\documentclass[10pt,landscape]{report}
\usepackage{etex}
%\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage[width=260mm,height=178mm]{geometry}
\usepackage[kpfonts]{preambule}

\graphicspath{{/home/moi/Figures/FigMaple/}}   \entete{TD   Maple  n�2}{�quations
diff�rentielles}{PCSI 2 - Lyc�e Clemenceau}%g,d,b



%%%       Environnement       des       r�ponses       du       logiciel
\DefineVerbatimEnvironment{boxedverbatim}{Verbatim}{fontsize=\small,formatcom=\color{blue},fontshape=it,gobble=2,frame=single,framesep=4mm,label=\textit{\small
\textcolor{black}{R�ponse                                              du
logiciel}},xleftmargin=10pt,rulecolor=\color{black}}





\lstset{numbers=none,language=Maple,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle=\color{black}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily\color{black},commentstyle=\normalfont\small\itshape,breaklines=true,frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt,backgroundcolor=\color{white},showstringspaces=false,stringstyle=\slshape,captionpos=b}



\begin{document} 
\setlength{\parindent}{0pt} 
\thispagestyle{empty}

% \setcounter{NumLecon}{0} % \TITREC{TD Maple }{Initiation }{0.9white}
        

\begin{center} \fbox{\vtabplus \huge \bfseries TD MAPLE n�2 \hspace{5cm}
�QUATIONS DIFF�RENTIELLES}
\end{center}


\vspace{1cm}


\setlength{\columnsep}{20pt}
\begin{multicols}{2}


\section{Pr�ambule~:~approximation du nombre d�riv�}

Commentez ces instructions et leurs r�sultats...

\begin{lstlisting}
>deriv:=proc(f,h)
  x->(f(x+h)-f(x))/h
 end:

>deriv_n:=proc(f,h,n)
  if n=0 then f
  else deriv_n(deriv(f,h),h,n-1)
  fi;
 end:

>deriv(sin,0.001)(0);

>deriv_n(sin,0.00001,10)(0);
\end{lstlisting}


\section{R�solution d'�quations diff�rentielles par discr�tisation}

\subsection{Principe}


On  consid�re  une  �quation  diff�rentielle  ordinaire  (EDO  pour  les
intimes) $u'(t)=f(t,u(t))$. Lorsqu'on ne  connait pas de solution exacte
�  cette EDO,  on  essaye d'en  avoir  une bonne  approximation par  des
m�thodes num�riques.

Nous  ne  nous  pencherons  pas  ici  sur  le  probl�me  d'existence  de
solutions  : nous  supposerons que  $f$ a  les propri�t�s  qui  font des
solutions existent l� o� il faut...
 
Nous  allons par  exemple  \og  observer\fg $u$  �  intervalle de  temps
r�gulier~:~notons $h$ cette p�riode d'�chantillonnage.

Nous  allons  essayer  d'obtenir  une suite  d'approximations  $u_n$  de
$u(t_n)$ et d'�valuer la  pertinence de cette approximation, le principe
�tant r�sum� sur la figure \vref{discret} \vpageref{discret}


\begin{figure}
\begin{center}
 \includegraphics[height=4cm]{DiscretEDO.1}\caption{Principe de discr�tisation d'une EDO}\label{discret}
\end{center}
\end{figure}

Deux grandes possibilit�s s'offrent � nous pour \og se d�barrasser\fg de
$u'$ :

\begin{itemize}
 \item soit remplacer une courbe  par sa tangente, c'est � dire utiliser
une approximation  affine de  $u$. On remplacera  alors $u'(t)$  par une
fonction d�pendant  de $u$ et  ainsi obtenir une relation  de r�currence
d�finissant la suite $(u_n)$.
\item  soit int�grer  l'EDO :  nous n'aurons  plus de  $u'$ ...  mais il
faudra  calculer  une  int�grale  !  Nous pourrons  alors  utiliser  des
m�thodes  d'approximation d'int�grales  : m�thodes  des  rectangles, des
trap�zes, etc.
\end{itemize}


\subsection{ D�couverte de la m�thode d'Euler sur un exemple}

Cette m�thode, que vous avez d� �tudier au lyc�e, a pour id�e directrice
de remplacer localement une courbe par  sa tangente. Il y a des m�thodes
plus   efficaces\footnote{Notamment  celle  de   Runge-Kutta  qu'utilise
d'ailleurs   Maple},  mais   pour   l'instant  hors   de  notre   port�e
math�matique.

Soit  donc $u$  une fonction  d�rivable sur  un intervalle  $I=[a\pv b]$
v�rifiant $u(0)=1$  et , pour  tout $t$, $u'(t)=\alpha\cdot  u(t)$ (oui,
oui, c'est bon, moi aussi je sais  qui c'est, on n'a pas besoin de Maple
pour  �a, mais mieux  vaut d�couvrir  sur un  exemple simple\footnote{On
estime  l'intensit� des  radiations �mises  par un  corps  radioactif en
mesurant la  concentration $u(t)$ d'un isotope instable.  Soit $\tau$ sa
demi-vie.    Alors    $u'(t)=\alpha\cdot    u(t)\quad   \text{avec}    \
\alpha=-\fr{\ln 2}{\tau} $}...).

%Pour se  simplifier la  vie, nous r�aliserons  un maillage  r�gulier de
$I$ : nous le d�couperons en $n$ intervalles de longueur $\ofr{1}{n}$.

 Soit  $t_n$ un  �l�ment de $]a\pv  b[$ tel  que, pour $h$  un r�el
strictement positif suffisamment \og voisin\fg de 0, $t_n+h$ soit encore
dans I. On peut alors consid�rer que le quotient

\[\fr{u(t_n+h)-u(t_n)}{h}\]

r�alise une approximation d'autant plus valable de $u'(t_n)$ que $h$ est
petit.

Que  devient alors  notre EDO  \og  approch�e\fg ?  En d'autres  termes,
trouver une relation de r�currence d�finissant $(u_n)$.

 Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ?

\subsubsection{Version imp�rative}

 On va construire � pr�sent une proc�dure
\verb+eu:=proc(alpha,N,a,b)+ qui ressemblera �

\begin{lstlisting}
>euler_imp:=proc(alpha,N,a,b,u0) 
 local ...:
 h:=(b-a)/N; // le pas r�gulier 
 y:=u0; // y=u(0) au d�part 
 x:=a; // x=a au d�part
 S:=[x,y]; // on cr�� le point de depart 

   for k from ... to N do 
     x:=x+h; // on avance d'un pas

     ...
 
    S:=S,[x,y]: // on rajoute le nouveau point � notre liste 
   od:

 plot([S]); 

 end:
\end{lstlisting}


Regardez par exemple
\begin{lstlisting} 
> euler_imp(-4,6,0,3,1);
> euler_imp(-4,24,0,3,1);
\end{lstlisting} 

et commentez...

\subsubsection{Version r�cursive}

�crivez � pr�sent une version r�cursive de cette m�thode du style~:

\begin{lstlisting}
>euler_rec:=proc(alpha,x,xmax,y,h,liste)
   if x>=xmax then liste
   else euler_rec(...)
   fi;
 end:

>trace_euler_rec:=proc(alpha,xo,xmax,yo,h)
   plot(...)
 end:
\end{lstlisting}

\subsection{M�thode d'Euler : g�n�ralisation}

Oui, c'est bien  beau, mais l'int�r�t de l'informatique  c'est de r�gler
des cas les plus g�n�raux possibles.

Donc  r�fl�chissons   un  peu  ...   $u'(t)=f(u(t),t)$  et  $u'(t)\simeq
\fr{u(t+h)-u(t)}{h}$ ...

en imp�ratif...

\begin{lstlisting}
... 
for k from 1 to N do 
x:=x+h; 
y:=y+f(y,x)*h;
S:=S,[x,y]: 
od:
...
\end{lstlisting}


en r�cursif..

\begin{lstlisting}
>euler_gen_rec:=proc(f,x,xmax,y,h,liste)
   if x>=xmax then liste
   else euler_gen_rec(...)
   fi;
 end:

>trace_euler_gen_rec:=proc(f,xo,xmax,yo,h)
   plot(...)
 end:
\end{lstlisting}

\subsection{M�thode d'Euler : �quations diff�rentielles d'ordre 2}


Le  but  de  notre nouveau  jeu  va  �tre  de discr�tiser  une  �quation
diff�rentielle du second ordre, de tracer le graphe correspondant. 
Nous utiliserons le fait  que pour une
fonction $y$ deux fois d�rivable sur un intervalle I et $h$ proche de 0,
on a

$$y(x+h)\simeq y(x)+y'(x)\times h$$

et donc

$$y'(x+h)\simeq y'(x)+y''(x)\times h$$

Il s'agit maintenant de mettre au point une proc�dure imp�rative 
\verb+EquaDiff:=proc(f,xmin,xmax,y0,yp0,N)+  o�  $y0=y(0)$,
$yp0=y'(0)$ et $f$ est la fonction de 3 variables d�finie par
$y''=f(y',y,x)$ 

Une  difficult�  devrait appara�tre  due  �  l'aspect chronologique  des
affectations.  Vous  pourrez  alors  introduire  une  variable  du  type
\verb+ytemp+ ou \verb+yptemp+.

Vous en donnerez ensuite une version r�cursive.


Il  ne restera  plus  qu'�  tester vos  proc�dures  sur les  nombreuses
�quations  diff�rentielles du  second ordre  que vous  avez  r�solues en
cours avec Madame Gornet.


\subsection{M�thode du point milieu}

Les anglo-saxons l'appellent sch�ma \emph{Leapfrog}\footnote{Pourquoi ce
nom ?...}

En  fait,  pour une  fonction  suffisamment  r�guli�re sur  l'intervalle
$[a\pv  b]$,  l'id�e  est  d'approcher  la pente  entre  les  points  de
coordonn�es   $\big(t-h,u(t-h)\big)$   et   $\big(t+h,u(t+h)\big)$   par
$u'(t)$.

Quand vous aurez �tudi� les formules de Taylor, vous pourrez montrer que
l'approximation obtenue  est meilleure puisque  d'ordre 2, alors  que la
m�thode d'Euler donne une approximation d'ordre 1.

Modifiez   une   des   proc�dures   pr�c�dentes  pour   utiliser   cette
m�thode. Attention~! Il y a trois niveaux de r�currence...


\begin{lstlisting} 
x:=a; 
ymoins:=u0; 
y:=ymoins+h*f(ymoins,x); 
for k from 1 to N do 
x:=a+k*h; 
yplus:=ymoins+2*h*f(y,x); 
P(k):=[x+h,yplus]:
S:=S,P(k): 
ymoins:=y; 
y:=yplus; 
od:
\end{lstlisting}

Observez :

\begin{lstlisting} 
Mil((u,t)->-2*u+t,200,0,3,1);
Mil((u,t)->-2*u+t,600,0,3,1); 
Mil((u,t)->4*u+t,200,0,3,1);
\end{lstlisting}


MORALIT�  : l'approche  intuitive de  la notion  de limite  ($\d x\simeq
\Delta x$) permet de  mod�liser facilement certaines situations, mais si
on pousse  un peu,  on ne peut  se passer d'une  th�orisation rigoureuse
pour expliquer  certaines anomalies. Analyse num�rique ne  veut donc pas
dire bidouillage...  L'�tude de  l'estimation des erreurs  commises doit
�tre men�e avec le plus grand soin mais est encore hors de notre port�e.

Du  point  de vue  informatique,  un autre  facteur  doit  �tre pris  en
compte  :  la vitesse  de  convergence, pour  ne  pas  avoir �  attendre
quelques si�cles le r�sultat de la compilation...

\subsection{� partir de l'int�gration num�rique}




\subsubsection{Premier exemple}



Soit  $(E)$ l'�quation  diff�rentielle  $u'(t)+3u(t)=2$, $u(0)=1$.  Nous
savons parfaitement r�soudre cette �quation. Nous allons encore voir une
m�thode  qui  va  vous  para�tre  beaucoup  plus  compliqu�e,  mais  qui
s'av�rera  fort  utile  quand  il  s'agira  de  r�soudre  des  �quations
diff�rentielles  plus  sophistiqu�es  o�  les  m�thodes  habituelles  de
r�solution  ne   nous  permettront  plus  de  conclure   mais  que  vous
rencontrerez au hasard de votre carri�re d'ing�nieur.

Nous  allons <<~observer~>> la  solution de  l'�quation �  intervalle de
temps  r�gulier  :  la  p�riode d'�chantillonnage  qu'on  notera  encore
$h$. On fixera par exemple $h=0,2\, s$.

Nous allons int�grer l'�quation  $(E)$ sur une p�riode d'�chantillonnage
quelconque, c'est  � dire sur un  intervalle $\big[kh,(k+1)h\big]$, avec
$k$  un   entier  naturel.   Cela  donne,  gr�ce   �  la   lin�arit�  de
l'int�gration :

$$\int_{kh}^{(k+1)h}u'(t)\d t+3\int_{kh}^{(k+1)h}u(t)\d t=2\int_{kh}^{(k+1)h}\d t$$

On d�finit la suite $(u_k)_{k\in\bbn}$ par $u_k=u(kh)$.

Calculez le premier  terme du premier membre ainsi  que le second membre
de l'�quation : pas de probl�me.

Plus compliqu� va �tre de calculer $\int_{kh}^{(k+1)h}u(t)\d t$ car nous
ne connaissons  pas $u$, donc encore  moins une de  ses primitives. Nous
allons malgr�  tout nous  en tirer en  d�terminant une  approximation du
r�sultat.


\subsubsection{M�thode des trap�zes}



Observez la figure \vpageref{trap}


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=4cm]{DiscretEDO.2}\caption{M�thode            des
trap�zes}\label{trap}
\end{center}
\end{figure}

Il semble  raisonnable de  penser que plus  $h$ sera petit,  plus l'aire
sombre le sera �galement et donc meilleure sera l'approximation.

Maintenant,      en      vous      souvenant     de      la      formule
\[\AR(\text{trap�ze})=\fr{(\text{petite                 base}+\text{grande
base})\times\text{hauteur}}{2}\] donnez l'aire du trap�ze bleu.

\subsubsection{\'Equation aux diff�rences}



D�duisez-en  que la  suite  $(u_n)$ v�rifie  l'�quation aux  diff�rences
$(F)$
$$\fr{13}{10}u_{n+1}-\fr{7}{10}u_n=\fr{2}{5}$$
Vous reconnaissez  une suite arithm�tico-g�om�trique.  Exprimez $u_n$ en
fonction de $n$.


\subsubsection{\'Equation diff�rentielle vs �quation aux diff�rences}


Pour v�rifiez  si la  solution de l'�quation  aux diff�rences  n'est pas
tr�s �loign�e de la solution th�orique, nous allons observer la solution
de $(E)$ toutes les 0,2 s  : on pose $y_n=f(nh)$. Donnez l'expression de
$y_n$.

\sm

On  s'attend �  ce  que $u_n$  et  $y_n$ soient  tr�s  proches mais  pas
�gaux. En  effet, le  passage de  $(E)$ � $(F)$  s'op�re �  l'aide d'une
approximation (celle des trap�zes) et non d'une �quivalence.

On  pose  $d_n=y_n-u_n$.  �  l'aide  de Maple,  dressez  un  tableau  o�
figureront  les  10  premiers  termes  des suites  $(u_n)$,  $(y_n)$  et
$(d_n)$. Cela vous rassure-t-il~?

Montrez  que  $(d_n)$  est  en  fait la  diff�rence  entre  deux  suites
g�om�triques.  Utilisez ce  r�sultat  pour confirmer  ou infirmer  votre
conjecture.

\subsubsection{Magie ?}

\bigskip

Tout serait donc magique en  maths, ou bien n'avez-vous �t� confront�(e)
toute votre vie qu'� des probl�mes truqu�s~?  \sm

Soit $(E')$  l'�quation diff�rentielle $2u'(t)-3u(t)=t$,  $u(0)=2$. Vous
pouvez demander  � Maple de v�rifier  que la solution  de cette �quation
est            la             fonction            $s$            d�finie
par $$u(t)=-\fr{1}{3}t-\fr{2}{9}+\fr{20}{9}{\rm e}^{3/2t}$$ Vous pourrez
peut-�tre  un jour  montrer  que  la suite  solution  de l'�quation  aux
diff�rences                associ�e                �               $(E)$
est $$u_n=\fr{20}{9}\pa{\fr{43}{37}}^n-\fr{1}{30}n-\fr{2}{9}$$

On pose encore $d_n=y_n-u_n$.  Pouvez-vous conclure comme dans l'exemple
pr�c�dent~? Moralit�~?

\subsubsection{Comparaison avec le m�thode d'Euler}

Cette  m�thode  est-elle  plus   pr�cise  que  la  m�thode  d'Euler  vue
pr�c�demment ?


\subsection{G�n�ralisation}

En dehors des �quations lin�aires, la g�n�ralisation devient extr�mement
difficile... Nous nous contenterons donc des �quations du style

\[u'(t)=\alpha u(t)+\beta t+\gamma\]

�crivez  donc une proc�dure  ayant pour  arguments $\alpha$,  $\beta$ et
$\gamma$, les  bornes $a$  et $b$  de l'intervalle, le  nombre N  de \og
mailles du filet\fg et la valeur de $u(0)$.

\end{multicols}

% \pagebreak

% \printindex

\end{document} %%%  Local Variables: %%%  mode: latex %%%  TeX-master: t
%%% End:
