
\documentclass[10pt,a4paper]{report}
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\entete{Probabilités}{Probabilités}{Lycée Jean Perrin - T\textsuperscript{ale}STI }%g,d,b

\setcounter{NumLecon}{3}




% \theoremclass{Theorem}
% \theoremstyle{break}
% \newshadedtheorem{Defi}{Définition}[Lecon]






\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}



\TITREC{Chapitre }{PROBABILITÉS}{yellow}







\section{Quelques exemples pour explorer}

\subsection{Une activité de CE1}



Pour la fête de l'école, les élèves de $\text{CE}_2$ ont préparé
une danse qui s'exécute par couples~: un garçon, une fille. La
maîtresse doit faire des essais pour trouver les couples qui
s'accordent le mieux, en appelant d'abord le garçon puis la fille.

Voici l'ensemble des garçons $G=\big\{\text{Alain ; Bernard ;
Pierre }\big\}$

Voici l'ensemble des filles $F=\big\{\text{ Lise ; Renée ;
Catherine ; Denise }\big\}$

En mathématiques, nous aurons souvent à écrire des couples,
appelés aussi 2-listes. Pour cela, nous utiliserons toujours la
même écriture; par exemple, le couple formé du garçon <<~Alain~>>
et de la fille <<~Renée~>> sera écrit~: \textbf{( Alain , Renée
)}. Dans ce couple, <<~Alain~>> est le premier terme et
<<~Renée~>> le deuxième terme. L'ordre des termes est important.

Citons le plus possible de couples. Nous en avons trouvé beaucoup;
le travail devient difficile : il faut vérifier pour chaque couple
nouveau qu'il n'a pas été cité; sommes-nous sûr(e)s de ne pas en
avoir oublié~?

Il existe un moyen très facile qui nous permettra d'écrire tous
les couples~: un \textbf{arbre}. Les trois premières branches
représentent chacune un garçon. De l'extrémité de chacune de ces
branches partent quatre branches représentant chacune une fille. À
chaque extrémité de ces dernières branches nous pouvons écrire un
couple.

\vspace{6cm}

Il y a donc $3\times 4$ couples distincts~: 3 possibilités pour le
garçon $\times$ 4 possibilités pour la fille.


\subsection{Description statistique}
Une enquête est effectuée auprès des 100 élèves d'un lycée syldave concernant le temps de travail hebdomadaire et le sexe des élèves.

On a obtenu le tableau suivant 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\textwidth}{Y{1}}
\whline
\backslashbox{sexe}{travail} & $< $ 5 minutes & $\se$ 5 minutes \\
\whline
filles & 20 & 15 \\
\hline 
garçons & 60 & 5\\
\whline
\end{tabularx} 
\end{center}


Soit T l'ensemble de ceux qui travaillent plus de 5 minutes par semaine et G l'ensemble des garçons. Alors on notera $\bar{T}$ le complémentaire de T dans la population totale du lycée, et $\bar{G}$ celui de G, c'est à dire l'ensemble des filles.

Alors on peut construire le tableau des fréquences correspondant

\begin{center}
\begin{tabularx}{\textwidth}{Y{2}}
\whline
\backslashbox{sexe}{travail} & $\bar{T}$ & T & fréquence par sexe \\
\whline
$\bar{G}$ & 20\% & 15\% & 35\% \\
\hline 
G & 60\% & 5\% & 65\% \\
\hline fréquence par temps de travail & 80\% &20\% &100\%\\
\whline
\end{tabularx} 
\end{center}





\subsection{Découvrons sur un exemple le vocabulaire des probabilités}

Une situation probabiliste n'existe que s'il y a une expérience ( à issue ) aléatoire. Il faut pour cela  introduire par exemple l'expérience habituelle <<~on prélève au hasard un élève du lycée syldave~>>. L'ensemble des issues de cette expérience est appelé mathématiquement l'\textbf{univers}, souvent noté $\Omega$ : c'est ici l'ensemble des 100 élèves du lycée.

Les parties T et G de $\Omega$ sont des \textbf{événements} qui seront décrits à l'aide de phrase entre guillemets. Par exemple, G est l'événement <<~l'élève syldave prélevé est un garçon~>>.

On suppose les élèves syldaves indiscernables à la vue, l'ouïe, le goût, le toucher et l'odorat : cette condition assure l'\textbf{équiprobabilité} vue en Première.

Ainsi, la probabilité que l'élève prélevé travaille plus de 5 minutes vaut $\bbp(T)=\fr{20}{100}$, la probabilité pour que ce soit un garçon vaut $\bbp(G)=\fr{65}{100}$ et la probabilité pour que l'élève prélevé soit un garçon qui travaille plus de 5 minutes vaut $\bbp(G\cap T)=\fr{5}{100}$




\sm

Maintenant, \textbf{parmi les garçons}, on en choisit un au hasard.   L'univers a donc changé, mais pas les propriétés du tirage, ce qui assure encore l'équiprobabilité.


La probabilité pour que ce garçon  travaille plus de 5 minutes vaut $\fr{5}{65}=\fr{1}{13}$.



\section{Des définitions et des théorèmes}

Nous ne préciserons pas  plus, à notre niveau, les notions d'expérience  et d'issue introduites dans
l'exemple précédent.


\subsection{Notion d'événement}




On considère  une épreuve aléatoire. Un  événement est en quelque  sorte une condition  dont on peut
dire après l'expérience, si elle est réalisée ou non. Par exemple, précédemment, on a considéré l'événement <<~l'élève syldave prélevé est un garçon~>>. 


En fait
\begin{Defi}
  Un événement est un sous-ensemble de l'univers $\Omega$
\end{Defi}


Il existe des événements un peu particuliers. 

\subsubsection{Événement contraire}

L'événement contraire d'un événement A est l'ensemble des  issues qui ne sont pas dans A. On le note
souvent $\overline{A}$. 


Ainsi,  si  l'on  reprend  l'événement  $G$  <<~l'élève  syldave  prélevé  est  un  garçon~>>,  alors
$\overline{G}$ sera « l'élève prélevé n'est pas un garçon\footnote{C'est donc en général une fille.} »


\subsubsection{Événement impossible}

Cet événement n'est réalisé par aucune issue lors de l'expérience considérée. 


Par  exemple, l'événement  « l'élève  prélevé suit  avec  passion les  cours de  mathématiques »  ne
contiendra aucune issue, à moins d'effectuer l'expérience  sur une autre galaxie ce qui n'est pas le
cas. 

Comme cet événement ne contient aucune issue, il est \emph{vide}~:~on le note donc $\emptyset$. 

\subsubsection{Événement certain}


C'est un événement réalisé par toutes les issues. Par exemple~:«~l'élève prélevé(e) est un(e) élève~»

Comme cet événement contient toutes les issues, c'est en fait l'univers tout entier.


\subsection{Réunion et intersection}

\begin{Defi}
  Soit $\Omega$ un univers lié à une expérience aléatoire et $P$ une loi de probabilité sur $\Omega$. Soit $A$ et $B$ deux événements de $\Omega$.
  \begin{itemize}
  \item L'événement constitué des éventualités appartenant à $A$ \emph{et} à $B$ est noté $A\cap B$. (on lit \og $A$ inter $B$\fg ou \og $A$ et $B$ \fg).
  \item L'événement constitué des éventualités appartenant à $A$ \emph{ou} à $B$ ou aux deux est noté $A\cup B$. (on lit \og $A$ union $B$ \fg ou \og $A$ ou $B$ \fg).
  \end{itemize}
\end{Defi}


Toujours en reprenant notre exemple initial
\begin{itemize}
\item $G\cap  T$ est l'événement  « l'élève prélevé  est un
garçon travaillant moins de 5 minutes »
\item $G\cup  T$ est l'événement  « l'élève prélevé  est un
garçon ou un(e) élève travaillant moins de 5 minutes »
\end{itemize}


\subsection{Qu'est-ce qu'une probabilité~? }

Nous pouvons, même à notre niveau, donner une définition d'une probabilité :

\begin{Defi}
  Notons $\Omega$ l'ensemble des issues possibles d'une expérience
 (l'univers).

  On appelle probabilité sur $\Omega$  toute  <<~transformation~>> $\bbp$
 allant de l'ensemble
 des <<~parties~>> de $\Omega$ dans $[0,1]$ et vérifiant
 $\bbp(\Omega)=1$ et $\bbp(A\cup B)=\bbp(A)+\bbp(B)$ pour toutes <<~parties~>>
 $A$ et $B$ de $\Omega$ \emph{disjointes} (C'est à dire dont l'intersection est vide). 
\end{Defi}



C'est un peu  abstrait. Mais il faut retenir qu'une  probabilité est une sorte de  fonction qui à un
événement\footnote{Donc un ensemble} associe un nombre compris entre 0 et 1.


En particulier 


\begin{Pro}
  \[
\bbp(\emptyset)=0
\]
\end{Pro}


On n'a pas trop de scrupules à se persuader que la probabilité de l'événement impossible est nulle. Par exemple, si vous lancez un
dé cubique  dont les  six faces sont  numérotées de  1 à 6,  alors on écrira  que la  probabilité de
l'événement « le résultat lu sur le dé est 42 » est nulle.

\smallskip

Ça se comprend...Mais ça peut même se prouver~! 

Allez...pour le plaisir intellectuel...même si ça ne tombera pas dans le contrôle... 

Considérons  $\Omega$  et $\emptyset$~:~leur  intersection  est  bien sûr  vide.  Ce  sont donc  des
événements disjoints. 

D'après notre définition, on peut donc écrire que 

\[
\bbp(\Omega\cup \emptyset)=\bbp(\Omega)+\bbp(\emptyset)
\]

Mais  si  vous   collez  du  vide  à   un  ensemble,  celui-ci  ne  change   pas,  i.e.  $\Omega\cup
\emptyset=\Omega$. 

Or, d'après notre définition, $\bbp(\Omega)=1$, donc 



\[
1=1+\bbp(\emptyset)
\]



Et nous  en déduisons que $\bbp(\emptyset)=0$\footnote{Shakespeare  aurait dit «  \emph{much ado for
    nothing...}»}



\medskip


Une autre propriété importante est 

\begin{Pro}
  \[
\bbp(\overline{A})=1-\bbp(A)
\]
\end{Pro}



Allez, essayez de le prouver : ça se fait comme pour la propriété précédente...



\medskip


Ensuite, vous retiendrez


\begin{Pro}
  
\[
p(A\cup
 B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)
\]
\end{Pro}




 \parpic(2cm,2.4cm)[r]{\includegraphics{limfonc.74}} Pour cette dernière propriété, je vous donne un petit coup de pouce : il faut découper
 notre réunion en ensembles disjoints en écrivant par exemple que \bel
 \item $A=(A\setminus B)\cup (A\cap B)$
\item $B=(B\setminus A)\cup (A\cap B)$
\item $A\cup B=(A\setminus B)\cup(A\cap B)\cup(B\setminus A)$
\el






Retenez donc que les probabilités, ce n'est pas du <<~bidouillage~>>, qu'on utilise des définitions, des théorèmes, et donc des démonstrations  comme par exemple vous le faites depuis longtemps en géométrie.

\sm

\danger Faîtes bien attention maintenant à ne pas confondre univers fini et équiprobabilité. Considérez par exemple la situation suivante~:~on
sonne à votre porte. Quelle est la probabilité pour que ce soit Monica Bellucci ( ou  Quasimodo ) qui vienne vous demander en mariage ~? L'univers ne contient que deux événements élémentaires
: ou bien c'est Monica ou bien ce n'est pas Monica. Le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas
possibles est donc de 1/2, pourtant...



\subsection{Un autre exemple pour mettre en pratique}

Considérons l'expérience simplissime consistant à lancer deux fois un dé à six faces. L'univers $\Omega$ est donc constitué de l'ensemble
des couples $(i,j)$, avec $i$ et $j$ appartenant à l'ensemble $[\![1,6]\!]$ : il y a donc 36 éléments dans $\Omega$. Intéressons nous à
la somme des deux chiffres et soit $A$ l'événement <<~le total fait neuf~>>. 

$$A=\ac{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}$$
donc
$$\bbp(A)=\fr{4}{36}=\fr{1}{9}$$

Soit $B$ l'événement : <<~on obtient 3 au premier lancer~>>, alors

$$B=\ac{(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}$$
donc
$$\bbp(B)=\fr{6}{36}=\fr{1}{6}$$












\section{Variable aléatoire}





\subsection{La théorie}

Vous vous souvenez que l'$univers$ probabilisable, souvent noté
$\Omega$, est constitué de toutes les <<~éventualités~>> ou
<<~issues~>> d'une expérience aléatoire.

Avant de parler de lois de probabilités, penchons nous sur le
terme \textit{discrètes}~: il traduit le fait que l'on peut
<<~dénombrer~>> chacune des issues; on peut leur donner un numéro.
Nous étudierons plus tard dans l'année des lois de probabilité
$continues$~: on ne pourra pas donner un numéro à chacune des
issues; par exemple, on ne peut pas compter tous les nombres réels
compris entre 2 et 3.

\begin{Defi}[Variable aléatoire]

 Soit $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\}$ un
univers muni d'une probabilité. On appelle \textbf{variable
aléatoire} toute fonction de $\Omega$ dans $\bbr$. 

\end{Defi}

\medskip

Soit $x_1,\cdots,x_k$ les différentes valeurs prises par la
fonction $X$.

On note $\{X=x_i\}$ l'événement <<~la variable aléatoire prend la
valeur $x_i$~>>. Il se note rigoureusement $\{\omega\in\Omega\  |\
X(\omega)=x_i\}$, ce qui se lit <<~l'ensemble des $\omega$ tels
que $X(\omega)=x_i$~>>.



\begin{Defi}[ Loi de probabilité] 
Soit $(\Omega,p)$ un univers  muni d'une probabilité $p$
et $X$ une variable aléatoire sur $\Omega$. On appelle \textbf{loi
de probabilité} de $X$ la fonction $\f$ de $\bbr$ dans $[0,1]$
définie par
$$\f~:\ x\mapsto p(X=x)$$
\end{Defi}




\smallskip


Remarque~: si $x\not\in \Omega$, alors $(X=x)=\emptyset$ et donc
$p(X=x)=0$.

Définir \textit{la loi de probabilité d'une expérience aléatoire}
reviendra donc à~: \bel \item déterminer toutes les valeurs
possibles $x_1,\cdots,x_n$ prises par $X$; \item calculer les
probabilités $p_1,\cdots,p_n$ des événements correspondants; \item
regrouper les résultats dans un tableau du type

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Valeurs prises par $X$ & $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ & $x_n$ \\
\hline Probabilité correspondante $p(X=x_i)$  & $p_1$ & $p_2$ & $\cdots$ & $p_n$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\el

\smallskip

Vous n'oublierez pas de vérifier que $p_1+\cdots+p_n=1$ d'après le
principe des probabilités totales.


\smallskip

\begin{Defi}[ Espérance mathématique]

On appelle \textbf{espérance mathématique} de la variable
aléatoire $X$ le nombre noté $\bbe(X)$ défini par
$$\bbe(X)=x_1\times p(X=x_1)+x_2\times p(X=x_2)+\cdots+x_n\times
p(X=x_n)=\ds\sum_{i=1}^nx_i\cdot p(X=x_i)$$

\end{Defi}


\begin{description}
\item[La même chose sous un autre angle] :
puisque nous n'étudierons que des situations où l'univers n'est constitué que d'un nombre fini d'éléments, nous pouvons l'écrire sous la forme 
\[ \Omega=\big\{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n \big\}\]
C'est ce que nous faisons en pratique : pour décrire le comportement d'une variable aléatoire, nous étudions son action sur chaque événement élémentaire.
Ces événements élémentaires formant une partition de l'univers, on  a 

\begin{The}[ Espérance mathématique : autre formulation]

Soit $\Omega=\big\{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n \big\}$ l'univers. On a
$$\bbe(X)=\ds\sum_{i=1}^nX(\o_i)\cdot p(\o_i)$$

\end{The}



\item[Exemple] : on lance un dé honnête. On définit la variable aléatoire $X$ qui prend la valeur 2 si le numéro du dé est pair et 1 sinon.

Notons $\omega_i$ l'événement \og le  numéro de la face est $i$ \fg, alors $\Omega=\big\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\o_4,\o_5,\omega_6 \big\}$
et 

\sm

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\textwidth}{Y{5}}
\whline $i$ & 1&2&3&4&5&6\\
\whline $p(\o_i)$ & 1/6 & 1/6& 1/6& 1/6& 1/6& 1/6\\
\whline $X(\o_i)$ & 1&2&1&2&1&2\\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}

\sm

D'après le théorème précédent, on a $\bbe(X)=1\times \fr{1}{6}+2\times \fr{1}{6}+1\times \fr{1}{6}+2\times \fr{1}{6}+1\times \fr{1}{6}+2\times \fr{1}{6}=\fr{3}{2}$

\medskip

Nous aurions pu procéder autrement pour définir la loi de probabilité

\sm

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\textwidth}{Y{1}}
\whline
Valeurs prises par X &1&2\\
\whline
Probabilité correspondante $p(X=x_i)$ & 1/2 &1/2\\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}

\sm

alors, d'après la définition, $\bbe(X)=1\times \ud+2\times \ud=\fr{3}{2}$


\end{description}

\smallskip

\subsection{Variance}

La variance mesure l'<<~écart~>> par rapport à l'espérance en faisant la somme  des carrés  des \og distances \fg entre chaque valeur prise par la variable aléatoire et l'espérance pondérés par la probabilité correspondante, ce qui donne  

\begin{Defi}[Variance]\label{var}
\[\bbv(X)=\ds\sum_{i=1}^n\big(x_i-\bbe(X)\big)^2\cdot p(X=x_i)\]
\end{Defi}


\begin{description}
\item[Remarque] : on a choisi d'utiliser les carrés de manière arbitraire pour ne pas avoir de problèmes de signes; on aurait pu choisir une autre méthode, mais celle-ci a l'avantage de rappeler la distance euclidienne bien connue. La variance est en ce sens homogène au carré d'une distance. On va donc définir une distance proprement dite en en prenant la racine carrée : c'est ce qu'on appelle l'écart-type.
\end{description}

\begin{Defi}[\'Ecart-type]

\[\sigma(X)=\sqrt{\bbv(X)}\]


\end{Defi}

\begin{description}
\item[Remarque] : vous pouvez obtenir espérance, variance et écart-type très simplement à l'aide des modules statistiques de vos calculatrices. Il suffit de rentrer les valeurs prises par la variable aléatoire en liste 1, les probabilités correspondantes en liste 2.
\end{description}








\section{Quelques exercices}


\exot{}


Un jeu syldave consiste  à lancer simultanément un dé cubique parfaitement  équilibré et son voisin,
lui aussi parfaitement équilibré,
du 1\er étage.\\
Si le  voisin tombe sur  le dos, on  lui associe le  nombre $1$.  S'il tombe  sur le ventre,  on lui
associe le nombre $2$.\\
Un résultat est la somme du numéro obtenu sur le dé et du nombre obtenu par le voisin. 


\begin{enumerate}
\item Dresser un arbre de toutes les possibilités.
\item Déterminez les probabilités de chaque événement élémentaire.
\item Déterminer les probabilités suivantes :
  \begin{enumerate}
  \item la somme est impaire ;
  \item la somme est multiple de $3$ ;
  \item la somme n'est ni $6$, ni $5$ ;
  \item la somme est au moins $4$ ;
  \item la somme est au plus $3$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}




\exot{}




Dans la capitale syldave qui compte 300 habitants, $70~\%$ sont des fiéfés menteurs.\\
$40~\%$ des habitants  organisent des orgies de chamallow tous les jeudis soirs.\\
$30~\%$ des  habitants sont  des fiéfés  menteurs qui organisent  des orgies  de chamallow  tous les
jeudis soirs.\\
La police secrète syldave torture au hasard un habitant de la ville.
On note  $F$ l'événement «~l'habitant torturé  est un fiéfé menteur~»,  $O$ l'événement «~l'habitant
torturé organise des orgies de chamallow tous les jeudis soirs~». 

\begin{enumerate}
\item Résumez la situation dans un tableau à double entrée.
\item Déterminez $\bbp(\overline{F} \cap O)$.
\item Déterminer $p(\overline{F} \cup O)$. 
\item Calculez la probabilité que vous alliez passer vos vacances en Syldavie.
\end{enumerate}





\exot{}


Plusieurs amis syldaves veulent choisir une activité pour la soirée.\\
$73~\%$  d'entre eux  veulent  se baigner  nus dans  la  fontaine gelée  de  la Place  du Génie  des
Carpathes, $30~\%$ veulent aller chasser le ver de terre sauvage à poil ras, $3~\%$ n'aiment aucune de ces deux activités.\\
Appelons $V$ l'évènement \og la personne veut aller chasser le ver de terre sauvage à poil ras \fg{}
et $B$ l'évènement \og la personne veut  se baigner  nue dans  la  fontaine gelée  de  la Place  du Génie  des
Carpathes \fg.

\begin{enumerate}
\item Illustrer la situation à l'aide d'un tableau de probabilités.
\item Dessiner le diagramme de Venn correspondant.
\item  Quelle est la part des amis qui veulent aller chasser le ver de terre sauvage à poil ras et se baigner  nus dans  la  fontaine gelée  de  la Place  du Génie  des
Carpathes ?
\item Quelle est la part des amis qui veulent aller chasser le ver de terre sauvage à poil ras ou se baigner nus dans la fontaine gelée de la Place du Génie des
Carpathes ? 
\item Quelle est la part de gâteau qui contient la fève ? 
\end{enumerate}







\exot{}




On a trois cartons : on écrit sur le premier \og \textgoth{K} \fg, sur le second
\og \textfrak{X} \fg{} et sur le troisième \og \textfrak{S} \fg. On retourne les cartons sur une table.

\begin{enumerate}
\item On choisit un carton, on note la lettre, on remet le carton sur la table, et on choisit de nouveau au hasard un deuxième carton, on note la lettre.
  \begin{enumerate}
  \item Construire un arbre de choix pour déterminer tous les tirages possibles.
  \item Quelle est la probabilité d'obtenir le mot \og \textfrak{XS} \fg{} (\og \textfrak{X}
    \fg{} puis \og \textfrak{S} \fg) ?
  \end{enumerate}
\item On choisit un carton sans le remettre, on note la lettre, et on choisit de nouveau au hasard un deuxième carton, on note la lettre.
  \begin{enumerate}
  \item Construire un arbre de choix pour déterminer tous les tirages possibles.
  \item Quelle est la probabilité d'obtenir le mot \og \textfrak{XS} \fg{} (\og \textfrak{X}
    \fg{}puis \og \textfrak{S} \fg ) ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}






\exot{}

Quatre personnes déposent leurs Kalashnikov au vestiaire d'un restaurant syldave. 
La dame du vestiaire, un tantinet espiègle, décide de rendre les 
Kalashnikov au hasard. Quelle est la probabilité qu'au moins un client 
retrouve sa Kalashnikov? 
 
\begin{description} 
\item{\bf Indication:} Il est plus simple de calculer la probabilité de 
l'événement contraire. 
\end{description} 



\exot{}




Marko \^Czz\c ztztshhh\^yt veut se débarrasser de son beau-frère pour devenir Grand
Conducteur de La Syldavie à sa
place. Il  lui confectionne donc  un gâteau au  chocolat avec 15 gousses  d'ail\footnote{Une vieille
  recette syldave} empoisonnées à l'intérieur. 

Malheureusement, son beau-frère  l'invite à partager le gâteau  avec ses 6 gardes du  corps qui font
office de ministres. 

Le gâteau est donc partagé en 8 parts de même taille. 

Quelle est la probabilité que la part de Marko contienne au moins une part empoisonnée~?









\section{Au Bac}


\exot{}


Un professeur d'Educatiors Physique et Sportive s'adresse \`a un groupe de vingt \'el\`eves au sujet de leurs loisirs int\'er\^et pour le football dans la pratique de ce sport ou comme spectacle \`a la t\'el\'evision.\\
Parmi ces vingt \'el\`eves, on sait que quinze regardent des matches \`a la television, huit pratiquent ce sport et cinq font les deux.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que deux \'el\`eves dans ce groupe ne s'int\'eressent au football ni
dans la pratique, ni \`a la t\'el\'evision.
\item  Un \'el\`eve de ce groupe est choisi au hasard.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilit\'e qu'il ne s'int\'eresse au football ni dans la pratique ni ni \`a la t\'el\'evision ? 	
\item  Quelle est la probabilit\'e qu'il s'int\'eresse au football \`a la t\'el\'evision sans
le pratiquer ? 
\end{enumerate}
\item  On interroge au hasard un \'el\`eve qui regarde les matches \`a la t\'el\'evision.\\
Quelle est la probabilit\'e qu'il pratique le football ?	
\item  On attribue au hasard un num\'ero \`a chacun des vingt \'el\`eves. Une urne comporte 20 jetons avec les num\'eros en question.\\
On tire deux fois au hasard on jeton en le remettant dans l'urne apr\`es le
premier tirage.\\
\`A chaque tirage, l'\'el\`eve d\'esign\'e gagne un billet d'entr\'ee au match de son choix \`a condition qu'il pratique le football et le suive \`a la t\'el\'evision.
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer le nombre total de tirages de deux jetons. 
\item  D\'eterminer le nombre total de tirages permettant d'obtenir deux billets,
 Soit X la variable al\'eatoire d\'efinie par le nombre de billets gagnants.
\item  D\'efinir la loi de probabilit\'e de X et son esp\'erance math\'ematique. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}








\exot{}


Un jeu consiste \`a tirer une boule dans une urne qui contient des boules rouges, des boules vertes et des boules noires.\\
La r\`egle du jeu indique que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  si la boule tir\'ee est rouge, l'organisateur du jeu donne I \eurologo{} au joueur
\item[$\bullet~$]  si la boule tir\'ee est verte, l'organisateur du jeu donne 2  \eurologo{} au joueur
\item[$\bullet~$]  si la boule tir\'ee est noire, l'organisateur du jeu donne 0,50  \eurologo{} au joueur.
\end{itemize}
On admet que. lors de chaque tirage. toutes les boules ont la m\^eme probabilit\'e d'\^etre tir\'ees.\\
On note :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $p_{\text{R}}$ la probabilit\'e de tirer tine boule rouge
\item[$\bullet~$]  $p_{\text{V}}$ la probabilit\'e de tirer une boule verte
\item[$\bullet~$]  $p_{\text{N}}$ la probabilit\'e de tirer tine boule noire.
 \end{itemize}
 
 \medskip
 
\noindent \textbf{Partie A}\\
Dans cette partie, on suppose que le nombre de boules rouges, le nombre de boules vertes et le nombre de boules noires contenues dans l'urne sont tels que

\[p_{\text{V}} = 2p_{\text{R}}\quad \text{et} \quad  p_{\text{R}} = 2p_{\text{N}}\]
On rappelle que, les boules contenues dans l'urne \'etant soit rouges, soir vertes, soit noires, on a l'\'egalit\'e

\[p_{\text{R}} + p_{\text{V}} + p_{\text{N}} = 1 \]
\begin{enumerate}
\item  Calculer $p_{\text{R}},~p_{\text{V}}$ et $p_{\text{N}}$. (Donner les valeurs exactes.) 	
\item  Sachant que l'urne contient 3 boules noires, calculer le nombre total de
boules contenues dans l'urne, ainsi que le nombre de boules rouges et le
nombre de boules vertes contenues dans l'urne. 	
\item  Soit X la variable al\'eatoire qui \`a chaque tirage d'une boule associe la somme reçue par le joueur.
\begin{enumerate}
\item  Donner la loi de probabilit\'e de la variable al\'eatoire X, puis calculer
l'esp\'erance math\'ematique $\bbe(X)$ de la variable al\'eatoire X. 	
\item  Si l'organisateur du jeu vendait 1,50 \eurologo{} un ticket donnant le droit
d'effectuer en tirage, quel b\'en\'efice pourrait-il esp\'erer avoir r\'ealis\'e \`a l'issue
de \nombre{1000} jeux. 
\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie B}\\
Dans cette partie, on suppose que l'organisateur du jeu a rajout\'e des boules noires dans l'urne : l'urne contient 12 boules vertes, 6 boules rouges, $n$ boules noires.
\begin{enumerate}
\item  Exprimer, en fonction de n, la probabilit\'e de tirer une boule verte, la
probabilit\'e de tirer une boule rouge et la probabilit\'e de tirer une boule
noire. 
\item  Soir Y la variable al\'eatoire qui \`a chaque tirage associe la somme reçue par le joueur.
\begin{enumerate}
\item  Exprimer, en fonction de $n$, l'esp\'erance math\'ematique $\bbe(Y)$ de la variable al\'eatoire Y. 
\item  L'organisateur du jeu vend 1,50 \eurologo{} le ticket donnant le droit d'effectuer un tirage. \\
Comment peut-il choisir le nombre $n$ de boules noires pour pouvoir esp\'erer r\'ealiser un b\'en\'efice de 500 \eurologo{} \`a l'issue de \nombre{1000} jeux ?
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 \medskip
 






\exot{}


\noindent Un sac contient des boules indiscernables au toucher : $1$ boule rouge, 3 boules jaunes et $n$ boules noires.
 ($n$ d\'esigne un entier naturel strictement positif).\\
Un club sportif organise un jeu consistant, pour chaque joueur, \'a
pr\'elever dans le sac une boule au hasard. Si la boule tir\'ee est rouge,
le joueur re\c{c}oit 5 \eurologo{}, si la boule est jaune, il re\c{c}oit 2 \eurologo{}
et si la boule est noire, il re\c{c}oit 1 \eurologo{}. Pour participer au jeu,
le joueur doit acheter un billet d'entr\'ee co\^utant $1,70$ \eurologo{}.\\
On note $X_n$ la variable al\'eatoire qui, \'a chaque boule pr\'elev\'ee dans
le sac, associe le gain alg\'ebrique du joueur c'est \'a dire la somme
re\c{c}ue diminu\'ee du prix du billet.

\begin{enumerate}
\item Dans cette question seulement, on suppose $n=6$.
  \begin{enumerate}
  \item Quelles sont les valeurs prises par la variable al\'eatoire
  $X_6$ ?
  \item D\'eterminer la loi de probabilit\'e de la variable a al\'eatoire 
  $X_6$.
  \item Calculer l'esp\'erance math\'ematique de la variable al\'eatoire $X_6$.
  \end{enumerate}
 Dans toute la suite de l'exercice, on suppose que l'entier naturel
 $n$ est quelconque.
\item \'Etude de la variable al\'eatoire $X_n$.
  \begin{enumerate}
  \item D\'eterminer la loi de probabilit\'e de la variable al\'eatoire
  $X_n$.
  \item D\'eterminer en fonction de $n$ l'esp\'erance math\'ematique de la
  variable al\'eatoire $X_n$
  \item Le club souhaite que l'esp\'erance de $X_n$ soit strictement
  n\'egative. Quel doit \^etre le nombre minimal de boules noires
  contenues dans le sac pour que cette condition soit remplie ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}








\exot{}


\noindent Une entreprise fabrique quatre type de pi\`eces not\'ees $P_1, P_2, P_3$
et $P_4$ et poss\`ede trois machines $A, B$ et $C$ pour proc\'eder \`a leur
conception.\\
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] La fabrication de la pi\`ece $P_1$ n\'ecessite l'utilisation de
chacune des machines $A$ et $B$.\\
\item[$\bullet~$] La fabrication de la pi\`ece $P_2$ n\'ecessite l'utilisation de
chacune des machines $B$ et $C$.\\
\item[$\bullet~$] La fabrication de la pi\`ece $P_3$ n\'ecessite l'utilisation de
chacune des machines $A$ et $C$.\\
\item[$\bullet~$] La fabrication de la pi\`ece $P_4$ n\'ecessite l'utilisation de
chacune des trois machines $A, B$ et $C$.\\
\end{itemize}
On consid\`ere un \'echantillon de $2000$ pi\`eces o\`u il y a $700$~pi\`eces
de type $P_1$, $1000$~pi\`eces de type $P_2$, $200$~pi\`eces de type $P_3$
et $100$~pi\`eces de type $P_4$.

On choisit au hasard une pi\`ece dans l'\'echantillon. Il y a
\'equiprobabilit\'e des choix.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilit\'e des \'ev\'enements suivants :
  \begin{enumerate}
  \item \og la pi\`ece choisie est de type $P_1$ ».
  \item \og la fabrication de la pi\`ece choisie a n\'ecessit\'e l'utilisation
  de la machine~$B$ ».
  \end{enumerate}
\item  Pour produire une pi\`ece, l'utilisation de la machine $A$ co\^ute
  $5$ \eurologo, celle de la machine $B$ co\^ute $4$ \eurologo \  et celle de la
  machine $C$ co\^ute $2$ \eurologo. On appelle $X$ la variable al\'eatoire
  qui, \`a chaque pi\`ece choisie dans l'\'echantillon, associe son co\^ut de
  r\'ealisation. Ainsi la r\'ealisation de la pi\`ece $P_1$ co\^ute $9$ \eurologo.
  \begin{enumerate}
  \item D\'eterminer le co\^ut de r\'ealisation de  chacune des pi\`eces $P_2,
  P_3$ et $P_4$.
  \item Donner, sous forme d'un tableau, la loi de probabilit\'e de la
  variable al\'eatoire $X$.
  \item Quel est le co\^ut moyen de fabrication d'une pi\`ece dans
  l'\'echantillon ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}








\exot{}



Un client d'un supermarch\'e reçoit lors de son passage en caisse un ticket d'un jeu du grattage. Ce ticket comporte trois cases \`a gratter. Pour la premi\`ere case deux r\'esultats sont possibles I ou 2, pour la deuxi\`eme et la troisi\`eme case trois r\'esultats sont possibles 1, 2 ou 3. Le client gratte les trois cases de son ticket.
\begin{enumerate}
\item  Pr\'eciser le nombre de r\'esultats possibles.
\item On consid\`ere les \'ev\`enements suivants :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  A : \og~Avoir 3 chiffres identiques~\fg
\item[$\bullet~$]  B :  \og~Avoir au moins une fois un 2~\fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer la probabilit\'e de A not\'ee $\bbp(A)$ et celle de B not\'ee $\bbp(B)$.
\item  D\'eterminer $\bbp(\text{A} \cap \text{B})$, puis d\'emontrer que $\bbp(\text{A} \cup \text{B}) =  \dfrac{5}{6}$.
\end{enumerate}
\item  Le client reçoit 5 \eurologo{} lorsqu'il obtient trois chiffres identiques, 2 \eurologo{} lorsqu'il obtient exactement 2 chiffres identiques et 0 \eurologo{} dans les autres cas. On appelle X la variable al\'eatoire qui prend comme valeurs les gains pr\'ec\'edents.
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer la loi de probabilit\'e de X. 
\item  Calculer l'esp\'erance math\'ematique $\bbe(X)$ de la variable al\'eatoire X.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
 







\exot{}


\noindent Pour la f\^ete de l'\'ecole, une association propose une loterie selon le principe suivant :
\begin{itemize}
\item  Le joueur mise 10 euros. 
\item Il fait tourner deux roues identiques chacune s'arr\^etant devant un rep\`ere. 
 \end{itemize}
 Chaque roue est divis\'ee en quatre quartiers sur lesquels sont indiqu\'es les gains en euros 10 ; 0 ;  5 ;  0. Tous les quartiers ont la m\^eme probabilit\'e de s'arr\^eter devant le rep\`ere. La gain obtenu par le joueur est \'egal \`a la somme des gains indiqu\'es sur les quartiers sur lesquels se sont arr\^et\'ees les roues.
 
 \begin{center}
 \begin{pspicture}(12,5.3)
\pscircle(2.5,2.5){2.5}  \pscircle(8.5,2.5){2.5} 
\psline(4.914,1.853)(0.085,3.147)
\psline(3.147,4.915)(1.853,0.085)
 \psline(10.914,1.853)(6.085,3.147)
\psline(9.147,4.915)(7.853,0.085)
\rput(3,1.2){\huge 5} \rput(1.25,2){\huge 0} 
\rput(2,3.7){\huge 10} \rput(3.7,3.2){\huge 0} 
\rput(9,1.2){\huge 10} \rput(7.25,2){\huge 0} 
\rput(8,3.7){\huge 5} \rput(9.7,3.2){\huge 0} 
\rput(0,0){Roue n° 1} \rput(11,0){Roue n° 2}
\pspolygon*(1.4,5.2)(2,5.2)(1.7,4.87)
\pspolygon*(7.4,5.2)(8,5.2)(7.7,4.87)
 \end{pspicture}
 \end{center}

Dans l'exemple ci-dessus, la partie assure au joueur un gain de 15 \eurologo.
\begin{enumerate}
\item  \'Etude du gain d'un joueur pour une mise de 10 euros.\\
On nomme $G$ la variable al\'eatoire qui \`a chaque partie associe le gain du joueur en euros.
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compl\'eter le tableau suivant donnant les valeurs prises par la variable al\'eatoire $G$ selon les quartiers sur lesquels se sont arr\^et\'ees les roues :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
\backslashbox{Roue n° 2}{Roue n° 1}& ~~~10~~~ & ~~~0~~~ & ~~~5~~~ &~~~ 0~~~\\ \hline
10	&	&	&	& \\ \hline
0	&	&	&	& \\ \hline
5	&	&	&	& \\ \hline
0	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Prouver que la probabilit\'e que le joueur obtienne un gain sup\'erieur ou \'egal \`a
sa mise est 50\,\%.
\item D\'eterminer la loi de probabilit\'e de la variable al\'eatoire $G$.
\item Calculer la probabilit\'e, not\'ee $\bbp(G > 10)$, qu'un joueur obtienne un gain strictement sup\'erieur \`a sa mise.
\item Calculer l'esp\'erance math\'ematique de la variable al\'eatoire $G$, puis donner son interpr\'etation.
\end{enumerate}
\item \'Etude du b\'en\'efice de l'association pour une valse de $m$ euros.\\
On suppose dans cette question que la mise du joueur est $m$ euros.\\
 On note  $B$ la variable al\'eatoire  qui, \`a chaque  partie, associe le b\'en\'efice  (positif ou
 n\'egatif) r\'ealis\'e par l'association, c'est-\`a-dire la diff\'erence entre la mise
 qu'elle a encaiss\'ee et le gain \'eventuel qu'elle a revers\'e au joueur.
\begin{enumerate}
\item  Exprimer en fonction de $m$ l'esp\'erance math\'ematique de la variable al\'eatoire $B$.
\item D\'eterminer $m$ pour que l'esp\'erance de b\'en\'efice de l'association soit d'au moins 5 \eurologo.
\end{enumerate}
\end{enumerate}








\exot{}




Un commercial vend entre $0$ et $4$ voitures d'un certain mod\`ele en une semaine. Soit $X$ la variable al\'eatoire qui, pour une semaine, donne le nombre de voitures vendues. $X$ suit la loi de probabilit\'e ci-dessous :

\[\begin{array}{|l|*{5}{c|}}\hline
	\text{Nombre de voitures vendues}&	0&	1&	~~~2~~~&	3& 	4\\ \hline
	\bbp(X = k)&	0,26&	0,23&&		0,15&	0,05\\ \hline
	\end{array}\]
	
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'e de vendre exactement deux voitures en une semaine.
\item Justifier que la probabilit\'e de vendre au moins deux voitures en une semaine est \'egale \`a 0,51.
\item Donner une repr\'esentation graphique de la fonction de r\'epartition $F$ de cette loi dans un rep\`ere convenablement choisi.
\item Calculer l'esp\'erance math\'ematique de cette variable al\'eatoire. En d\'eduire le nombre moyen de voitures vendues en une ann\'ee (c'est-\`a-dire 52 semaines).
\item Le prix de vente d'une voiture est de \nombre{13 500} \eurologo. Le vendeur perçoit une commission de 0,4\,\% sur le prix de vente pour chaque voiture vendue. D\'eterminer le montant moyen de la commission per\c{c}ue en un an.
\end{enumerate} 
 












\end{document}





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