%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{GraphesExemple.mp}
%input newcourbes;
%input couleur;
%input geometriesyr16;
%input TEX;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fleche avec légende au mileu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ex label.ulft(btex $1$ etex, fleche(aa,cc) aa.c{dir50} .. cc.c) ;
%


vardef fleche(suffix a,b) expr p =
 save r; path r;
r:=p cutbefore bpath.a cutafter bpath.b;
  drawarrow r;
  point .5*length r of r
enddef;

%%%%%%%%%%%%%%%%fleche sur elle-même
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%ex: label.bot(btex $5$ etex, self.bb(0cm,-1cm)) ;
%%


vardef self@# expr p =
  fleche(@#,@#) @#.c{curl0}..@#.c+p..{curl0}@#.c enddef;





input rboxes;
 



 beginfig(2);

   circleit.bb(btex $V_3$ etex );
   circleit.aa(btex $V_2$ etex );
   circleit.cc(btex $V_1$ etex );
   circleit.mm(btex $  $ etex );

   
   bb.c-mm.c=mm.c-aa.c=(3cm,0);
   cc.c-mm.c=(0,5.196cm);

   

   drawboxcol(aa)(0.9white);
   drawboxcol(bb)(0.9white);
   drawboxcol(cc)(0.9white);

   label.llft(btex 0,2 etex, self.aa(-0.5cm,-0.5cm) );
   label.top(btex 0,8 etex, self.cc(0,0.7cm) );
   label.lrt(btex 0,2 etex, self.bb(0.5cm,-0.5cm) );
   label.lft(btex 0,3 etex, fleche(aa,cc) aa.c{dir 75}..cc.c);
   label.rt(btex 0,1 etex, fleche(cc,aa) cc.c{dir 255}..aa.c);
   label.rt(btex 0,1 etex, fleche(cc,bb) cc.c{dir 315}..bb.c);
   label.lft(btex 0,2 etex, fleche(bb,cc) bb.c{dir 135}..cc.c);
   label.top(btex 0,6 etex,fleche(bb,aa) bb.c{dir 165}..aa.c );
   label.bot(btex 0,5 etex,fleche(aa,bb) aa.c{dir 345}..bb.c );
 endfig;


end
\end{filecontents*}
















\documentclass[a4paper]{report}

\usepackage[height=250mm,width=180mm,a4paper,twoside]{geometry}
\usepackage{algorithmic}
\usepackage{preambule,filecontents}


\entete{ Colle MAPLE n°9 }{Autour du calcul matriciel}{Lycée Clemenceau - PCSI 2 }

\renewcommand{\sf}{\textsf}


\graphicspath{{/home/moi/Lycee/TDmaple/2006_7/}{/home/moi/Figures/Arbres_Graphes/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigMaple/}}



\usepackage{listings}

\lstloadlanguages{XCAS}
\lstset{numbers=none,language=XCAS,%
keywordstyle =\color{0.4white}\bfseries\sffamily,basicstyle=\sffamily,%\small,
    backgroundcolor=\color{0.9white}}
   


\renewcommand{\gros}[1]{\textcolor{0.4white}{\sffamily\textbf{#1}}}



\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0mm}

\setcounter{NumLecon}{8}
         \TITREC{Colle n°}{Calcul matriciel}{0.8white}
         

\section{Un petit lexique}

Pour les vecteurs, on peut utiliser \Coms{vector}{[coordonnées]}
                                                             qui est en fait un tableau à une ligne. Les fonctions les
plus courantes sont \Coms{norm}{vecteur}, \Coms{dotprod}{vecteur1,vecteur2} (produit scalaire), \Coms{crossprod}{vecteur1,vecteur2}
(produit vectoriel).
Pour les matrices, nous aurons besoin d'une des plus grosses bibliothèques de Maple : linalg.
On définit une matrice par 

\begin{center}
  \Coms{matrix}{nb lignes, nb colonnes, [a11,a12,a13,...,a1n,a21,a22,a23,...a2n,...,ap1,ap2,ap3,...,apn]}
\end{center}



Par exemple
\begin{lstlisting}
  A:=matrix(2,2,[1,2,3,4]);
\end{lstlisting}

La forme affichée n'est pas très exploitable. Il faudra utiliser \Coms{evalm}{matrice}. On peut additionner, multiplier,
élever à une puissance, appliquer une fonction à une matrice selon la syntaxe habituelle, sauf pour le produit où
il faudra taper \&*.
Il existe 114 fonctions dans linalg plus celles déjà présentes sur Maple : nous ne les explorerons pas toutes !
Nous allons les découvrir à travers des petits exercices.

\section{Quelques exercices}

\subsection{Noyau, image}

Qu'est-ce que l'endomorphisme de $\bbr^2$ d'expression analytique canonique

$$\bsyc x'&=&-\fr{1}{5}x-\fr{2}{5}y\\y'&=&\fr{3}{5}x+\fr{6}{5}y \esyc$$

                                           
                                                      
Vous aurez besoin de déterminer la matrice A associée, le noyau de A grâce à \Coms{kernel}{A} qui en renvoie une base,
l'image avec \Coms{colspace}{A}. Ensuite, à vous d'essayer des petits calculs sur A pour deviner sa nature.




\subsection{Puissances de matrices}

\been

\item
 Soit $\ds A=\frac{1}{3}\bmat
0&-2&-2\\
2&0&-1\\
2&1&0 \emat $.



\been
\item
Calculer $A^2,A^3$ et $A^4$.
\item \m $\{A,A^2,A^3,A^4\}$ est un groupe pour le produit matriciel de $\mathcal{M}_3(\bbr)$.
%\item Que peut-on dire de ce groupe ?
\een


\item
Pour chacune des matrices $A$ suivantes, calculer $A^n$ pour tout $n\in\bbn$. \been
\item $\bmat 1&a\\ 0&1\emat$ avec $a\in\bbr$.
\item La matrice $J_p$ de $\mathcal{M}_p(\bbr)$ dont tous les
coefficients sont égaux à 1. \een \een






\subsection{Inverse de matrices}




Soit $A=\bmat 1&0&a\\ 1&a&-1\\a&0&1 \emat$. Pour quelles valeurs de $a$, la matrice $A$ est-elle inversible. Calculez alors l'invesre de $A$.


\section{Mini-chaînes de Markov...}


\subsection{Aidons la mafia}

Les chaînes de Markov sont issues de la théorie des probabilités et utilisent des outils d'algèbre linéaire qui nous intéressent aujourd'hui. Elles permettent de simuler des phénomènes aléatoires qui évoluent au cours du temps. Nous allons les découvrir à travers l'étude d'un exemple simple.

Zlot, Brzxxz et Morzgniouf sont trois villes situées respectivement en Syldavie, Bordurie et Bouzoukstan. Des traficants de photos dédicacées du groupe ABBA prennent leur marchandise le matin dans n'importe laquelle  de ces villes pour l'apporter le soir dans n'importe quelle autre. On notera pour simplifier $V_1$, $V_2$ et $V_3$ ces villes et $p_{ij}$ la probabilité qu'une marchandise prise le matin dans la ville $V_i$ soit rendue le soir dans la ville $V_j$. La matrice $(p_{ij})_{1\ie i \ie 3\\ 1\ie j\ie 3}$ est appelée \textit{matrice de transition} de la chaîne de Markov. Que s'attend-on à observer sur les colonnes d'une matrice de transition ?

Supposons que $P$ soit connue et vaille $$P=\bmat 0,8 &0,3 &0,2\\ 0,1&0,2&0,6\\ 0,1&0,5&0,2\emat$$

Les traficants se promenant de ville en ville, il peut être utile de visualiser leurs déplacements par le  \textit{diagramme de transition} suivant



\begin{center}
  \includegraphics{GraphesExemple.2}
\end{center}



On notera $x_i^{(k)}$ la proportion de traficants qui se trouvent au matin du jour $k$ dans la ville $V_i$. En probabilités, on appelle \textit{vecteur d'état} tout élément $(x_1,\cdots,x_n)$ de $\bbr^{+n}$ tel que $x_1+\cdots+x_n=1$. 

Ainsi, $x^{(k)}=\pa{ x_1^{(k)},x_2^{(k)},x_3^{(k)}}$ est un vecteur d'état.

On montre que les vecteurs d'état de la chaîne sont liés par la relation

$$x^{(k)}=P\cdot x^{(k-1)}$$

et donc

$$x^{(k)}=P^k\cdot x^{(0)}$$


Supposons que le chef de la mafia locale dispose de 1000 traficants qui partent tous le matin du jour 0 de la ville de Zlot. Quelle sera la proportion de traficants dans chacune des villes au bout d'une semaine ? d'un mois ? d'un an ?

\bigskip

Le parrain voudrait que la  proportion moyenne  de traficants soit stable d'un jour sur l'autre. Il recherche donc les vecteurs d'état $x$ vérifiant l'équation $P\cdot x=x$. Vous apprendrez après l'été à résoudre de manière systématique ce genre de problème. Nous allons pour l'heure nous débrouiller sans appui théorique mais avec Maple et la fonction \Coms{linsolve}{A,B} qui permet de résoudre les équations du type AX=B avec A une matrice, B un vecteur connu et X le vecteur inconnu. Comment procéder ?

\subsection{Météo}

\`A Morzgniouf, les jours sont soit secs, soit pluvieux. On désigne par $E_1$ l'état sec et $E_2$ l'état pluvieux et par $p_{ij}$ la probabilité qu'un jour soit dans l'état $E_i$ sachant que le jour précédent était dans l'état $E_j$. Les scientifiques Bouzouks ayant observé les phénomènes météorologiques des trent-deux dernières années à Morzgiouf ont établi la matrice de transition suivante

$$P=\bmat 0,750&0,338\\0,250&0,662\emat$$

Sachant qu'il fait beau aujourd'hui, quelle est la probabilité qu'il pleuve dans dix jours ?






\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
