}$ et $\displaystyle \sin {\pi \over
12}$. 

\item {} Vérifier les résultats obtenus avec votre calculatrice.

\end{enumerate}


\exop{Racine carrée dans $\bbc$}

Résoudre dans $\bbc$ l'équation
$$
   z^2 = 3 - 4j
$$


\exop{\' Equation  à coefficients dans $\bbr$}

\begin{enumerate}

\item Résoudre dans $\bbc$ l'équation
$$
   z^2 - 2\sqrt 2 z + 4  = 0.
$$

\item Déterminer le module et un argument de chacune des solutions.

\end{enumerate}

\exop{\' Equation du second degré à coefficients dans $\bbc $}

\begin{enumerate}

\item Calculer $(3-2j)^2$ puis résoudre dans $\bbc $ l'équation
$$
   z^2 + z - 1 + 3j = 0.
$$

\item Calculer $(5-3i)^2$ puis résoudre dans $\bbc $ l'équation
$$
   z^2 + (5-i) z + 2 + 5i = 0.
$$


\item Résoudre dans $\bbc $ l'équation
$$
   z^2 - (5+3i) z + 10 + 5i = 0.
$$


\end{enumerate}


\exop{Linéarisations}
\begin{enumerate}

\item Utiliser les formules d'Euler pour transformer en somme l'expression
suivante~:
$$
   f (x) = \sin (2x) \sin (3x)
$$

\item Linéariser l'expression $\sin ^3 (2x)$.

\end{enumerate}
\exop{Ligne de niveau}
\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan vérifiant
$|z-3| = 2$~?
\item Quel est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan vérifiant
$\arg (z - (3-i)) = \pi /3$~?


\item Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan tels que
$$
   z = 1 - j {L\over C\omega } 
$$
où $L$ et $C$ sont deux contantes réelles strictement positives et où
$\omega $ est un réel variant dans l'intervalle $]0, +\infty [$.


\end{enumerate}

\exop{Fonction de transfert en électronique}

\def \T {%
   \underline {{\rm T}}}

En électronique, on utilise la \og fonction de transfert\fg \  $\T $
de la pulsation $\omega $, définie quand $\omega $ décrit 
l'intervalle $[0, +\infty [$ par~:
$$
   \T (\omega ) = {1 \over 1+j\omega }.
$$

\begin{enumerate}

\item Montrer que pour tout nombre réel $\omega $ de $[0, +\infty
[$, on a~:
$$
   \T (\omega ) = {1-j\omega \over 1 + \omega ^2}.
$$

\item Le plan complexe est muni du repère orthonormal \ouv, unité 20~cm (ou 20~grands carreaux). Placer les points $A$,
$B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ d'affixes respectives
$$
   \T (0), \qquad
   \T (0, 3), \qquad
   \T (0, 5), \qquad
   \T (1), \qquad
   \T (2), \qquad
   \T (3).
$$

\item Montrer que, pour tout nombre réel $\omega $ de $[0, +\infty
   [$, le point $M$ d'affixe $\T (\omega )$ est situé sur le
   demi-cercle inférieur de diamètre $[OA]$.

\item Quel est l'ensemble des points $m$ d'affixe $1 - j\omega $
   quand $\omega $ varie dans $[0, +\infty [$~?

\end{enumerate}

\exop{Fonction de transfert en électronique bis}

\def \T {%
   \underline {{\rm T}}}
\def \H {%
   \underline {{\rm H}}}

En électronique, sur un montage, on utilise la \og fonction de transfert\fg \  $\T $
de la pulsation $\omega $, définie quand $\omega $ décrit 
l'intervalle $[0, +\infty [$ par~:
$$
   \T (\omega ) = {4 \over (1+j\omega )^3}.
$$
\begin{enumerate}
\item Calculer 
$$
   \T (0),
      \qquad
   \T \left( {1\over \sqrt 3}\right) ,
      \qquad
   \T (1),
      \qquad
   \T (\sqrt 3).
$$

\item On modifie le montage précédent et on obtient alors la \og
nouvelle fonction de transfert\fg \  $\H $ définie par~:
$$
   \H (\omega ) = {\T (\omega ) \over 1 + \T (\omega )}
$$
Calculer les modules et argument de $\H (0)$, $\H (1)$ et $\H (\sqrt
3)$.

\item Le plan complexe est muni du repère orthonormal \ouv. Soit $A$ le point d'affixe $-1$ et $M$ le point d'affixe $\T
(\omega )$.

\item Montrer que le module de $\H (\omega )$ est égal à
$MO/MA$.
\item Montrer qu'un argument de $\H (\omega )$ est égal à
l'angle $\widehat {(\overrightarrow {MA}, \overrightarrow {MO})}$.

\item Utiliser les questions {\bf 4.} et {\bf 5.} pour retrouver
les résultats du {\bf 2.}

\end{enumerate}


\end{multicols}
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