%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{LoiConti.mp}
input geometriesyr16;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex

  figure(-5u,-6u,5u,5u)
  pair w,e,a,b,o,bs,os,om,oe;

  w:=u*(-2,-1);
  e:=u*(4,-1);
  o:=(0,0);
  om:=u*(0,-1);
  os:=u*(0.2,-3);
  oe:=u*(0.2,0);
  a:=u*(-2,-3);
  b:=u*(2,3);
  bs:=u*(2,-3);

  draw w--e;
  draw a--b withpen pencircle scaled 1.3bp withcolor 0.6white;
  drawdblarrow o--om;
  drawdblarrow oe--os dashed evenly;
  draw a--bs dashed evenly;
  trace codesegments(a,o,o,b,2)withcolor 0.6white withpen pencircle scaled 1.3bp;
  trace Codeangle(bs,a,o,1,btex $\theta$ etex );
  label.top(btex O   etex,o );
  label.rt(btex $\ell\sin\theta$  etex, (oe+os)/2);
  label.llft(btex $x$ etex,(o+om)/2 );

  fin;
  end
\end{filecontents*}

\begin{filecontents*}{LoiContinc.mp}
input newcourbes;
input couleur;
input geometriesyr16;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex

 
 beginfig( 2)


 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 vardef fx(expr t)=
 t
 enddef;

 vardef fy(expr t)=
            sin(t)                 
 enddef;
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 repere(0,0,-0.5,4.5,-0.25,2,1cm,2cm);


 path r;
 r:=r_p(0,0)--r_p(0,1.5)--r_p(3.14,1.5)--r_p(3.14,0)--cycle;

 fill r withcolor bleu_ciel;
 Aire(fx,fy,0,3.14,bleu);
 draw r_p(0,1.5)--r_p(3.14,1.5)--r_p(3.14,0) dashed evenly withpen pencircle scaled 1.2bp;


 draw f_courbe(fx,fy,0,3.14,100)withpen pencircle scaled 1.5bp;

 label.bot(btex $\pi$ etex,r_p(3.14,0) );
 label.bot(btex $\theta$ etex, r_p(4.5,0));
 label.lft(btex $a$ etex,r_p(0,1.5) );
 label.lft(btex $x$ etex, r_p(0,2));

 r_axes;
 r_origine;


 r_fin;
 endfig;

 
 beginfig( 3)


 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 vardef fx(expr t)=
 t
 enddef;

 vardef fy(expr t)=0.25*(t-4)**2+3
                              
 enddef;
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 repere(0,0,-1,10,-1,5,1cm,1cm);

 draw f_courbe(fx,fy,0,8,100)withpen pencircle scaled 1.1bp  dashed evenly;

 draw r_p(0,0)--r_p(0,fy(0))withpen pencircle scaled 1.1bp dashed evenly;
 draw r_p(8,0)--r_p(8,fy(8))withpen pencircle scaled 1.1bp dashed evenly;
 Aire(fx,fy,2,5,jaune);

 label.bot(btex $a$ etex, r_p(0,0));
 label.bot(btex $b$ etex, r_p(8,0));
 label.bot(btex $\alpha$ etex, r_p(2,0));
 label.bot(btex $\beta$ etex, r_p(5,0));

 label(btex $\bbp([\alpha,\beta])$ etex, r_p(3.5,2));
 label.top(btex $\CR_f$ etex,r_p(7,fy(7)) );

 draw r_p(-1,0)--r_p(10,0)withpen pencircle scaled 1.2bp;

 r_fin;
 endfig;

end
\end{filecontents*}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Début du source tex

\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage{preambule,filecontents}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{pst-solides3d}
\entete{ \leftmark }{ }{T\textsuperscript{ale}S5, Lycée Jean Perrin}%g,d,b

\graphicspath{{/home/moi/Lycee/TS/}{/home/moi/Alice/figures3/newcourbes/}{/home/moi/Alice/figures/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Lycee/TS/figures/newcourbes/}{/home/moi/Lycee/TS/figures/}{/home/moi/Lycee/TS/figures/newfig/}}



\renewenvironment{Def}[1]{%
\begin{bclogo}{\etoile}{#1}{0.8white}{0.3}}
{\end{bclogo}}

\newenvironment{prop}[1]{%
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{\end{bclogo}}





\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0mm}










\LECOND{XVIII}{Dix-huitième}{LOIS CONTINUES}{}{LOIS CONTINUES}{buffon.eps}



\section{Préambule :
le charme discret du continu}


\pro Nous allons être amenés à distinguer les variables aléatoires
\footnote{N'oubliez pas qu'en probabilités, les variables sont des
fonctions...}\textsl{discrètes} et les variables aléatoires
\textsl{continues}. Une variable discrète prend des valeurs dans
un ensemble discret, c'est à dire <<~qu'on peut dénombrer~>>.

\tsx Pouvez-vous être plus explicite~?

\pro Premier cas : la variable prend un nombre fini de valeurs.
Considérez par exemple un jeu de pile ou face et la variable
aléatoire qui prend la valeur 1 si on obtient pile et la valeur 0
si on obtient face. C'est une valeur discrète : elle prend ses
valeurs dans l'ensemble $\{0,1\}$.

Deuxième cas : la variable prend ses valeurs dans un ensemble
infini, mais dont on peut lister les éléments, leur attribuer un
rang. On peut donc écrire ces valeurs sous la forme $v_1,
v_2,\cdots,v_n,\cdots$. L'ensemble discret le plus <<~naturel~>>
est l'ensemble $\bbn$ : $v_1=1, v_2=2, v_3=3\cdots$. En connaissez
vous d'autres~?

\tsx Tout simplement des parties de $\bbn$ : l'ensemble des
entiers pairs, des entiers multiples de 32 etc.

\pro En effet, il y a le premier entier pair, le deuxième, etc.
Tiens, pour rigoler : y a-t-il plus d'entiers que de multiples de
32~?

\tsx Oui, évidemment, pourquoi cette question~?

\pro Parce que la réponse n'est pas aussi évidente. En effet,
chaque multiple de 32 peut être mis en correspondance avec chacun
des éléments de $\bbn$ : $v_1=32, v_2=64,\cdots, v_n=32n,\cdots$.
Il y aurait donc <<~autant~>> d'entiers multiples de 32 que
d'entiers tout court~! Plus fort : on peut aussi montrer que
l'ensemble $\bq$ est dénombrable, et donc qu'il y a <<~autant~>>
de rationnels que d'entiers, alors qu'on vous a appris que
l'ensemble $\bbn$ était strictement inclus dans $\bq$~! Mais nous
abordons des notions extrêmement complexes qui débordent largement
notre cours.

\tsx Dans ces conditions, je suppose qu'il y a autant de nombres
réels que d'entiers et donc tout ensemble est dénombrable : il y a
le premier réel, puis le deuxième, etc.

\pro Bon, je suis allé trop vite et de manière trop vague. J'ai
précisé qu'on pouvait montrer que $\bq$ était dénombrable. Eh bien
allons-y~! L'idée est toute simple : un rationnel peut être
représenté par un couple d'entier. Par exemple 2/3 sera représenté
par le couple (2,3). Dans un repère du plan, un rationnel sera
donc un point à coordonnées entière et $\bq$ sera représenté par
l'ensemble des points à coordonnées entières. Prenez une feuille
mon petit Téhessix et représentez quelques-uns de ces points. Et
maintenant, un petit jeu qui me rappellera mes folles après-midis
à dévorer Pif-gadget : reliez par un trait les points suivants

$$(0,0)-(1,0)-(0,1)-(0,2)-(1,1)-(2,0)-(3,0)-(2,1)-(1,2)-(0,3)-(0,4)-\cdots$$

Nous allons donc pouvoir <<~numéroter~>> chaque rationnel  (1/2
porte par exemple le dossard 9) en prenant soin de <<~sauter~>> le
couple $(2,4)$ par exemple car il représente le même rationnel que
le couple $(1,2)$. L'ensemble $\bq$ va donc pouvoir être mis en
correspondance, terme à terme, avec l'ensemble $\bbn$, donc il y a
<<~autant~>> de rationnels que d'entiers !


\tsx Excusez-moi, mais si 1/2 porte déjà le numéro 9, on risque de
ne pas avoir assez d'entiers pour les numéroter tous.

\pro N'oubliez pas cher disciple que nous avons une réserve
\textsl{inépuisable} d'entiers. L'important, c'est d'avoir trouvé
une correspondance terme à terme (une bijection) entre les deux
ensembles.

\tsx Mais vous avez oublié les rationnels négatifs.

\pro Un détail~! Il suffit d'intercaler l'opposé de chaque terme
entre deux couples de notre suite :
$$(0,0)-(1,0)-(-1,0)-(0,1)-(0,-1)-(0,2)-(0,-2)-(1,1)-(-1,1)-(2,0)-(-2,0)-\cdots$$

\tsx Mais ce n'est qu'un dessin.

\pro Effectivement, il reste à mettre tout ça en forme en
introduisant une \textsl{bijection} bien choisie, mais le plus dur
est fait : c'est Cantor qui a eu cette intuition à la fin du
XIX\eme siècle. C'est encore à lui que nous devons une preuve que
$\bbr$ n'est pas dénonbrable grâce au \textsl{raisonnement
diagonal de ... Cantor}. Notre ami
russo-dano-allemand\footnote{Cantor a ensuite proposé l'hypothèse
du continu en 1878 : il y a deux sortes de sous-ensembles infinis
de $\bbr$ : ceux qui sont en correspondance terme à terme avec
$\bbn$ et ceux qui sont en correspondance terme à terme avec
$\bbr$ : il n'y aurait donc pas <<~d'infini intermédiaire~>> entre
$\bbn$ et $\bbr$. Ce résultat contribua a rendre fou ce génial
mathématicien...} a prouvé que $J=[0,1]$ n'était pas dénombrable
de la manière suivante :

Raisonnons par l'absurde et supposons  que l'ensemble des points
de J soit dénombrable. Il existe alors au moins une suite $\un$ de
nombres réels vérifiant la propriété suivante :  pour tout réel
$x$ de$J$, il existe un entier $n$ pour lequel $x = u_n$

Explicitons de la sorte la suite $\un$ :

\begin{align*}
u_1&=0,u_{11}u_{12}u_{13}u_{14}\cdots u_{1n}\cdots\\
  u_2&=0,u_{21}u_{22}u_{23}u_{24}\cdots u_{2n}\cdots\\
  u_3&=0,u_{31}u_{32}u_{33}u_{34}\cdots u_{3n}\cdots\\
  u_4&=0,u_{41}u_{42}u_{43}u_{44}\cdots u_{4n}\cdots\\
  \vdots\ &=\quad\vdots\qquad\vdots\qquad\vdots\qquad\vdots
  \end{align*}


     La première décimale du premier terme est $u_{11}$, sa seconde décimale est $u_{12}$, ...
     La première décimale du second terme est $u_{21}$, sa seconde décimale est $u_{22}$, ...
     ...
     La première décimale du $n$\eme terme est $u_{n1}$, sa seconde décimale est $u_{n2}$, ...

Considérons alors le réel $x$ de l'intervalle $J$ ainsi défini :
$x = 0, x_1 x_2 x_3 \cdots x_n \cdots$ et la décimale $x_i$ de
rang $i$ sera 1 si $u_{ii}$ est différent de 1 et 2 dans le cas
contraire.

Par conséquent, $x$ ne peut égaler $u_1$ (il en diffère au moins
par $u_{11}$), $x$ ne peut égaler $u_2$ (il en diffère au moins
par $u_{22}$), $x$ ne peut égaler $u_3$ (il en diffère au moins
par $u_{33}$),... : l'égalité $x = u_n$ n'a lieu pour aucun entier
$n$, donc nous avons trouvé un élément de $J$...qui n'est pas dans
$J$ : belle contradiction. Notre supposition de départ est donc
fausse et $[0,1]$ n'est pas dénombrable, donc a fortiori $\bbr$
non plus.

\tsx Tout ceci est passionnant, mais qu'est-ce que cela a affaire
avec les probabilités~?

\pro Et bien quand une variable prend ses valeurs dans un ensemble
continu - $\bbr$ par exemple - on ne peut plus définir les
probabilités comme dans le cas discret.

\tsx Je ne vois pas pourquoi.

\pro Supposez que vous disposiez de 100 jetons identiques
numérotés de 1 à 100 dans un sac opaque et que vous en tiriez un
au hasard. La probabilité de tomber sur le jeton 32 est 1/100.
Pouvez-vous maintenant, même en disposant d'un temps infini,
inscrire tous les réels sur des jetons~?

\tsx Non, car nous venons  de voir qu'on ne peut les numéroter.

\pro Donc il faut procéder autrement. Par exemple, vous voulez
mesurer la longueur de votre sabre laser. Même avec le meilleur
instrument de mesure imaginable, vous n'obtiendrez qu'un
\textsl{intervalle} dans lequel se situe le résultat
exact (D'ailleurs, la probabilité pour que le résultat
exact soit un nombre décimal est nulle (voir encadré)) (au cm
près, au $\mu$m près, à l'$\mathring{A}$ près,...). De même, si
vous demandez à votre calculatrice de vous donner un nombre réel
au hasard dans $[0,1]$, elle se contentera de vous donner un
intervalle.

\tsx Pourtant un nombre s'affiche.

\pro Oui mais l'événement <<~obtenir 0.3232 sur l'écran de la
calculatrice~>> est en fait l'événement <<~obtenir, lors du choix
au hasard, un nombre situé dans l'intervalle
$[0,32315\,;\,0,32325[$~>>.  De même qu'on peut penser que la
<<~probabilité~>> (on ne l'a pas encore définie) de rencontrer une
personne mesurant \textsl{exactement} 1,88m est nulle, et
d'ailleurs vous vous en fichez, puisqu'il n'existe aucun moyen de
vérifier quelle est exactement sa taille. En fait, la probabilité
d'obtenir exactement 32 doit logiquement être nulle (Comme
la définition de la page ~\pageref{Def} le confirmera).

\tsx Ça me fait un peu penser à ce que j'ai entendu dire de la
physique quantique : on peut prévoir où se trouve à peu près une
particule élémentaire, mais on ne peut pas savoir exactement où
elle se trouve à un moment donné.

\pro En effet ! D'ailleurs, les notions mathématiques que nous
abordons et les théories physiques que vous évoquez ont été
développées presque simultanément. De plus, l'équation quantique
par excellence, la fameuse \textsl{équation de Schrödinger}, fait
en fait intervenir la densité de probabilité de présence de la
particule au point considéré.

%\sm
%
%Résumons-nous : on a défini les lois de probabilité discrètes à
%partir de la probabilité des éléments. On définira les lois de
%probabilité continues en donnant la probabilité des intervalles.
%On a aussi compris  que la probabilité d'obtenir un élément
%particulier est nulle.
%
%Pour garder une certaine cohérence, il serait bien que la loi de
%probabilité $p$ que nous allons définir soit à valeurs dans
%$[0,1]$, vérifie $\bbp([a,b]\cup [c,d])=p([a,b])+p([c,d])$ si $[a,b]$
%et $[c,d]$ sont disjoints et si $\Omega$ désigne l'univers,
%$\bbp(\Omega)=1$.
%
%Bon, je ne vais pas vous faire languir plus longtemps
%
%\ENC{Définition}{Une\textbf{ {\rm loi de probabilité}} $p$ sur un
%intervalle $I=[a,b]$ est déterminée par une fonction $f$ continue,
%positive sur $I$ appelée \textbf{{\rm densité}} de $p$ qui vérifie
%$$\ds\int_a^bf(t)\,dt=1$$
%
%\sm
%
%Pour tout intervalle $[\al,\beta]$ contenu dans $I$, la
%probabilité de l'intervalle$[\al,\beta]$ est
%
%$$\bbp\big([\al,\beta]\big)=\int_{\al}^{\beta}f(t)\,dt$$}
%
%
%\sm Est-ce que ça vous convient~?
%
%\tsx Il faut vérifier que $p$ est à valeurs dans $[0,1]$. Déjà,
%comme $f$ est positive, l'intégration conservant l'ordre, on a
%bien $p$ positive. Pour le reste, il faudrait montrer que $p$ est
%maximum pour $[a,b]$.
%
%\pro un petit dessin vous aidera peut-être
%
%\begin{center}
%\includegraphics{LoiCont.1}
%\end{center}
%
%
%
%\tsx Mais oui ! J'y suis ! En fait $\bbp([\al,\beta])$ est une aire.
%Et on voit bien que l'aire maximum correspond à $[a,b]$.
%
%%Mais quel abruti ce môme : i me gonfle putain !
%
%\pro Tssss..., Téhessix, combien faudra-t-il vous le répéter : de
%la rigueur, que diable~! Croyez-vous que je vais prendre au
%sérieux votre <<~on voit bien que~>> ~? La fonction $f$ est
%positive, donc...
%
%\tsx ...la fonction $F~:~x\mapsto\ds\int_a^xf(t)\,dt$ est
%croissante sur $[a,b]$ car  $F'(x)=f(x)\se0$, donc c'est bon.
%
%\pro Vous allez m'en vouloir, mais, c'est pour votre bien : $p$ et
%$F$, ce n'est pas la même chose. La fonction $F$ est définie pour
%tout  réel appartenant à $[a,b]$, alors que $p$ est définie pour
%tout  intervalle inclus dans $[a,b]$. Mais, pour tous nombres
%$\al$ et $\beta$ inclus dans $[a,b]$, on a
%
%$$\bbp([\al,\beta])=\ds\int_a^bf(t)\,dt-\int_a^{\al}f(t)\,dt-\int_{\beta}^bf(t)\,dt\ie\int_a^bf(t)\,dt=p([a,b])$$
%
%donc nous pouvons conclure.
%
%Vous aurez sûrement deviné que les problèmes de lois continues en
%Terminale se résumeront le plus souvent à des problèmes
%d'intégration.

\begin{figure}
              \begin{Idee}
              \centerline{\bf Incroyables réels : quelques quasi-paradoxes}
\small Vous connaissez déjà des nombres réels particuliers : les
entiers, les rationnels, les irrationnels. D'autres catégories
(pouvant recouper les ensembles habituels) sont utilisées. Ainsi,
les nombres racines de polynômes à coefficients entiers sont
appelés \textsl{nombres algébriques} : c'est le cas de 1 (solution
de $x-1=0$), de 1/3 (solution de $3x-1=0$), de $\sqrt{2}$
(solution de $x^2-2=0$), etc. On connaît des nombres qui ne sont
pas algébriques, on les appelle les \textsl{nombres
transcendants}. C'est le cas par exemple de $\pi$ et de $e$. Au
premier abord, il semble qu'il y ait beaucoup plus de nombres
algébriques que de nombres transcendants (vous n'en connaissez que
deux !). Un jour de pur délire, on pourrait même envisager qu'il y
ait autant de nombres de chaque catégorie. Or, si on prend un
nombre au hasard dans l'intervalle $[0,1]$, vous calculerez
peut-être un jour que la probabilité d'obtenir un nombre
transcendant vaut ....1!!!! En effet, la <<~mesure~>> de
l'ensemble des nombres algébriques est nulle. Pourtant, demandez à
un ordinateur de vous donner un milliard de nombres au hasard
entre 0 et 1, l'écran ne vous affichera que des nombres
algébriques (décimaux même !). Mathémator  a déjà parlé de ce
problème. L'ensemble $\bbr$ recèle bien d'autres résultats
étonnants. Il existe une famille de nombres correspondant elle
aussi à une probabilité de 1, pourtant, les mathématiciens ne
connaissent qu'un seul de ces nombres dont ils ne peuvent calculer
que quelques décimales (d'ailleurs ils ne pourront jamais en
trouver plus car il est par essence non calculable !). L'étude de
l'intervalle $[0,1]$ renvoie donc à des résultats parfois plus
philosophiques que techniques...
               \end{Idee} \normalsize
               \end{figure}








\section{Correspondances
discret/continu}


\subsection{Du continu au discret et retour}

On joue au palet avec un palet de rayon $r$ et  une cible carrée
de côté $a$. On gagne si le palet est tout entier compris dans le
carré. On suppose que le joueur est adroit et que le centre du
palet atteint toujours la cible.

Un premier problème est de traduire le problème
<<~ponctuellement~>>, c'est à dire passer d'une propriété
concernant un solide tout entier (le palet à l'intérieur de la
cible) à une propriété concernant un point censé les représenter
tous : on pense au centre.

Le problème revient en effet à calculer la probabilité que le
centre $O$ du palet soit à l'intérieur du carré de même centre que
la cible et de côté $a-2r$. On appellera $A'B'C'D'$ ce carré et
$ABCD$ la cible. Faîtes un dessin.

On supposera que tous les points intérieurs de $A'B'C'D'$ ont la
même <<~chance~>> d'être atteints par $O$ (ce qu'on
traduirait dans un modèle discret par : équiprobabilité).

Selon un modèle \textsl{continu}, l'ensemble des issues du
problème est l'ensemble des points intérieurs de $A'B'C'D'$. Mais
comment faire pour calculer~: on ne peut pas attribuer une même
probabilité à chaque point car il y en a une
infinité.%\footnote{voir par exemple l'exercice 2 page~\pageref{equin}}

On va alors adopter momentanément un modèle discret pour mieux
revenir au continu <<~en passant à la limite~>>.

Tapissons la cible à l'aide de petits carrés de côté $a/100$ par
exemple. L'ensemble des issues possibles n'est plus l'ensemble des
points du carré, mais l'ensemble des petits
carreaux (pensez à votre beau visage et à l'ensemble des
pixels qui le représente sur une photo numérique)~: il y en a
$100\times100=10^4$. Il y a équiprobabilité (on sait ce
que ça représente dans un modèle discret) donc la probabilité $p$
de gagner est $$p=\fr{\text{nombre de carreaux de
}A'B'C'D'}{10^4}=\fr{\text{Aire de }A'B'C'D'}{\text{Aire de
}ABCD}$$

Le passage au continu va alors de soit : en faisant tendre le
nombre de petits carreaux vers $+\infty$, le résultat reste
inchangé car la cible est un carré...
$p=\fr{(a-2r)^2}{a^2}$.








\subsection{Vers une <<~équiprobabilité continue~>>}

Problème~: \textsl{Sur un parquet lisse formé de planches de
largeur $2a$ séparées par des rainures droites, parallèles et
équidistantes, on jette une aiguille de longueur $2\ell$ avec
$\ell<a$. Quelle est la probabilité que l'aiguille coupe l'une des
rainures~?}
% 
 \begin{center}
 \includegraphics{LoiConti.1}
 \end{center}



Comment modéliser l'expérience ? On pourrait repérer la position
de l'une des extrêmités de l'aiguille, mais il faudrait distinguer
les cas, selon que l'extrêmité choisie touche ou dépasse une
rainure, celle du <<~haut~>> ou celle du <<~bas~>>.

On va plutôt s'occuper du milieu $O$ de l'aiguille et mesurer la
distance $x$ de $O$ à la rainure la plus proche~: $x$ prend donc
une valeur aléatoire  dans $[0,a]$.

Soit $\theta$ l'angle formé par la rainure la plus proche et
l'aiguille. L'angle $\theta$ prend une valeur aléatoire dans
$[0,\pi]$

Notons $A$ l'événement~: <<~l'aiguille coupe l'une des
rainures~>>.

Une issue correspond au tirage aléatoire et simultané d'une valeur
de $\theta$ et d'une valeur de $x$ dans le rectangle
$[0,a]\times[0,\pi]$.

L'événement $A$ correspond alors aux valeurs du couple
$(x,\theta)$  vérifiant $0\ie x(\theta) \ie \ell\sin\theta$.



Dans un repère cartésien, on place l'angle $\theta$ en abscisse et
la distance $x(\theta)$ en ordonnée. On trace la courbe d'équation
$x=\ell\sin\theta$. On cherche donc à <<~comptabiliser~>>
l'ensemble des valeurs de $x$ inférieures à $\ell\sin\theta$. Il y
en a <<~autant~>>%\footnote{Pourquoi tous ces guillemets~?} 
que de
points situés sous la courbe (aire grisée). Or l'ensemble total
des valeurs possibles de $x(\theta)$ sont représentées par le
rectangle hachuré.
% 
\begin{center}
 \includegraphics{LoiContinc.2}
 \end{center}

On peut supposer que la répartition des points sur le parquet est
uniforme : $O$ peut se trouver de manière aléatoire à n'importe
endroit. Comme on l'a vu avec le jeu du palet, on obtient
$$\bbp(A)=\fr{\text{aire bleue}}{\text{aire bleu ciel}}$$

Or l'aire bleue vaut $\ds\int_0^{\pi}\ell\sin\theta\,d\theta$ et
l'aire du rectangle vaut $\pi a$, donc

$$\bbp(A)=\int_0^{\pi}\fr{\ell\sin\theta}{\pi
a}\,d\theta=\fr{2\ell}{\pi a}$$

Il ne vous aura pas échappé que la probabilité dépend de $\pi$ ce
qui n'avait rien d'évident a priori. Elle peut même permettre de
calculer pas mal de décimales de $\pi$ à l'aide d'une simulation
(voir encadré).

\sm

Vous aurez surtout remarqué que l'équiprobabilité discrète
$\fr{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas
possibles}}$ se traduit ici par un rapport d'aire et fait donc
intervenir une sommation infinie, c'est à dire une intégrale...




\begin{figure}
              \begin{Idee}
              
              
\centerline{\bf Des probabilités pour calculer $\mg \pi$} \small
C'est Buffon,  au XVIII\eme siècle, qui proposa l'expérience
précédente et la formule associée. Certains ont pensé l'utiliser
pour mesurer $\pi$. Par exemple, en 1850, l'ami Wolf lança
$5\,000$ aiguilles pour obtenir $\pi~\simeq~3,1596$.
Malheureusement, l'expérience sous-entend que l'espace physique
est euclidien, c'est à dire parfaitement plan, sans attraction
gravitationnelle, sans déformation de l'espace relativiste etc.
L'efficacité est en fait très mauvaise : il faudrait lancer
$900\,000$ aiguilles pour obtenir 4 décimales de $\pi$ avec une
probabilité de $95\%$. Il faut donc faire attention aux
expériences physiques ou bien ruser en prenant par exemple
$\ell=39,26990817cm$, $a=50cm$ et lancer deux aiguilles : si une
seule sur les deux croise une rainure, vérifiez qu'on obtient
$\pi~\simeq~3,141592654$ avec seulement deux lancers !

Mieux vaut s'appuyer sur des objets mathématiques : par exemple,
vous montrerez peut-être un jour que la probabilité que deux
nombres entiers choisis au hasard entre 0 et $n$ soient premiers
entre eux (c'est à dire sans facteur premier commun pour les
non-spécialistes) tend vers $6/\pi^2$ quand $n$ tend vers
$+\infty$. Il ne reste plus qu'à trouver dans la nature des paires
de nombres entiers, mais la méthode est très lente et on ne peut
guère obtenir plus de quatre  décimales en utilisant un million de
paires d'entiers.

Sinon, à notre niveau, on peut   utiliser XCAS simulant le
choix d'un nombre entre 0 et $\pi$ et d'un autre entre 0 et $a$. 


\begin{lstlisting}
buffon(N,a,L):={
local rx,rt,M,n,k;
rt:=rand(0..Pi); // fonction aléatoire à valeurs dans [0,Pi] (theta)
rx:=rand(0..a);  // fonction aléatoire à valeurs dans [0,a]  (x(theta))
M:=ranm(1,N,'L*sin(rt())-rx()'); // liste de N valeurs de L*sin(t)-x
n:=count_sup(0,M);  // on compte les valeurs positives, i.e. telles que x<L*sin(theta)
return(evalf(2*L*N/(n*a))) // on renvoie l'approximation de pi d'après le résultat théorique
}:;
\end{lstlisting}

Puis on lance $\nombre{1000000}$ d'aiguilles~:

\begin{lstlisting}
sran; // pour réinitialiser la « graine » aléatoire
buffon(1000000,2,1)
\end{lstlisting}

Et on trouve en 25 secondes~:~3,156565657 puis 3.147326346 puis 3.215527137....

 Faîtes d'autres simulations sur un échantillon de $\nombre{1000000}$ de couples
$(\theta, x)$. Pourquoi une telle méthode pose intrinsèquement un
problème~?  \end{Idee}
               \end{figure} \normalsize


% 
% \begin{center}
% \includegraphics[height=7cm]{pi.eps}
% \end{center}
% 





%
%\subsection{Notion de densité de probabilité}
%
%Reprenons le jeu du palet :
%
%$$p=\fr{(a-2r)^2}{a^2}=\cro{\fr{t^2}{a^2}}_0^{a-2r}=\int_0^{a-2r}\fr{2t}{a^2}\,dt$$
%
%
%Considérons maintenant la fonction qui à un point de la cible
%associe





\section{Notion de densité
de probabilité}


\subsection{Modélisation du choix d'un nombre dans $[0,1]$ - Loi
uniforme}

 Nous venons de voir que, dans des situations planes, un modèle
 continu de loi de probabilité pouvait se résumer à un rapport
 d'aire.

 Intéressons-nous maintenant à une situation linéaire. Calculons
 en effet la probabilité qu'un nombre quelconque du segment
 $[0,1]$ se trouve dans un certain intervalle $[a,b]$ inclus dans
 $[0,1]$.

 Par analogie aux situations homogènes (ou \textbf{uniformes})
 vues précédemment, et en se souvenant des élucubrations de nos
 deux hurluberlus du préambule, on peut subdiviser le segment
 $[0,1]$ en 100 petits segments de même longueur $\Delta x$ (1mm
 par exemple). La probabilité qu'un nombre se trouve dans l'une
 des subdivisions vaut donc 1/100 compte-tenu de l'uniformité de
 la répartition. Notons $n_{a,b}$ le nombre de subdivisions <<~recouvertes~>> par $[a,b]$
  et $\lambda([a,b])$ la
 longueur  du segment $[a,b]$. Notons enfin $\bbp([a,b])$ la
 probabilité que le nombre se trouve dans le segment $[a,b]$.

 Alors $\bbp([a,b])=\fr{n_(a,b)}{100}$. On s'aperçoit que $\bbp([a,b])$ est
 indépendante de <<~l'unité~>> $\Delta x$ choisie par
 proportionnalité, donc
 $$\bbp([a,b])=\fr{\lambda([a,b])}{\lambda([0,1])}$$
 On peut ainsi
  faire tendre $\Delta x$ vers 0 pour obtenir un modèle continu où
  on se rappelle que $\lambda([a,b])=\int_a^b\,dx$%\footnote{voirpage~\pageref{long}}. 
Finalement
 $$\bbp([a,b])=\fr{b-a}{1-0}=b-a$$

 On peut alors écrire $\bbp([a,b])=b-a=\ds\int_a^b1\cdot\,dx$. On
 admettra qu'il s'agit d'une loi de probabilité.


\label{defprob}

\begin{figure}
              \begin{Idee}
              
               

\centerline{\bf Qu'est-ce qu'une loi de probabilité~?}
 \small Cette question est hors programme mais nécessite une
 réponse pour votre <<~confort~>> intellectuel. Une définition
 rigoureuse n'est pas envisageable, mais nous allons donner l'idée
 générale.

 Notons $\Omega$ l'ensemble des issues possibles d'une expérience
 (l'univers).

  On appelle probabilité sur $\Omega$  toute  <<~transformation~>> $\bbp$
 allant de l'ensemble
 des <<~parties~>> de $\Omega$ dans $[0,1]$ et vérifiant
 $\bbp(\Omega)=1$ et $\bbp(A\cup B)=\bbp(A)+\bbp(B)$ pour toute <<~partie~>>
 $A$ et $B$ de $\Omega$ \textsl{disjointes}.

 Vous vérifierez qu'à partir de cette définition, on obtient les
 propriétés usuelles
 $$\bbp(\emptyset)=0,\quad \bbp(\bar{A})=1-\bbp(A),\quad \bbp(A\cup
 B)=\bbp(A)+\bbp(B)-\bbp(A\cap B)$$
\end{Idee}
               \end{figure} \normalsize


Cette loi de probabilité sur $[0,1]$, qu'on appelllera \textbf{loi
uniforme} sur $[0,1]$, est associée à une fonction constante (dans
le cas présent la fonction constante et égale à 1) qui caractérise
la probabilité : on l'appelle la \textbf{densité} de $\bbp$


















\subsection{Modélisation de la désintégration radioactive - Loi
exponentielle}
% 
% \begin{center}
% \includegraphics[height=7cm]{chicken.eps}
% \end{center}

Nous avons déjà disserté sur la nécessité de traiter le problème de la désintégration radioactive d'un point de vue probabiliste en
utilisant une loi binomiale%\footnote{cf page~\pageref{radiobin}}. 
Voici une autre approche qui aura l'avantage de prendre en compte <<~la
continuité du temps~>>. Rappelons encore une fois le modèle utilisé.

\sm

En TP de physique, vous avez étudié la désintégration du césium
137 à l'aide d'un compteur de désintégration $\beta$ et $\gamma$
et d'un logiciel adapté. Vous avez alors vérifié expérimentalement
les résultats suivants.

\paragraph*{Hypothèse de travail} Soit une matière fissile contenant
$N$ atomes radioactifs . Dans le cas de la radioactivité <<~naturelle~>>, on peut considérer que les désintégrations des atomes sont
indépendantes et que pour un intervalle de temps donné, chaque atome a la même probabilité d'être désintégré. De plus, le phénomène est
homogène~: il n'y a pas de moments privilégiés où les désintégrations auraient plus de <<~chances~>> de se produire. Enfin, la
probabilité qu'un noyau se désintègre dans un intervalle de temps $]t,t+\Delta t[$ ne dépend pas de $t$. On parle alors de \textsl{ loi
de durée de vie sans vieillissement}~: un atome ne connaît ni d'adolescence (ouf!) ni de troisième âge. Il est en perpétuel âge mûr puis
meurt brusquement.

\paragraph*{Hypothèse de modèle} Soit $\Delta t$ un intervalle de
temps <<~très petit~>> fixé. D'après ce qui précède, on peut
MOD\'ELISER la désintégration radioactive en disant que la
probabilité qu'un atome se désintègre dans l'intervalle de temps
$\Delta t$ vaut
$$ \bbp(\Delta t)\simeq\lambda \Delta t$$ avec $\lambda$ une
constante positive ne dépendant que de la nature du noyau. Ainsi,
pour une matière donnée, la probabilité pour le noyau de se
désintégrer durant un intervalle de temps $\Delta t$ ne dépend que
de $\Delta t$ et pas du moment où a été fait la mesure.

\paragraph*{Calcul <<~discret~>>} Soit $t$ un temps donné. On peut l'exprimer comme
multiple du $\Delta t$ choisi initialement (par exemple la
seconde). On pose alors $$t=n\,\Delta t$$

Soit $T$ le temps d'attente avant d'être désintégré. Calculons la
probabilité pour un atome de ne pas être désintégré au temps $t$.
On la notera $\bbp(T>t)$.

\begin{eqnarray*}
\bbp(T>t)&=& \bbp(T>n\,\Delta t)\\
      &=& \underbrace{\bbp(T>\Delta t)\times \bbp(T>\Delta
      t)\times\cdots\times
      \bbp(T>\Delta t)}_{\text{$n$ fois}}\qquad\text{car la loi est sans mémoire}\\
      &=& \cro{\bbp(T>\Delta t)}^n\\
      &=& \cro{1-\bbp(\Delta t)}^n\\
      &=& (1-\lambda \Delta t)^n\\
      &=& \pa{1-\lambda\fr{t}{n}}^n
\end{eqnarray*}

\paragraph*{Comment <<~passer au continu~>> ?}

Comme nous l'avons vu lors de la découverte de l'intégration, nous
allons faire tendre $\Delta t$ vers 0. Or $t=n\, \Delta t$ et $t$
est une valeur finie, donc si $\Delta t$ tend vers 0, alors
forcément $n$ doit tendre vers $+\infty$. Donc

$$\bbp(T>t)=\lim_{n\to+\infty}\pa{1-\fr{\lambda t}{n}}^n$$





\begin{figure}
              \begin{Idee}\label{expobis}
\centerline{\bf Preuve de {\mg
$\ds\lim_{n\to+\infty}\pa{1+\fr{x}{n}}^n=e^{x}$ }} \small Montrez
que $\ds\lim_{u\to0}\fr{\ln(1+u)}{u}=1$ en reconnaissant un taux
de variation. Alors
\begin{eqnarray*}
(1+x/n)^n&=& e^{n\ln(1+x/n)}\\
&=& e^{n\fr{\ln(1+x/n)}{x/n}\times x/n}\\
&=&e^{x\times\fr{\ln(1+x/n)}{x/n}}
\end{eqnarray*}
Or $\lin\fr{x}{n}=0$, donc $\lin\fr{\ln(1+x/n)}{x/n}=1$ et
$\lin\pa{1+\fr{x}{n}}^n=e^x$  \end{Idee}             \end{figure} \normalsize


Grâce à ce petit aparté, vous pouvez  comprendre que
$$\bbp(T>t)=e^{-\lambda t}$$


Il existe un autre moyen de se laisser  convaincre en utilisant
des résultats de probabilité conditionnelle (on pourra
modéliser de la même manière les arrivées successives de clients à
un guichet : vous verrez ça au bac...cf exercice 1
page~\pageref{loi}).


\sm

Mais ce n'est pas fini...
\begin{eqnarray*}
\bbp(T>t)&=&e^{-\lambda t}\\
      &=&1-\big(-e^{-\lambda t}-(-e^0)\big)\quad\text{si si, c'est
      plus simple comme ça...}\\
      &=&1-\cro{-e^{-\lambda \tau}}_0^t\\
      &=&1-\ds\int_0^t\lambda e^{-\lambda \tau}\,d\tau
\end{eqnarray*}

\'Evidemment, c'est bien beau, mais on en vient à regretter les
délires de Mathémator. Mais, on se souvient de l'introduction de
la fonction de densité de la loi uniforme sur $[0,1]$, donc on
essaie de s'en rapprocher dans le but de trouver un modèle général
de l'étude des phénomènes continus.

Est-ce que ce $\bbp$ a des chances d'être une loi de probabilité~?

On peut remarquer que $\bbp(T>0)$, c'est à dire en fait la
probabilité qu'un atome se désintègre à un moment ou à un
autre (personne n'est éternel...) vaut
$$\bbp(T>0)=1-\int_0^0\lambda e^{-\lambda \tau}\, d\tau=1$$
On peut vérifier  sans problème  que $0\ie \bbp(T>t)\ie 1$ pour tout
réel $t$. Donc, on tient le bon bout.

Toutefois, cette écriture sous la forme <<~$1-$ intégrale~>> est
assez déroutante (vous ne manquerez pourtant pas de faire
le parallèle avec $\bbp(\bar{A})=1-\bbp(A)$).

Considérons deux instants $a$ et $b$ tels que $a< b$ et essayons
de calculer la probabilité que l'atome se désintègre entre les
temps $a$ et $b$, c'est à dire $\bbp(T\in]a,b])$. Vous remarquerez
que $\bbp(T\in]a,b])=\bbp(T>a)-\bbp(T>b)$ : l'atome doit se désintégrer
après $a$ mais pas après $b$. Ainsi
\begin{eqnarray*}
\bbp(T\in]a,b])&=& \bbp(T>a)-\bbp(T>b)\\
            &=& 1-\int_0^a\lambda e^{-\lambda \tau}\,
            d\tau-\pa{\int_0^b\lambda e^{-\lambda \tau}\, d\tau}\\
            &=& \int_0^b\lambda e^{-\lambda \tau}\, d\tau-\int_0^a\lambda e^{-\lambda \tau}\,
            d\tau\\
            &=& \int_a^b\lambda e^{-\lambda \tau}\, d\tau
\end{eqnarray*}

 ce qui est cohérent avec ce que nous avons établi pour la loi
  uniforme sur $[0,1]$ en prenant comme fonction de densité de ce
  qu'on appellera \textbf{ la loi exponentielle} la fonction $f$
  définie sur $[0,+\infty[$ par $f(\tau)=\lambda e^{-\lambda \tau}$.




\begin{figure}
              \begin{Idee}
              
              


\centerline{\bf Une intégrale avec borne infinie } \small Nous
aurions pu procéder autrement : si la désintégration n'a pas lieu
avant $t$, c'est qu'elle a lieu après, donc en un certain temps
appartenant à l'intervalle $[t,+\infty[$. Donc, on a envie
d'écrire que
$$\bbp(T>t)=\int_t^{+\infty}\lambda e^{-\lambda \tau}\,d\tau$$
...sauf que cette écriture n'a pas de sens en
Terminale (les concepteurs de programme demandent d'en
parler quand même...)

...mais \begin{eqnarray*} \ds\int_t^u\lambda e^{-\lambda \tau}\,
d\tau&=&\cro{-e^{-\lambda \tau}}_t^u\\
  &=&-e^{-\lambda u}+e^{-\lambda t}
 \end{eqnarray*}
  ...et $\ds\lim_{u\to+\infty}e^{-\lambda u}=0$,
  donc$\ds\lim_{u\to+\infty}\int_t^u\lambda e^{-\lambda \tau}\,
  d\tau=e^{-\lambda t}=\bbp(T>t)$ OUF! L'honneur est sauf (ce
  qui n'est pas le cas de notre santé mentale).

  On peut en effet écrire
  $$\bbp(T>t)=\bbp(T\in]t,+\infty[)=\int_t^{+\infty}\lambda e^{-\lambda \tau}\,d\tau$$
ce qui est encore cohérent avec la définition qui suit. 

 \end{Idee}
               \end{figure}
\normalsize


\section{Les définitions}


\begin{Def}{Loi de probabilité}
Une\textbf{ {\rm loi de probabilité}} $p$ sur un
intervalle $I=[a,b]$ est déterminée par une fonction $f$ continue,
positive sur $I$ appelée \textbf{{\rm densité}} de $p$ qui vérifie
$$\ds\int_a^bf(t)\,dt=1$$

\sm

Pour tout intervalle $[\al,\beta]$ contenu dans $I$, la
probabilité de l'intervalle$[\al,\beta]$ est

$$\bbp\big([\al,\beta]\big)=\int_{\al}^{\beta}f(t)\,dt$$
\end{Def}



\pro Est-ce que ça vous convient~?

\tsx Il faut vérifier que $p$ est à valeurs dans $[0,1]$. Déjà,
comme $f$ est positive, l'intégration conservant l'ordre, on a
bien $p$ positive. Pour le reste, il faudrait montrer que $p$ est
maximum pour $[a,b]$.

\pro un petit dessin vous aidera peut-être

\begin{center}
\includegraphics{LoiContinc.3}
\end{center}



\tsx Mais oui ! J'y suis ! En fait $\bbp([\al,\beta])$ est une aire.
Et on voit bien que l'aire maximum correspond à $[a,b]$.

%Mais quel abruti ce môme : i me gonfle putain !

\pro Tssss..., Téhessix, combien de fois faudra-t-il vous le
répéter : de la rigueur, que diable~! Croyez-vous que je vais
prendre au sérieux votre <<~on voit bien que~>> ~? La fonction $f$
est positive, donc...

\tsx ...la fonction $F~:~x\mapsto\ds\int_a^xf(t)\,dt$ est
croissante sur $[a,b]$ car  $F'(x)=f(x)\se0$, donc c'est bon.

\pro Vous allez m'en vouloir, mais, c'est pour votre bien : $p$ et
$F$, ce n'est pas la même chose. La fonction $F$ est définie pour
tout  réel appartenant à $[a,b]$, alors que $p$ est définie pour
tout  intervalle inclus dans $[a,b]$. Mais, pour tous nombres
$\al$ et $\beta$ inclus dans $[a,b]$, on a

$$\bbp([\al,\beta])=\ds\int_a^bf(t)\,dt-\int_a^{\al}f(t)\,dt-\int_{\beta}^bf(t)\,dt\ie\int_a^bf(t)\,dt=\bbp([a,b])$$

donc nous pouvons conclure.

Vous aurez sûrement remarqué qu'ainsi $\bbp(\{\al\})=\bbp([\al,\al])=0$
ce qui corrobore notre intuition du début de chapitre. Vous aurez
aussi deviné que les problèmes de lois continues en Terminale se
résumeront le plus souvent à des problèmes d'intégration.



 \begin{Def}{Loi uniforme}On appelle loi uniforme sur $[a,b]$ la loi de
probabilité dont la densité est la fonction constante $f$ définie
sur $[a,b]$ par $$f(x)=\fr{1}{b-a}$$
\end{Def}



\sm

\begin{Def}{Loi exponentielle} Soit $\lambda$ un réel strictement
positif.

On appelle loi exponentielle de paramètre $\lambda$ la loi de
probabilité dont la densité est la fonction $f$ définie sur
$[0,+\infty[$ par $$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$$

\end{Def}


\sm

\begin{Def}{Variable aléatoire et loi continue}Soit une loi de
probabilité $\bbp$ sur $I=[a,b]$ et de densité $f$.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $I$.

On dit que $X$ suit la loi de probabilité $\bbp$ si, pour tout
$x\in[a,b]$
$$\bbp(a\ie X\ie x)=\int_a^xf(t)\,dt$$
\end{Def}



\sm

\begin{Def}{Fonction de répartition}Soit une loi de probabilité p sur
$I=[a,b]$ et de densité $f$.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $I$ suivant la loi
de probabilité $\bbp$.

On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire $X$ la
fonction F définie sur I par
$$F(x)=\bbp(a\ie X\ie x)=\int_a^xf(t)\,dt$$
\end{Def}


\section{Exercices}

\label{loi}\exot{Approche différentielle de la loi
exponentielle}

 La durée de vie d'un clone de lombric syldave est
une variable aléatoire $T$ à valeurs dans $[0,+\infty[$ où
l'événement $\{T\se t\}$, avec $t\se0$, signifie que le clone de
lombric syldave est vivant à l'instant $t$. On suppose que $T$
suit la \textsl{loi de durée de vie sans vieillissement} $P$,
c'est à dire que la probabilité que le clone de lombric syldave
soit vivant à l'instant $t+h$ (avec $t$ et $h$ des réels positifs)
sachant qu'il est vivant à l'instant $t$, ne dépend que de $t$.
Ainsi

$$\bbp_{T\se t}(T\se t+h)=\bbp(T\se h)$$

On note $\f$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par
$\f(t)=\bbp(T\se t)$. On suppose que $\f$ est dérivable sur
$[0,+\infty[$.

\been

\item Montrez que $\f(t+h)=\f(t)\times\f(h)$ (ça ne vous rappelle
rien ?).
\item Calculez $\fr{\f(t+h)-\f(t)}{h}$.
\item On pose $\f'(0)=k$. Montrez que $\f'(t)=k\f(t)$ et
déduisez-en une expression simple de $\f(t)$. Justifiez que $k<0$.


\een


\exot{Exercice classique sur la loi exponentielle}

 La durée de vie, exprimée en jours, des avions de fabrication
syldave est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle
de paramètre 0,002. \been

\item Donnez la fonction de répartition $F$ de $T$.
\item Calculez la probabilité pour qu'un avion syldave ait une
défaillance avant 500 jours - après 800 jours.
\item Quel est le taux moyen de défaillance entre 500 et 800
jours\footnote{Le taux moyen de défaillance entre les instants
$t_1$ et $t_2$ est le quotient de la probabilité pour qu'un avion
ait sa première panne entre les instants $t_1$ et $t_2$ divisée
par la durée $t_2-t_1$.}
\item Déterminez l'instant $t$ où $F(t)=0,5$.
\een


\exot{Loi uniforme sur $[0,\pi]$}

 Un point $M$ est pris au hasard sur un demi-cercle de diamètre
$[AB]$, de centre $O$ et de rayon 1. Nous modéliserons cette
situation en supposant que l'angle $\theta=\widehat{AOM}$ suit la
loi uniforme sur $[0,\pi]$.

Quelle est la probabilité $p$ que le triangle $AOM$ ait une aire
inférieure à 1/4 ?

\exot{Même problème - Modèle différent}

 À tout réel $x$ pris au hasard dans $[0,2]$ en suivant la loi
uniforme sur $[0,2]$, on associe le point $M$ du demi-cercle de
diamètre $[AB]$, de centre $O$ et de rayon 1, tel que $AM=x$.

\been

\item Montrez que $$\big(1-(x/2)^2\big)\big(x/2\big)^2\ie
1/16\,\ssi\,
x\in\cro{0,\fr{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{3}-1)}\cup\cro{\fr{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{3}+1),2}$$

\item Déduisez-en que la probabilité  que le triangle $AOM$ ait une aire
inférieure à 1/4 est $1-\sqrt{2}/2$.

\een
\exot{Espérance de la loi uniforme}

Soit $X$ une variable aléatoire continue de densité $f$ définie
sur $[a,b]$. On appelle espérance de $X$ (sous certaines
conditions) et on note $\bbe(X)$

$$\bbe(X)=\int_a^b tf(t)\,dt$$

Calculez l'espérance d'une variable aléatoire de loi uniforme sur
$[a,b]$

\exot{Espérance de la loi exponentielle}

On admettra que dans le cas d'une variable aléatoire $X$ suivant
une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ et de densité $f$ sur
$[0,+\infty[$, l'espérance de $X$ vaut

$$\bbe(X)=\Lim{+\infty}\int_0^x tf(t)\,dt$$

Montrez que $\bbe(X)$ existe et calculez-la en fonction de $\lambda$.

\exot{De la loi uniforme à la loi exponentielle}

Soit $Y$ une variable aléatoire continue de loi uniforme sur
$[0,1]$.

Montrez que la variable aléatoire continue $X$ définie, pour un
réel $\lambda$ strictement positif par
$$X=-\fr{1}{\lambda}\ln(1-Y)$$
suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\sm

Ce résultat permet en particulier de simuler une loi exponentielle
à l'aide d'un générateur de nombres
<<~pseudo-aléatoires~>>~:~comment~?

\exot{Loi normale}
  Une variable aléatoire $X$ suit \textsl{la loi
normale centrée réduite} si $X$ a pour densité de probabilité la
fonction $f$ définie sur $\bbr$ par
$$f(x)=\fr{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$
\'Etudiez et représentez $f$. À votre avis, que vaut
$\ds\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\,dx$ ?

%\item Une variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de paramètres
%$m$ et $\sigma$, notée $N(m,\sigma)$, si $Y$ a pour densité de
%probabilité la fonction $\f$ définie sur $\bbr$ par
%$$\f(x)=\fr{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\tiny{-\fr{1}{2}\pa{\fr{x-m}{\sigma}}^2}}$$
%
%Déterminez la variable aléatoire $Z$ en fonction de $Y$ pour que
%$Z$ suive la loi normale centrée réduite.
%
%\sm
%
%
%
%\een


\exot{Bac}


On s'int\'eresse \`a la dur\'ee de vie, exprim\'ee en semaines, d'un composant \'electronique.
 On mod\'elise cette situation par une loi de probabilit\'e $p$ de dur\'ee de vie sans
 vieillissement d\'efinie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ : la probabilit\'e que le 
composant ne soit plus en \'etat de marche au bout de $t$ semaines est

\[\bbp([0~;~ t[)  = \displaystyle\int_0^t \lambda \text{e}^{-\lambda 
x}\:\text{d}x.\]

\noindent Une \'etude statistique, montrant qu'environ $50\:\%$ d'un lot important de 
ces composants sont encore en \'etat de marche au bout de 200 semaines, permet de 
poser $\bbp([0~;~ 200[) = 0,5$.

\begin{enumerate} \item Montrer que $\lambda = \cfrac{\ln 2}{200}$.

\item Quelle est la probabilit\'e qu'un de ces composants pris au hasard ait une dur\'ee
 de vie sup\'erieure ? 300 semaines ? On donnera la valeur exacte et une valeur 
approch\'ee d\'ecimale au centi\`eme pr\`es.

\item On admet que la dur\'ee de vie moyenne $d_m$ de ces composants est la limite quand 
$A$ tend vers $+ \infty$ de $\displaystyle\int_0^A \lambda x\text{e}^{-\lambda 
x}\:\text{d}x$.

\begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\int_0^A \lambda x\text{e}^{-\lambda 
x}\:\text{d}x = \cfrac{- \lambda A\text{e}^{-\lambda A} - \text{e}^{- 
\lambda A} + 1}{\lambda}$.

\item En d\'eduire $d_m$ on donnera la valeur exacte et une valeur approch\'ee d\'ecimale ?
la semaine pr\`es.

\end{enumerate}

\end{enumerate}







\exot{Bac}


Le laboratoire de physique d'un lyc\'ee dispose d'un parc d'oscilloscopes
 identiques. La dur\'ee de vie en ann\'ees d'un oscilloscope est une variable
 al\'eatoire not\'ee $X$ qui suit la \og loi de dur\'ee de vie sans vieillissement \fg{}
 (ou encore loi exponentielle de param\`etre $\lambda$ avec $\lambda > 0$.

\noindent Toutes les probabilit\'es seront donn\'ees \`a $10^{-3}$ pr\`es.

\begin{enumerate}\item Sachant que $\bbp(X > 10) = 0,286$, montrer qu'une valeur approch\'ee \`a $10^{-3}$
pr\`es de $\lambda$ est $0,125$.

\noindent On prendra $0,125$ pour valeur de $\lambda$ dans la suite de l'exercice.

\item Calculer la probabilit\'e qu'un oscilloscope du mod\`ele \'etudi\'e ait une
 dur\'ee de vie inf\'erieure \`a 6 mois.

\item Sachant qu'un appareil a d\'ej\`a fonctionn\'e huit ann\'ees, quelle est la
 probabilit\'e qu'il ait une dur\'ee de vie sup\'erieure dix ans ?

\item On consid\`ere que la dur\'ee de vie d'un oscilloscope est ind\'ependante
 de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire d\'ecide de
 commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilit\'e qu'au moins un 
oscilloscope ait une dur\'ee de vie sup\'erieure \^a 10 ans ?

\item Combien l'\'etablissement devrait-il acheter d'oscilloscopes pour que
 la probabilit\'e qu'au moins l'un d'entre eux fonctionne plus de 10 ans
 soit sup\'erieure \`a 0,999 ?

\noindent Rappel :

\noindent \textit{Loi exponentielle de param\`etre $\lambda$ sur $[0~;~ + \infty [$,
 dite aussi loi de dur\'ee de vie sans vieillissement }:

\noindent pour $0 \leqslant a \leqslant  b,~ \bbp([a~;~b]) = \displaystyle\int_a^b  
\lambda \text{e}^{-\lambda t}\:\text{d}t$  et 

\noindent pour $c \geqslant  0,~ 
\bbp([c~;~+ \infty[) = 1 -  \displaystyle\int_0^c \lambda \text{e}^{-\lambda t}
\:\text{d}t$.

\end{enumerate}



\exot{Bac}


Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte.

\noindent Le candidat indiquera sur la copie le num\'ero de la question et la lettre 
correspondant \`a la r\'eponse choisie. Aucune justification n'est demand\'ee.

\noindent Une r\'eponse exacte rapporte 1 point ; une r\'eponse inexacte enl\`eve 
un demi-point ; l'absence de r\'eponse est compt\'ee 0 point. 

\noindent Si le total est n\'egatif, la note est ramen\'ee \`a 0.

\begin{center}{\gray  Premi\`ere partie} \end{center}

\noindent Pour r\'ealiser des \'etiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques
de donn\'ees :

B$_{1}$, contenant 6000 adresses, dont 120 sont erron\'ees et 5 880 sont exactes,

B$_{2}$, contenant 4 000 adresses, dont 200 sont erron\'ees et 3800 sont exactes.

\begin{enumerate} \item On pr\'el\`eve au hasard, avec remise, 10 \'etiquettes parmi les 6 000 r\'ealis\'ees \`a
l'aide de B$_{1}$. La probabilit\'e qu'exactement trois de ces \'etiquettes comportent
une adresse erron\'ee est :
			
\[\text{A :} \cfrac{\binom{120}{3} + \binom{5880}{7}}{\binom{6000}{10}} 
\qquad  \text{B :}~ \cfrac{3}{120}\]

\[\text{C :}~ \binom{10}{3} \times 
{\binom{120}{6000}}^3 \times {\binom{5880}{6000}}^7 \qquad 	\text{D :}~ 
\binom{10}{3} \times {\binom{3}{120}}^3 \times {\binom{7}{5880}}^7\]

\item Parmi les 10\:000 \'etiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que 
l'\'etiquette comporte une adresse exacte, la probabilit\'e qu'elle ait \'et\'e r\'ealis\'ee \`a
l'aide de B$_{1}$ est :
	
\[\text{A :}~ 0,98 \qquad  \text{B :}~ \cfrac{0,4 \times 0,95}{0,6 
\times 0,98 + 0,6\times 0,02} \qquad \text{C :}~ 0,6 \times  0,98 
\qquad  \text{D :} ~ \cfrac{  0,6 \times  0,98}{0,6 \times 0,98 + 0,4 \times  
0,95}\]

\end{enumerate}

\begin{center}{\gray Deuxi\`eme partie} \end{center}
    
La dur\'ee de vie, exprim\'ee en heures, d'un robot jusqu'\`a ce que survienne la 
premi\`ere panne est mod\'elis\'ee par une loi de probabilit\'e $p$ de dur\'ee de vie 
sans vieillissement d\'efinie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ (loi exponentielle
de param\`etre $\lambda = 0,000\:5$). Ainsi la probabilit\'e que le robot tombe en
panne avant l'instant $t$ est : 

\[\bbp\left([0~;~t[\right) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{-\lambda x}\: \text{d}x.\]

\begin{enumerate} \item La probabilit\'e qu'un robot ait une dur\'ee de vie sup\'erieure \`a
2\:500 heures est :

\[ \text{A :}\quad  \text{e}^{-\frac{2500}{2000}} \qquad \text{B :}\quad 
\text{e}^{\frac{5}{4}} \qquad 	\text{C :}\quad 1- 
\text{e}^{-\frac{2500}{2000}} \qquad  	\text{D :} \quad
\text{e}^{-\frac{2000}{2500}}\]

\item La dur\'ee de vie moyenne d'un robot m\'enager est donn\'ee par la formule :\\ 
E $ = \displaystyle\lim_{t \to + \infty} \int_{0}^t \lambda x \text{e}^{- \lambda 
x} \: \text{d}x.$

\begin{enumerate} \item L'int\'egrale $\displaystyle\int_{0}^t \lambda x \text{e}^{- \lambda 
x} \: \text{d}x$ est \'egale \`a :

\[\text{A :}~ \lambda \cfrac{t^2}{2}\text{e}^{-\lambda t} \qquad 
\text{B :}~ - t \text{e}^{-\lambda t} - \cfrac{\text{e}^{-\lambda 
t}}{\lambda} + \cfrac{1}{\lambda} \qquad 
\text{C :}~ \lambda t \text{e}^{-\lambda t}- \lambda \text{e}^{-\lambda 
t} - \lambda \qquad \text{D :}~ t \text{e}^{-\lambda t} - 
\cfrac{\text{e}^{-\lambda t}}{- \lambda}\]

\item La dur\'ee de vie moyenne des robots, exprim\'ee en heures, est :

\[\text{A :}~ 3\:500 \qquad	\text{B :}~ 2\:000 \qquad \text{C :}~ 2\:531,24
\qquad  \text{D :}~ 3\:000\]

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\exot{Bac}



\noindent \textbf{Partie A}\\
On suppose connu le r\'esultat suivant :\\
Si $X$ est une variable al\'eatoire qui suit une loi exponentielle de param\`etre 
strictement positif $\lambda$ alors, pour $t$ r\'eel positif, $\bbp(X \leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] D\'emontrer l'\'egalit\'e suivante : $\bbp(X> t) = \text{e}^{- \lambda t}$.
\item[$\bullet~$] En d\'eduire que, pour $s$ et $t$ r\'eels positifs, l'\'egalit\'e suivante est vraie\\
$\bbp_{(X>t)}(X> s + t)  = \bbp(X> s)$ (loi de dur\'ee de vie sans vieillissement),\\
$\bbp_{(X>t)}(X> s + t)$ d\'esignant la probabilit\'e de l'\'ev\`enement $(X> s + t)$ sachant que $(X> t)$ est r\'ealis\'e.
\end{itemize}

\noindent \textbf{Partie B}\\
La dur\'ee d'attente exprim\'ee en minutes \`a chaque caisse d'un supermarch\'e peut \^etre mod\'elis\'ee par une variable al\'eatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de param\`etre strictement positif $\lambda$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  D\'eterminer une expression exacte de $\lambda$ sachant que $\bbp(T \leqslant  10) = 0,7$.\\
On prendra, pour la suite de l'exercice, la valeur $0,12$ comme valeur
approch\'ee de $\lambda$. 
\item Donner une expression exacte de la probabilit\'e conditionnelle
\\$\bbp_{(T > 10)}(T> 15)$. 
\item 	Sachant qu'un client a d\'ej\`a attendu $10$ minutes \`a une caisse, d\'eterminer la probabilit\'e que son attente totale ne d\'epasse pas $15$ minutes.\\
On donnera une expression exacte, puis une valeur approch\'ee \`a $0,01$ pr\`es
de la r\'eponse.
\end{enumerate} 
On suppose que la dur\'ee d'attente \`a une caisse de ce supermarch\'e est ind\'ependante de celle des autres caisses. Actuellement, 6 caisses sont ouvertes. On d\'esigne par $Y$ la variable al\'eatoire qui repr\'esente le nombre de caisses pour lesquelles la dur\'ee d'attente est sup\'erieure \`a 10 minutes.
\begin{enumerate}
\item Donner la nature et les param\`etres caract\'eristiques de  $Y$.
\item 	Le g\'erant du supermarch\'e ouvre des caisses suppl\'ementaires si la dur\'ee d'attente \`a au moins 4 des 6 caisses est sup\'erieure \`a 10 minutes.\\
D\'eterminer \`a $0,01$ pr\`es la probabilit\'e d'ouverture de nouvelles caisses.
\end{enumerate}
\end{enumerate}








\exot{Bac}
\noindent\textbf{Les parties A et B sont ind\'ependantes}\\
Alain fabrique, en amateur, des appareils \'electroniques. Il ach\`ete pour cela, dans un magasin, des composants en apparence tous identiques mais dont certains pr\'esentent un d\'efaut.
On estime que la probabilit\'e qu'un composant vendu dans le magasin soit d\'efectueux est \'egale \`a 0,02.

\noindent\textbf{Partie A}\\
On admet que le nombre de composants pr\'esent\'es dans le magasin est suffisamment important pour que l'achat de 50 composants soit assimil\'e \`a 50 tirages ind\'ependants avec remise, et on appelle $X$ le nombre de composants d\'efectueux achet\'es. Alain ach\`ete 50 composants.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilit\'e qu'exactement deux des composants achet\'es soient d\'efectueux ? Donner une valeur approch\'ee de cette probabilit\'e \`a $10^{-1}$ pr\`es.
\item Quelle est la probabilit\'e qu'au moins un des composants achet\'es soit d\'efectueux ? Donner une valeur approch\'ee de cette probabilit\'e \`a $10^{-2}$ pr\`es.

\item Quel est, par lot de 50 composants achet\'es, le nombre moyen de composants d\'efectueux ?
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Partie B}\\
On suppose que la dur\'ee de vie $T_{1}$ (en heures) de chaque composant d\'efectueux suit une loi exponentielle de param\`etre $\lambda_{1} = 5 \times  10^{-4}$ et que la dur\'ee de vie $T_{2}$ (en heures) de chaque composant non d\'efectueux suit une loi exponentielle de param\`etre $\lambda_{2} = 10^{-4}$ (on pourra se reporter au formulaire ci-dessous).
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'e que la dur\'ee de vie d'un composant soit sup\'erieure \`a \nombre{1000} heures :
\begin{enumerate}
\item si ce composant est d\'efectueux ;
\item si ce composant n'est pas d\'efectueux. Donner une valeur approch\'ee de ces probabilit\'es $10^{-2}$ pr\`es.
\end{enumerate}
\item Soit $T$ la dur\'ee de vie (en heures) d'un composant achet\'e au hasard.\\
D\'emontrer que la probabilit\'e que ce composant soit encore en \'etat de marche apr\`es $t$ heures de fonctionnement est :
\[\bbp(T \geqslant 	t) = 0,02\text{e}^{-5\times 10^{-4}t} + 0,98\text{e}^{-10^{-4}t}.\]
(on rappelle que la probabilit\'e qu'un composant vendu dans le magasin soit d\'efectueux est \'egale \`a 0,02).
\item Sachant que le composant achet\'e est encore en \'etat de fonctionner \nombre{1000} heures apr\`es son installation, quelle est la probabilit\'e que ce composant soit d\'efectueux ?\\ Donner une valeur approch\'ee de cette probabilit\'e  \`a $10^{-2}$ pr\`es.
\end{enumerate}	
\noindent \textbf{Formulaire}  Loi exponentielle (ou de dur\'ee de vie sans vieillissement) de param\`etre $\lambda$ sur $[0~ ;~ + \infty[$ :\\
Pour $0 \leqslant a \leqslant b,~ \bbp\left([a~;~b]\right)= \displaystyle\int_{a}^b \lambda \text{e}^{- \lambda x}\,\text{d}x$.\\
Pour $c \geqslant 0,~ \bbp\left([c~ ;~+ \infty[\right) = 1 - \displaystyle\int_{0}^c \lambda \text{e}^{- \lambda x}\,\text{d}x$.


\exot{Bac}

Un responsable de magasin ach\`ete des composants \'electroniques aupr\`es de deux fournisseurs dans les proportions suivantes : 25\:\% au premier fournisseur et 75\:\% au second.\\
La proportion de composants d\'efectueux est de 3\:\% chez le premier fournisseur et de 2\:\% chez le second.\\
On note :\\
\begin{itemize}
\item D l'\'ev\`enemenrt \og le composant est d\'efectueux \fg ;
\item F$_{1}$ l'\'ev\`enement \og le composanrt provient du premier fournisseur \fg ;
\item F$_{2}$ l'\'ev\`enement \og le composanrt provient du second fournisseur \fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Dessiner un arbre pond\'er\'e.
\item Calculer $\bbp\left(\text{D} \cap \text{T}_{1} \right)$, puis d\'emontrer que $\bbp(\text{D}) = \nombre{0,0225}$.
\item Sachant qu'un composant est d\'efectueux, quelle est la probabilit\'e qu'il provienne du premier fournisseur ?
\end{enumerate}
\emph{Dans toute la suite de l'exercice, on donnera une valeur approch\'ee des r\'esultats \`a $10^{-3}$ pr\`es.}
\item Le responsable commande 20 composants. Quelle est la probabilit\'e qu'au moins deux d'entre eux soient d\'efectueux ?
\item La dur\'ee de vie de l'un de ces composants est une variable al\'eatoire not\'ee $X$ qui suit une loi de dur\'ee de vie sans vieillisse\`ment ou loi exponentielle de param\`etre $\lambda$, avec $\lambda$ r\'eel strictement positif.
\begin{enumerate}
\item Sachant que $\bbp(X > 5) = 0,325$, d\'eterminer $\lambda$.\\
Pour les questions suivantes, on prendra $\lambda = 0,225$.
\item Quelle est la probabilit\'e qu'un composant dure moins de 8~ans ? plus de 8~ans ?
\item Quelle est la probabilit\'e qu'un composant dure plus de 8~ans sachant qu'il a d\'ej\`a dur\'e plus de 3~ans ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{document}
