\documentclass{article}
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\lstset{numbers=none,language=xcas,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color[HTML]{8B7500}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color[HTML]{8B7500},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,breaklines=true}


\newcommand{\MarqueCommandeGiac}[1]{%
    \color[HTML]{8B7500}$\rightarrow$}
\newcommand{\MarqueLaTeXGiac}{%
    \color[HTML]{1E90FF}}
\newcommand{\InscriptionFigureGiac}[1]{%
    \begin{center}
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{#1}
    \end{center}}





\begin{document}

%1
\exot{}

Soit  $f$  la fonction  $2\pi$-périodique  définie sur  $]-\pi\pv\pi]$
par~:

\[f(x)=\frac{\pi-x}{2}\]


Étudier son développement en série de Fourier puis calculer $\ds\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$


\exot{}


Étudier les éléments caractéristiques de la conique d'équation~:

\[ x^2-4y^2+2x-3 \]

%\pagebreak


%2
\exot{}

Donner un  développement limité à  l'ordre 4 au  voisinage de 0  de la
fonction $f~:~x\mapsto \frac{x\ch^3(x)}{\ln(1+x)}$



\exot{}

Étudier la courbe de représentation paramétrique~:

\[ \begin{cases} x(t)=3-2*\cos(t)-\cos(2t)\\ y(t)=2*\sin(t)-\sin(2*t)\end{cases}\]

%\pagebreak


%3
\exot{}

A est  une matrice  carrée de taille  3 admettant  $-1$, 2 et  3 comme
valeurs propres et $X_1$, $X_2$ et $X_3$ comme vecteurs propres.

On note $B=I_3+\frac{2}{3}A-\frac{1}{3}A^2$

\begin{enumerate}
\item Les vecteurs propres de A sont-ils aussi des vecteurs propres de
      B~?
\item Quelles sont les valeurs propres de B~?

\item $X_1=\bmat 0 \\  1 \\ 2 \emat \qquad X_2=\bmat 1\\  0 \\ 2 \emat
      \qquad X_3=\bmat 0 \\ 1 \\ 1 \emat$

Déterminer A.

\end{enumerate}

\exot{}

Résoudre l'équation différentielle~:

\[y''-5y'-6y=2*x+1\]

sachant que $y'(0)=y(0)=1$




%\pagebreak


%4
\exot{}

$A=\bmat -3 & 1 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & -2 & 2 \emat$

A est-elle diagonalisable dans $\bbr$~? dans $\bbc$~?

Déterminer les sous-espaces propres associés.

\exot{}

Calculer                $\intt_{\DR}\E^{-x^2-y^2}$                avec
$\DR=\left\{(x,y)\in\bbr^2\;|\; x^2+y^2\ie a^2\right\}$


%\pagebreak


%5
\exot{}

Résoudre le système différentiel~:

\[ \begin{cases} X'(t)=A\cdot X(t)\\ X(0)=X_0\end{cases}\]

avec $A=\bmat2 & 5\\ 1 & -2 \emat $ et $X_0=\bmat 11 \\ 1 \emat$

\exot{}

Déterminer un équivalent au voisinage de $+\infty$
 de $u_n=\sqrt{n+\sqrt{n^2+1}}-\sqrt{n+\sqrt{n^2-1}}$



%\pagebreak

%6

\exot{}

Calculer $\ds\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$



\exot{}

Étudier la courbe d'équation polaire $\rho(\theta)=2*(1+\cos(\theta))$

Calculer sa longueur sur une période.

\pagebreak


\begin{center}
  {\LARGE \textcolor{0.6white}{CORRECTION}}
\end{center}

\setcounter{num}{0}



\exot{}

%@Commande-1
\begin{lstlisting}
 f(t):=piecewise(t<=-pi,0.5*(pi-(t+2*pi)),t<=pi,0.5*(pi-t),t>pi,0.5*(pi-(t-2*pi)),-1) 
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[\text{(t)->piecewise(t<=(-pi),0.5*(pi-t+2*pi),t<=pi,0.5*(pi-t),t>pi,0.5*(pi-t-2*pi),-1)}\]}}

%@Commande-2
\begin{lstlisting}
 graphe(f(x),x=-2*pi..2*pi)
\end{lstlisting}
\InscriptionFigureGiac{collejuin-01.eps}    

%@Commande-3
\begin{lstlisting}
 four_bn(LI,LV,T):={assume(p,integer);integ:=0;m:=size(LI);for(k:=0;k<m;k++){integ:=integ+(2/T)*(int(LV[k]*sin(p*2*Pi*x/T),x=LI[k]));}return(simplify(integ))}:;
\end{lstlisting}

%@Commande-4
\begin{lstlisting}
 four_bn([-pi..pi],[(pi-x)/2],2*pi);
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{\left(-1\right)^{p}}{p} \]}}

%@Commande-5
\begin{lstlisting}
 sum(1/n^2,n=1..+infinity)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{1}{6}\pi ^{2} \]}}

\exot{}


%@Commande-6
\begin{lstlisting}
 simplifier(conique_reduite(x^2-4y^2+2x-3))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[\text{Hyperbola of center (-1,0)}\]}}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [[-1,0],\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) ,1,x^{2}-\left(4y^{2}\right)-4,\left(\begin{array}{ccccc}
2\mbox{cosh}\left(t\right)+i\mbox{sinh}\left(t\right)-1 & t & -3 & 3 &      0.100000 \\
-\left(2\mbox{cosh}\left(t\right)\right)-\left(-i\mbox{sinh}\left(t\right)\right)-1 & t & -3 & 3 &      0.100000
\end{array}\right) ] \]}}

%@Commande-7
\begin{lstlisting}
 conique(x^2-4y^2+2x-3)
\end{lstlisting}
\InscriptionFigureGiac{collejuin-02.eps}    


\exot{}

%@Commande-8
\begin{lstlisting}
 taylor(((cosh(x))^3),x,3)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 1+\frac{3}{2} \times x^{2}+x^{4}\mbox{order\_size}\left(x\right) \]}}

%@Commande-9
\begin{lstlisting}
 taylor((x/(ln(1+x)),x,4)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 1+\frac{1}{2} \times x+\frac{1}{-12} \times x^{2}+\frac{1}{24} \times x^{3}+\frac{-19}{720} \times x^{4}+x^{5}\mbox{order\_size}\left(x\right) \]}}

%@Commande-10
\begin{lstlisting}
 taylor((x*(cosh(x))^3)/(ln(1+x)),x,5)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 1+\frac{1}{2} \times x+\frac{17}{12} \times x^{2}+\frac{19}{24} \times x^{3}+\frac{521}{720} \times x^{4}+\frac{83}{160} \times x^{5}+x^{6}\mbox{order\_size}\left(x\right) \]}}




\exot{}


%@Commande-11
\begin{lstlisting}
 S1:=plotparam([3-2*cos(t)-cos(2*t),2*sin(t)-sin(2*t)],t=0..pi,color=blue):;
\end{lstlisting}

%@Commande-12
\begin{lstlisting}
 S2:=couleur(symetrie(droite(y=0),S1),rouge+line_width_3):; 
\end{lstlisting}

%@Commande-13
\begin{lstlisting}
 S1,S2
\end{lstlisting}
\InscriptionFigureGiac{collejuin-03.eps}    



\exot{}

%@Commande-14
\begin{lstlisting}
 P:=[[0, 1, 0],[1,0,1],[2,2,1]]
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
2 & 2 & 1
\end{array}\right)  \]}}

%@Commande-15
\begin{lstlisting}
 P^(-1)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
-2 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
2 & 2 & -1
\end{array}\right)  \]}}

%@Commande-16
\begin{lstlisting}
 D:=diag([-1,2,3])
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)  \]}}

%@Commande-17
\begin{lstlisting}
 A:=(P*D)*P^(-1)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
8 & 7 & -4 \\
14 & 8 & -5
\end{array}\right)  \]}}


\exot{}

%@Commande-18
\begin{lstlisting}
 dsolve([y''-5*y'-6*y=2*x+1,y(0)=1,y'(0)=1],y)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [\frac{4}{7} \times e^{-x}+\frac{20}{63} \times e^{6x}+\frac{(-\left(27x\right)+9)}{81}] \]}}


\exot{}

%@Commande-19
\begin{lstlisting}
  complex_mode:=1:;
\end{lstlisting}

%@Commande-20
\begin{lstlisting}
 A:=[[-3,1,0],[0,0,5],[0,-2,2]]
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
-3 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 5 \\
0 & -2 & 2
\end{array}\right)  \]}}

%@Commande-21
\begin{lstlisting}
 eigenvals(A)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 1-3*i,-3,1+3*i \]}}

%@Commande-22
\begin{lstlisting}
 egv(A)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
4-3*i & 4+3*i & 0 \\
-1-3*i & -1+3*i & 0
\end{array}\right)  \]}}

%@Commande-23
\begin{lstlisting}
  complex_mode:=0:;
\end{lstlisting}


\exot{}

%@Commande-24
\begin{lstlisting}
 int(int(r*exp(-r^2),r=0..a),t=0..2*pi)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ -\left(\pi e^{-\left(a^{2}\right)}\right)+\pi  \]}}


\exot{}

%@Commande-25
\begin{lstlisting}
 A:=[[2,5],[1,-2]]
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{cc}
2 & 5 \\
1 & -2
\end{array}\right)  \]}}

%@Commande-26
\begin{lstlisting}
 eigenvals(A)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ -3,3 \]}}

%@Commande-27
\begin{lstlisting}
 egv(A)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{cc}
1 & 5 \\
-1 & 1
\end{array}\right)  \]}}


\exot{}

%@Commande-28
\begin{lstlisting}
 taylor(sqrt(n+sqrt(n^2+1))-sqrt(n+sqrt(n^2-1)),n=+infinity,1)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{\sqrt{2}}{4} \times \sqrt{\frac{1}{n}}\frac{1}{n}^{1}+\sqrt{\frac{1}{n}}\frac{1}{n}^{1}\mbox{order\_size}\left(\frac{1}{n}\right) \]}}


\exot{}

\exot{}

%@Commande-29
\begin{lstlisting}
 r(t):=2*(1+cos(t))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[\text{(t)->2*(1+cos(t))}\]}}

%@Commande-30
\begin{lstlisting}
 simplifier(sqrt((diff(r(t),t))^2+(r(t))^2))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 2\sqrt{2}\sqrt{\cos\left(t\right)+1} \]}}

%@Commande-31
\begin{lstlisting}
 complex_mode:=1;
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 1 \]}}

%@Commande-32
\begin{lstlisting}
 2*int((sqrt((diff(r(t),t))^2+(r(t))^2)),t=0..pi)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ -16 \]}}

%@Commande-33
\begin{lstlisting}
 polarplot(r(t),t=0..2*pi,color=red)
\end{lstlisting}
\InscriptionFigureGiac{collejuin-04.eps}    

%.g complex_mode:=0;


\end{document}
