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\entete{Calcul intégrale - BTS}{Épreuves d'examen}{BTS domotique 1}%g,d,b

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    \color{gray}$>\ $}
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    \color{blue}}
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    \begin{center}
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{#1}
    \end{center}}




\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}





\psshadowbox*[fillcolor=0.9white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries  \begin{center} BTS  domotique 1  - Calcul  intégrale -
    Épreuves d'examen \end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}
         

\begin{multicols}{2}

%
\exot{BTS 2009}


On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \text{e}^{2x} + \text{e}^x - x - 2.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité 2\~cm. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x)$. On pourra mettre $\text{e}^x$ en facteur dans $f(x)$. 
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x)$. 
		\item Démontrer que la droite $D$ d'équation $y = - x - 2$ est une asymptote de la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $D$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $\R$. 
		\item Vérifier que pour tout $x$ de $\R,~ f'(x) = 2\left(\text{e}^x + 1 \right)\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right)$. 
		\item Déduire du b. le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans $\R$. 
		\item Établir le tableau variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate}		
\item Construire $D$ et $\mathcal{C}$. 
\item Calculer la valeur exacte en cm$^2$, de l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, son asymptote $D$ et les droites d'équations $x = - 1$ et $x = 0$. 
\end{enumerate}




\exot{BTS 2008}
\emph{ Étude d'une fonction}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x)=\text{e}^{2x}- (x + 1)\text{e}^x.\]
 Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée dans un repère orthogonal ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-2)(3,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-2)(3,5.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,gridwidth=0.5pt,subgriddiv=1](0,0)(-5,-2)(3,5)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{-5}{1.3}{2.71828^(2*x)-(x+1)*2.71828^x}
\rput(1.2,2.5){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

% \begin{enumerate}
%  \item 
	\begin{enumerate}
		 \item Démontrer que pour tout réel $x,\,f'(x)=\text{e}^x(2\text{e}^x-2-x)$.
		\item En déduire le coefficient directeur $f'(0)$ de la tangente  $T$ à la
courbe $\mathcal{C}$ au point d'abcisse $0$.\\
Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
% \item
% 	\begin{enumerate}
% 		 \item Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de
% la fonction $x\longmapsto\text{e}^{2x}$.
% 		\item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$,
% de la fonction $f$ est :
% \[f(x)=\frac{x^2}{2}+x^2\varepsilon (x)\quad\text{avec}\quad \lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0.\]
% 	\end{enumerate}
% \end{enumerate}
\emph{ Calcul intégral}
\begin{enumerate}
\item On note $I= \displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}\frac{x^2}{2}\text{d} x$.\\
Démontrer que $I=0,009$.
\item On note $J = \displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}\text{e}^{2x}\text{d}x$.\\
Démontrer que $J = 0,5\left(\text{e}^{0,6}-\text{e}^{-0,6}\right)$.
\item On note $K = \displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}(x+1)\text{e}^x\text{d}x$.\\
Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que
$K=0,3\left(\text{e}^{0,3}+\text{e}^{-0,3}\right)$.
\item On note $L=\displaystyle\int_{-0,3}^{0,3}f(x)\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $L$.
		\item Donner la valeur approchée de $L$ arrondie à $10^{-3}$.
		\item Vérifier que la valeur exacte de $I$ et la valeur approchée de $L$
obtenue à la question précédente diffèrent de $4,5\times 10^{-4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}






\exot{BTS 2005}



\emph{B. Etude d'une fonction}\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ par
$f\left(  x\right)  =\frac{2+\ln\left(  1+x\right)  }{1+x}$

Sa courbe représentative $\mathcal{C}$, dans un repère orthonormal
où l'unité graphique est 1 cm, est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psgrid
[gridcolor=blue,gridlabels=0,griddots=8,subgriddiv=0](0,0)(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotstyle=curve,plotpoints=1500]{-0.891}
{9.5}{1 x add ln 2 add 1 x add div}
\rput(1.2,1.8){$\mathcal{C}$}
\uput[l](0,1){1}
\uput[d](1,0){1}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  On admet que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1}f\left(  x\right)  =-\infty$
et que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =0.$\\\
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?

\item
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout $x$ de $]  -1~;~+\infty[
,\; f^{\prime}\left(  x\right)  =\dfrac{-1-\ln(1+x)}{(
1+x)^{2}}$

\item  Résoudre dans $]  -1~;~+\infty[  $ l'inéquation
$-1-\ln(1+x)  \geqslant 0.$\\
En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ lorsque $x$ varie dans $]  -1~;~+\infty[.$

\item  Établir le tableau de variation de $f.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}




\emph{C. Calcul intégral}\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la dérivée de la fonction $G$ définie sur
$]  -1~;~+\infty[  $ par :%
\[
G(x)  =\dfrac{1}{2}\left[\ln (1+x)\right]^{2}%
\]

\item  En déduire qu'une primitive de $f$ sur $]  -1~;~+\infty[
$ est définie par :%
\[F(x)  = 2\ln(1+x)  +\dfrac{1}{2}\left[  \ln(
1+x) \right]^{2}\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $I = \displaystyle\int_{0}^{2}f(x)  \:\text{d}x.$ Démontrer que
$I=\dfrac{1}{2}(\ln 3)^{2}+2 \ln 3.$

		\item  Donner la valeur approchée arrondie à 10$^{-2}$ de $I.$

		\item  Donner une interprétation graphique du résultat obtenu au
\text{b.}
 \bigskip
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\exot{BTS 2005}


\noindent \textbf{Partie B}\\
Soit la fonction $f$, définie pour tout $x$ réel par $f(x) = \text{e}^{2x}- 2x - 1$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ (on pourra mettre $2x$ en facteur dans l'expression de $f(x)$).

\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$.
\\
En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$ et le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie C}\\
On note $\cal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la droite $\cal D$ d'équation $y=-2x-1$ est asymptote à la courbe $\cal C$ au voisinage de $-\infty$.
\item   Construire la courbe $\cal C$ et la droite $\mathcal D$.

\item   On considère l'aire $\mathcal A$ du domaine plan délimité par la courbe $\cal C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.\\
Calculer la valeur exacte de $\mathcal A$ en cm$^{2}$, puis en donner l'approximation décimale arrondie an centième.
\end{enumerate}





\exot{BTS 2008}

 Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{4{e}^x}{{e}^x + 1}$.


\begin{enumerate}
\item On note $I = \displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x$.  
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer  que  $I  =  4  \ln  \dfrac{\text{e}  +
                    1}{2}$.  \item  Donner la valeur  approchée arrondie
                  \`a $10^{-3}$ de $I$. 
 \end{enumerate} 
\item On note
                $J   =    \displaystyle\int_{0}^1   \left(2   +    x   -
                  \dfrac{x^3}{12}\right)\: \text{d}x$.  
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $J =	 \dfrac{119}{48}$.  	48  		\item  Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $J$.  		\item  Vérifier que les valeurs approchées de $I$ et de $J$obtenues au 1. b. et au 2. b. diffèrent de  $0,001$.
	 \end{enumerate} 
 \end{enumerate}  



\exot{BTS 2009}


On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = 2x\text{e}^{-x^2}$. 

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal, d'origine O. 

\begin{enumerate}

\item Déterminer une primitive de $f$ sur $\R$. 
\item Soit $a$ un réel strictement positif 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l' intégrale : $I_{a} = \displaystyle\int_{0}^a  f(x)\:\text{d}x$,  dont la valeur dépend du réel $a$. 
		\item Étudier $\displaystyle\lim_{a \to + \infty} I_{a}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}





\exot{BTS 2008}


\begin{enumerate}
\item  Calculer, à l'aide d'une integration par parties, la valeur exacte de : \[I = \displaystyle\int_{0}^{0,1}(x+1)\text{e}^{-x}\:\text{d}x.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la valeur exacte de l'intégrale $J = \displaystyle\int_{0}^{0,1} \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3}  \right)\:\text{d}x$.
		\item  A-t-on $|I - J| \leqslant 10^{-4}$ ?\\
(Si c'est le cas, on peut considérer que $J$ est une bonne approximation de $I$)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}





\exot{BTS 2008}

On considère la fonction $f$, définie pour tout réel positif $x$, par : 
\[f(x) = x -3 + \dfrac{4}{1 + 2x}.\]  
\begin{enumerate}
\item   Calculer   la   valeur    exacte   de   l'intégrale   :   $I   =
  \displaystyle\int_{0}^{0,1} f(x)\:\text{d}x$.  

 %  \item  En  déduire le  développement  limité à  l'ordre  2  de $f$  au
%     voisinage de $0$.  
\item   Calculer   la   valeur    exacte   de   l'intégrale   :   $J   =
  \displaystyle\int_{0}^{0,1} \left(1 - 7x + 16x^2\right)\:\text{d}x.$ 
 \item $J$ est-elle une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $I$ ? 
 \end{enumerate}

\exot{BTS 2007}


Soit $f$ la fonction définie sur [0 ; 3] par 
\[f(x) =  2 \text{e}^{- \frac{1}{2}x} \sqrt{x}.\]  On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative dc $f$ dans un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 4~cm.    \medskip
  \noindent \textbf{A. Étude des variations et courbe représentative}    \begin{enumerate}
\item  Calculer $f(0)$ et $f(3)$. Donner la valeur approchée arrondie a $10^{-2}$ de $f(3)$.    \item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout $x$ de ]0 ;  3], $f'(x) = \dfrac{\text{e}^{- \frac{1}{2}x}(1 - x)}{\sqrt{x}}$.  		\item  En déduire les variations de $f$ sur ]0 ; 3J.  	\end{enumerate}  \item On admet qu'à l'origine du repère la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ est l'axe des ordonnées. Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré,  \end{enumerate}    \medskip
  \noindent \textbf{B. Calcul intégral}\\  On considère le solide de révolution engendré par la rotation de la courbe $\mathcal{C}$ autour de l'axe des abscisses. On désigne par $V$ le volume en unités de volume de ce solide.\\  On admet que $V = \displaystyle\int_{0}^3 [f(x)]^2\:\text{d}x$.    \begin{enumerate}
\item  Vérifier que $V= \displaystyle\int_{0}^3 4\pi x \text{e}^{-x} \:\text{d}x$.    \item   A l'aide d'une intégration par parties, démontrer que : 
\[V= 4\pi \left(1 -  \text{e}^{-3}\right).\]    \item   Donner une valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $V$.  \end{enumerate}



\exot{BTS 2008}

\textbf{A.  Étude des variations d'une fonction}\\  On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
\[ f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}\]
 où $a$ et $b$ sont deu nombres réels.\\
  La courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal où l'unit\'e graphique est 2 cm est donnée ci-dessous.\\
  
\medskip
\psset{unit=1.4cm}
\noindent \begin{pspicture}(-2,-4)(5,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-4)(5,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-2,-4)(5,2)
\uput[ul](0,-2){A} \uput[ul](2,0){B} \uput[dl](0,0){O} \uput[dl](1,0){1} \uput[dl](0,1){1} \uput[u](3.5,0.1){$\mathcal{C}$} 
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500]{-0.46}{5}{x 2 sub 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}   \begin{enumerate}
\item  La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A et B de coordonnées respectives $(0~;~-2)$ et (2 ; 0).\\
 Déterminer les nombres réels $a$ et $b$.\\    \begin{center}\textbf{Dans la suite de cet exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par   	}\boldmath $f(x) = (x-2)\text{e}^{-x}$.\unboldmath \end{center}    \item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout $x$ de $\R,~ f'(x) = (3 -x)\text{e}^{-x}$.  		\item   Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.  		\item   Établir le tableau de variations de $f$.\\  Dans ce tableau, on ne demande pas de faire figurer les limites.
 	\end{enumerate}  \end{enumerate}    \medskip
  \noindent \textbf{B. Calcul int\'egral}\\
On note $I = \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$.    \begin{enumerate}
\item  À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que $I= - 1 - \text{e}^{-2}$.    \item  
	\begin{enumerate}
		\item  En déduire la valeur exacte de l'aire $S$ en cm$^2$ de la partie du plan limitée par les axes de coordonnées et la courbe $\mathcal{C}$ entre les points A et B d'abscisses respectives $0$ et $2$.  		\item  Donner la valeur approchée de $S$ arrondie à $10^{-2}$.
 	\end{enumerate}  \end{enumerate}







	

\end{multicols}













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