\documentclass[10pt,landscape]{report}
\usepackage[height=183mm,width=250mm]{geometry}
\usepackage{preambule}
\usepackage[upright]{fourier}
\graphicspath{{/home/moi/Figures/}}
%\entete{}{}{}%g,d,b

\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}

\fbox{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries \begin{center} Fiche d'exercices  n°2 - Un peu d'ordre
    
    - 2\textsuperscript{nde}12 
\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}
         

\begin{multicols}{2}



% \subsection*{Ordre dans $\bbr$}

% \exop{}

% Démontrez les théorèmes du cours.

\exop{}
Comparer les nombres suivants en utilisant la méthode vue en
cours :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
    \item $12x^2+7$ et $6x^2+5$ \rule{0pt}{17pt} ;
    \item $5x+7$ et $-3+5x$ ;
    \item $\displaystyle\frac{12}{7}$ et $\displaystyle\frac{7}{4}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{127}{57}$ et $\displaystyle\frac{48}{57}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{9,01}{10^{53}}$ et $\displaystyle\frac{90,11}{10^{54}}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{10^{35}}{10,01}$ et $10^{34}$ ;
\end{multicols}
\end{enumerate}





\exop{}
Soient $x$ et $y$ sont deux nombres réels positifs tels que
$x<y$. Comparer les nombres suivants en  précisant à chaque étape la
propriété utilisée :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
    \item $7x-5$ et $7y-5$ ;
    \item $-5x+4$ et $-5y$ ;
    \item $\displaystyle\frac{x}{2}$ et $\displaystyle\frac{y}{2}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{7}{x}$ et $\displaystyle\frac{7}{y}$ ;
    \item $x^2-1$ et $y^2-1$ ;
    \item $\displaystyle\frac{-3x}{13}$ et $\displaystyle\frac{-3y}{13}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{7x}{4}-5$ et $\displaystyle\frac{7y}{4}+1$ ;
    \item $\displaystyle\frac{-15x}{7}$ et $\displaystyle\frac{-15y-8}{7}$ ;
\end{multicols}
\end{enumerate}

\exop{}
Soit $a$ un nombre positif. Le but de cet exercice est de
comparer $a$, $a^2$ et $a^3$. Nous commencerons par observer
quelques exemples avant de démontrer la règle générale.
\begin{enumerate}
    \item Ordonner $a$, $a^2$ et $a^3$ pour les valeurs de $a$ suivantes :
    $a_1=0,1$ ; $a_2=0,5$ ; $a_3=1$ ; $a_4=5$ ; $a_6=12$.
    \item Les réponses sont-elles les mêmes pour toutes les valeurs
    précédentes ? Autour de quelle valeur de $a$ y a-t-il un changement ?
    \item On suppose $a>1$. En utilisant un critère adapté, ordonner
    $a$ et $a^2$, puis $a^2$ et $a^3$.
    \item On suppose cette fois-ci $a<1$. En utilisant un critère bien
    adapté, ordonner $a$ et $a^2$, puis $a^2$ et $a^3$.
    \item Que se passe-t-il pour $a=1$ ? En déduire la règle générale sur
    l'ordre de $a$, $a^2$ et $a^3$.
\end{enumerate}



% \subsection*{Intervalles de $\R$}

\exop{}
Parmi les phrases suivantes, quelles sont celles qui
définissent des intervalles de $\R$ ? Donner, quand cela est
possible, la notation correspondante.
\begin{enumerate}
    \item Tous les nombres réels strictement plus petits que $15$.
    \item Tous les entiers pairs.
    \item Tous les nombres réels strictement compris entre $-5$ et 0.
    \item Tous les nombres réels dont la valeur absolue vaut $5,2$.
    \item Tous les nombres réels positifs ou nuls.
    \item Tous les entiers compris entre $2,4$ inclus et $11,8$ exclus.
    \item Tous les nombres réels dont la valeur absolue est inférieure ou égale à $1,3$.
    \item Tous les nombres réels dont la valeur absolue est supérieure et égale à $1,3$.
\end{enumerate}

\exop{}
On donne ci-dessous 8 inéquations :
    \begin{itemize}
    \begin{multicols}{3}
            \item $-2<x<4$ ;
            \item $x\se -2,5$ ;
            \item $0\ie x<3,8$ ;
            \item $-3\ie x\ie -0,5 $ ;
            \item $x>0$ ;
                        \item $x\se -3$.
    \end{multicols}
    \end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Donner l'intervalle de $\R$ défini par chaque inéquation.
\item Représenter graphiquement chacun des intervalles précédents.
\end{enumerate}


\exop{}
On considère les nombres réels suivants : $2$ ; $-2$ ; $0$ ;
$-\frac{16}{3}$ ; $18$ ; $7$ ; $6,99$ ; $-2,1$ ; $1$.
\begin{enumerate}
\item Lesquels de ces nombres sont inclus dans l'intervalle $[-2;7[$~?
\item Lesquels sont inclus dans l'intervalle $]-\infty;-2]$ ?
\item Lesquels sont inclus dans l'intervalle $]0;7]$.
\end{enumerate}

\exop{}Trouver deux nombres décimaux appartenant à l'intervalle
$[\frac{17}{3};\frac{18}{3}[$, puis deux autres dans l'intervalle
$]-12,78;-12,77[$.

\exop{}
Représenter graphiquement l'intersection des intervalles
$[-2;5]$, $]-1,4;6]$ et $[-4;4[$. Donner ensuite sa notation en
intervalle et l'égalité à laquelle il correspond.



\exop{}

\begin{enumerate}
	\item On donne les intervalles $I=]-3;3]$ et $J=]-\infty;1]$
	\begin{enumerate}
		\item Compléter avec $\in$ ou $\notin$: \hspace{1cm}   $-\pi............I$  \hspace{1cm}  $\sqrt{2}-1............J$
		\item Dessiner en vert l'intervalle $I$ et en rouge l'intervalle $J$ sur la droite graduée :\\
		\begin{center}
		\includegraphics[width=\linewidth]{ordre.4}
		\end{center}
		\item Déterminer $I\cap J$ et $I\cup J$
	\end{enumerate}
	\item On donne les intervalles $I=]-1;4[$ et $J=[-3;+\infty[$
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner en vert l'intervalle $I$ et en rouge l'intervalle $J$ sur la droite graduée :\\
		\begin{center}
		\includegraphics[width=\linewidth]{ordre.4}
		\end{center}
		\item Déterminer $I\cap J$ et $I\cup J$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\exop{}
Build the sign tables of the following expressions, showing
the computations leading to the critical values and involving the
test values.
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $2x-5$ ;
\item $-3x+4$ ;
\item $\frac{3}{7}x-2$ ;
\item $-2-12x$ ;
\item $7-\frac{2}{3}x$ ;
\item $-3+3x$.
\item $2+\sqrt{2}x$ ;
\item $-3x+7$.
\end{enumerate}
\end{multicols}


\exop{}
Dresser les tableaux de signes des expressions suivantes.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
    \item $(2x+7)(-3x+1)$ ;
    \item $(-4x-8)(-5x+12)$ ;
    \item $(\frac{1}{4}x+\frac{1}{3})(x+2)$ ;
    \item $x(-x+5.2)$ ;
    \item $5x^2(-2x+8)$ ;
    \item $-4x(7x+8)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}



\exop{}

Déterminer le signe des quotients suivants en fonction de la
valeur de $x$ et donner le résultat sous forme de tableau.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
    \item $\displaystyle\frac{2x+7}{-3x+1}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{-x+5.2}{x}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{6-3x}{2x+1}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{13+6x}{4-x}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{2x}{3x+5}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{1.3x+9}{-5x}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\eject


\exop{}

Résolvez les problèmes suivant~:
\begin{nliste}{2}
\item Étudiez le signe de $(2x+3)(2-3x)$
\item Résolvez dans $\bbr$ $(x^2-4)(x^2+9)\se0$
\item Déterminez les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression $\sqrt{(2-x)(x-5)(x^2+1)}$ est définie~? 
\item Quel est le signe de Zorro~?
\end{nliste}



\exop{}

 \begin{enumerate} %
\item Développer, réduire et ordonner l'expression :
$(x+3)^2-16$.

\item Factoriser l'expression :
$(x+3)^2-16$.

\item À l'aide d'un tableau de signe, résoudre l'inéquation :
$(x-1)(x+7)<0$.

\end{enumerate}



\exop{}

Dans chacun des cas suivants, déduire du résultat proposé une inégalité ou un encadrement de $x^2$~:

\begin{nliste}{4}
\item $x\se\frac{1}{3}$
\item $x\ie -4$
\item $-1,5\ie x\ie 0,5$
\item $x\in[-4\pv 9[$
\end{nliste}


\exop{}

Résolvez les inéquations proposées en n'oubliant pas de préciser d'abord l'ensemble de définition.

\begin{nliste}{4}
\item $\frac{2(+5)-1}{x+3}$
\item $\frac{3-x}{x+3}\ie2$
\item $\frac{4+x}{x}\ie \frac{2x+1}{2x-1}$
\item $\frac{4x}{(x+2)^2}>\frac{4}{x+2}$
\end{nliste}


\exop{}
In this exercise we will extend the method of the signe table
to products of linear expressions.
\begin{enumerate}
\item Give the signs of the expressions $3x-15$ and $-5x-7$ in a sign table.
\item Use the previous question to copy and fill the next table.
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lp{1cm}|p{1cm}p{1cm}|p{1cm}r}
$x$ & $-\infty$ & \multicolumn{2}{c}{$-\frac{7}{5}$} &
\multicolumn{2}{c}{$5$} & $+\infty$ \\ \hline
$3x-15$ & && && \\ \hline
$-5x-7$ & && && \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Add a row to the new table where you will show the sign of the
product $(3x-15)(-5x-7)$ over each interval.
\item Use the last row of the table to solve the inequations
$(3x-15)(-5x-7)>0$ and $(3x-15)(-5x-7)\leq 0$.
\end{enumerate}

\exop{}

A farmer has bought $48$ meters of fence to build a
rectangular enclosure for a goat. Let $x$ be the length of the
smallest side of the enclosure and $y$ the length of the longest
side.
\begin{enumerate}
\item Prove that $y=24-x$.
\item Compute the area of the enclosure as a function of $x$.
\end{enumerate}
The farmer wants the enclosure to have an area of at least $135$
square meters. He wants to know what are the possible lengths for
the sides to do so.
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
\item What inequation must we solve to answer to this problem ?
\item Check that this inequation is equivalent to $(x-15)(x-9)\leq
0$.
\item Solve this new inequation using a sign table.
\item Conclude.
\end{enumerate}




\exop{}

A company is building items in large quantities. Let $x$ be
the number of thousands of items built. Each item is sold at the
price of $15$ euros per unit. We call $S(x)$ the total of the sales,
in thousand of euros.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
    \item Compute $S(1)$, $S(2)$ and $S(3)$.
    \item Find the general formula for $S(x)$.
    %\item Draw the graph of $S$ in a coordinate system with units $5cm$ for 1 unit
 %   on the $x$-axis 1cm for 5 unit on the $y$-axis.
    \end{enumerate}
%\end{enumerate}

%\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
% \item \begin{enumerate}
%     \item Draw the graph of $C$ on the same coordinate graph as $S$.
%     \item Find out graphically when the company has a positive balance (difference between sales and
%     cost).
%     \end{enumerate}
\item The cost of fabrication of $x$ thousand of items has been proved to
be close to $C(x)=25x^2-85x+75$.
\begin{enumerate}
    \item Prove that the balance of the company is equal to $B(x)=25x^2-100x+75$.
    \item Prove that $B(x)=25(x-1)(x-3)$.
    \item What equation must we solve to find out for how many items
    the company will have a positive balance ?
    \item Solve this equation using a sign table.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}



\exop{}
\begin{enumerate}

\item Résoudre dans $\mathbb{Z}$ l' inéquation :
$$ -1 \leqslant \dfrac{4x-3}{5} \leqslant 2 .$$
\item 
Résoudre   dans  $\mathbb{Z}$   l'inéquation  :   \quad   $-1  \leqslant
\dfrac{5-x}{3} < 1$.
\end{enumerate}
\textit{NB : attention à l'ensemble d'étude.} 

\exop{}

\begin{enumerate}
\item Donner un encadrement de $f(x)=\dfrac{-4}{x^2+5}$ pour $x \in [-4~;~-2]$.
\item 
Soit $x$ un nombre réel tel que $2x-8 \in [-2;8]$.
Déterminer un encadrement de $x$.

\item 
Soit $x$ un nombre réel tel que $-x+4 \in ]3;10]$.
Déterminer un encadrement de $x$.
\end{enumerate}



\exop{}


Comparer $\dfrac{n+2}{n+3}$ et $\dfrac{n+3}{n+4}$ pour tout entier naturel $n$.




\exop{}


On considère des cylindres métalliques fabriqués par des machines qui commettent des erreurs dans les découpes de pièces.\\

On sait que le rayon $r$ de la base a une valeur approchée de $2,15cm$ à $0,01$ près, et que la hauteur $h$ du cylindre est comprise entre $2,36m$ et $2,38m$.\\

En prenant $3,14$ comme valeur approchée de $\pi$ par défaut à $0,01$ près, donner un encadrement du volume de la pièce.


\exop{}


La vitesse de la lumière est de $2,99792458 \times 10^8 \, m.s^{-1}$.\\
Lors d'une expérience, on a  établi que le temps nécessaire à la lumière pour aller de la Terre à la Lune est de $1,285s$ à $0,005s$ près.\\

Donner un encadrement de la distance Terre-Lune.

\textit{NB} : la précision de cette distance est de nos jours inférieure au $mm$, ce qui nous permet de savoir que la Lune s'éloigne d'environ de 3 à $5cm$ par an de la Terre.



\exop{}


Le nombre $\pi$ est un nombre essentiel en géométrie. La recherche notamment d'une bonne approximation de $\pi$ par des fractions a de tout temps passionné les mathématiciens.\\

Les Babyloniens utilisaient comme approximations $3+\dfrac{1}{8}$.\\
Les Egyptiens, au XVIIème siècle avant JC, utilisaient $3+\dfrac{13}{81}$.\\
En Inde, vers 380 avant JC, on utilisait $3+\dfrac{177}{1250}$.\\
En Chine, au Vème siècle, on utilisait $\dfrac{355}{113}$.\\
Voici encore d'autres fractions communément utilisés : $\dfrac{22}{7}$, $\dfrac{333}{106}$, $\dfrac{103\,993}{33\,102}$.\\

Calculer toutes ces fractions et indiquer s'il s'agit une valeur par défaut ou excès, en donnant la précisison.\\

\vspace{5mm}

Au XVIIIème siècle, Leibniz a trouvé :
$$ \pi = 4 \times \left( 1 - \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11} \, \cdots \right)$$

Donner les premières fractions s'approchant de $\pi$.






\end{multicols}
\end{document}
