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\entete{Équations différentielles
  - Épreuves d'examen }{Équations différentielles
  - Épreuves d'examen}{BTS domotique 1}%g,d,b

\graphicspath{{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}}

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    \color{gray}$>\ $}
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    \color{blue}}
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    \begin{center}
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{#1}
    \end{center}}




\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}





\psshadowbox*[fillcolor=0.9white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries    \begin{center}    BTS    domotique   1    -Équations
    différentielles \end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}
         

\begin{multicols}{2}

\subsection*{Premier ordre}


\exot{BTS}

On considère l'équation différentielle $(E)\,:\, y'-2y=x\e^x$ où $y$ est une
fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$, et $y'$ la
fonction dérivée de $y$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle
$(E_0)$ :
\[y'-2y=0.\]
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=(-x-1)\e^x$.\\
Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation
différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie
la condition initiale $f(0)=0$.
\end{enumerate}

\exot{BTS}

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $\quad y'+710y=710$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $(E_0)$ :
\[y'+710y=0.\]
\item Soit $h$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $h(t)=1$.\\
Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $\varphi$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie la condition initiale $\varphi(0)=0$.
\end{enumerate}

\exot{BTS}

On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E})~~: \qquad y' - y = -\dfrac{4\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^x
    + 1\right)^2}\]

où $y$ est une fonction de  la variable réelle $x$, définie et dérivable
sur $\R$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer   les  solutions  définies  sur   $\R$  de  l'équation
  différentielle $\left(E_{0}\right)~~ : y' - y = 0$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \dfrac{4{e}^x}{{e}^x + 1}$.
Démontrer  que  la  fonction  $g$  est une  solution  particulière  de
l'équation différentielle (E).
\item  En déduire l'ensemble des solutions
de l'équation différentielle (E).
\end{enumerate}
 

\exot{BTS}



On considère l'équation différentielle (E) :  $y'- y = - t$ où l'inconnue $y$ désigne une fonction de la variable réelle $t$ définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)~~: \quad  y'- y = 0$.

\item 	Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ pour lesquels la fonction $h$ définie pour tout réel $t$ par $h(t) = at + b$ est une solution particulière de (E).

\item 	En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).

\item 	Déterminer la solution de l'équation différentielle (E), dont la représentation graphique dans un repère du plan passe par le point de coordonnées (0 ; 2).
\end{enumerate}



\exot{BTS}




On considère l'équation différentielle (E) :
\[ 10^4 y' + 2t y = 0,\] 
o\`u $y$ est une fonction de la variable réelle définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ sa fonction dérivée. 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E). 
\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E ) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 1$.
\end{enumerate}









\exot{BTS}

\textbf{Partie A}\\
 Soit (E) l'équation différentielle 
 \[y' + y =  -2x \text{e}^{-x}\]
  où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie dérivable sur $\R$ et $y'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)~~~ :\quad  y' + y = 0$.
\item  Vérifier que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = -x^2\text{e}^{-x}$ est une solution particulière de (E). 
\item  Donner l'ensemble des solutions de (E).
\end{enumerate}

\medskip
   \noindent \textbf{Partie B}\\
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 
\[g(x) = \text{e}^{-x} - x^2\text{e}^{-x}.\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que $g$ est solution dc l'équation différentielle (E) de
  la partie A.\item Soit $h$  la fonction dérivable sur $\R$ représentée
  par la courbe ci-dessous :\\


\medskip

\psset{unit=1.75cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-0.5)(5,3.5)
\psframe(-2,-0.5)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-0.5)(5,3.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2](0,0)(-2,0)(5,3)
\uput[d](5,0){$x$} \uput[l](0,3.5){$y$}
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{-1.77}{5}{x 1 add dup mul 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip



On admet  que la fonction $h$  est une primitive  de la fonction
$g$ sur $\R$.\\

En  utilisant le  graphique  précédent donner  une  valeur approchée  de
l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1  g(x)\:\text{d}x$. On expliquera la
démarche utilisée.\item  On se propose  de calculer la valeur  exacte de
l'intégrale précédente.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide  d'une intégration par parties, démontrer
                  que  \[\displaystyle\int_{0}^1  g(x)\:\text{d}x  =  1-
                  2\text{e}^{-1}.\] 
\item  On sait  que  $g$  est une  solution  particulière de  l'équation
  différentielle (E)  de la partie  A, c'est-à-dire que, pour  tout réel
  $x$  on  a  :\[g(x)  =  -g'(x) -  2x  \text{e}^{-x}.\]En  déduire  que
  $\displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x  = 4\text{e}^{-1} -  1$, puis
  la valeur exacte de l'aire, en  cm$^2$, de la portion du plan comprise
  entre la courbe représentative de $g$  (tracée \`a la question 5 de la
  partie  B), l'axe  des abscisses,  l'axe  des ordonnées  et la  droite
  d'équation $x = 1$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exot{BTS}


\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\noindent \textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}\\
On considère l'équation différentielle 
\[(\text{E})~: \quad  y' - y  = \text{e}^x\]
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$, et $y'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right)~:  \quad  y' -y = 0$.

\item  Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = x\text{e}^x$.\\
Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E).

\item  En déduire les solutions de l'équation différentielle (E).
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{B. Étude d'une fonction et tracé de sa courbe représentative}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
\[f(x) = (x + 1)\text{e}^x.\]
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} où l'unité graphique est $2$~cm,

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item  On admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$. En déduire $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item  Interpréter graphiquement le résultat obtenu au \text{b.}.
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout $x$ de $\R,~f'(x) = (x +2) \text{e}^x$.
		\item  Établir le tableau de variations de $f$.
	 \end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Écrire une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		\item  Construire sur la feuille de copie quadrillée T et $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
\medskip

\noindent \textbf{C. Calcul intégral}
\begin{enumerate}
\item  Justifier que la fonetion $f$ défmie dans la partie B est une solution de l'équation différentielle (E) de la partie A. Donc, pour tout $x$ de $\R,~f(x) = f'(x) - \text{e}^x$.

\item   En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R$.

\item   Soit $a$ un nombre réel strictement inférieur à $-2$.
On note I $ = \displaystyle\int_{a}^{-2} f(x)\:\text{d}x$.

	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que I $ = - a \text{e}^a -2 \text{e}^{-2}$.
		\item  En déduire l'aire $\mathcal{A}$, en cm$^2$, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses
et les droites d'équation $x = - 4$ et $x = -2$.
		\item  Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de cette aire.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}







\exot{BTS}


On considère l'équation différentielle ($E$) définie par :
\[ y' - 2y = \text{e}^{2x}  -1\]
 où $y$ désigne une fonction ntunérique dérivable sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item  Vérifier   que  la  fonction  $\varphi$  définie   sur  $\R$  par
  $\varphi(x)  =   x\text{e}^{2x}  +  \dfrac{1}{2}$   est  une  solution
  particulière de ($E$).
\item Déterminer la solution générale de l'équation $\left(E_{0}\right)$
  définie par  : $y'- 2y =  0$.\item En déduire la  solution générale de
  $(E)$.\item  Vérifier  que  la  solution  particulière  de  $(E)$  qui
  s'annule en  $0$ est la  fonction $f$ définie  sur $\R$ par\[f(x)  = -
  \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + x\text{e}^{2x} + \dfrac{1}{2}.\]
\item 	À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{0}^1 x\text{e}^{2x}\:\text{d}x$ et en déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}










\exot{BTS}


\noindent \textbf{Partie A}\\
On considère l'équation différentielle (E) : $y'-2y = 4x$, où $y$ désigne une fonction de la variable~$x$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ et $y'$ sa dérivée.

\begin{enumerate}
\item  Soit l'équation différentielle (E') : $y'-2y = 0$.
\\
Résoudre l'équation différentielle (E$'$).
\item  Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie pour tout $x$ réel par $g(x) = ax+b$ soit une solution particulière de l'équation (E).
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation différentielle (E).
		\item  Déterminer la fonction $f$, solution sur $\R$ de l'équation différentielle (E) satisfaisant la condition : $f(0) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie B}\\
Soit la fonction $f$, définie pour tout $x$ réel par $f(x) = \text{e}^{2x}- 2x - 1$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ (on pourra mettre $2x$ en facteur dans l'expression de $f(x)$).

\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$.
\\
En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$ et le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie C}\\
On note $\cal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la droite $\cal D$ d'équation $y=-2x-1$ est asymptote à la courbe $\cal C$ au voisinage de $-\infty$.
\item   Construire la courbe $\cal C$ et la droite $\mathcal D$.

\item   On considère l'aire $\mathcal A$ du domaine plan délimité par la courbe $\cal C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.\\
Calculer la valeur exacte de $\mathcal A$ en cm$^{2}$, puis en donner l'approximation décimale arrondie an centième.
\end{enumerate}














\exot{BTS}


\noindent On considère l'équation différentielle $(E)$  :%
\[\left(  1+x\right)  y^{\prime}+y=\frac{1}{1+x}\]
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x,$ définie et
dérivable sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ et $y^{\prime}$ sa fonction
dérivée.

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que les solutions sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ de
l'équation différentielle $\left(  E_{0}\right)  :$%
\[(1+x)  y^{\prime}+ y = 0 \]
sont les fonctions définies par $h(x)  =\dfrac{k}{x+1}$ où
$k$ est une constante réelle quelconque.

\item  Soit $g$ la fonction définie sur $]  -1~;~+\infty[  $ par
$g(x)  =\dfrac{\ln (1+x)}{1+x}$\\
Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de
l'équation différentielle $(E).$

\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation
différentielle $(E)$.

\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle
$\left(  E\right)  $ qui vérifie la condition initiale $f(0)
=2.$
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Etude d'une fonction}\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ par
$f\left(  x\right)  =\frac{2+\ln\left(  1+x\right)  }{1+x}$

Sa courbe représentative $\mathcal{C}$, dans un repère orthonormal
où l'unité graphique est 1 cm, est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psgrid
[gridcolor=blue,gridlabels=0,griddots=8,subgriddiv=0](0,0)(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotstyle=curve,plotpoints=1500]{-0.891}
{9.5}{1 x add ln 2 add 1 x add div}
\rput(1.2,1.8){$\mathcal{C}$}
\uput[l](0,1){1}
\uput[d](1,0){1}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  On admet que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1}f\left(  x\right)  =-\infty$
et que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =0.$\\\
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?

\item
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout $x$ de $]  -1~;~+\infty[
,\; f^{\prime}\left(  x\right)  =\dfrac{-1-\ln(1+x)}{(
1+x)^{2}}$

\item  Résoudre dans $]  -1~;~+\infty[  $ l'inéquation
$-1-\ln(1+x)  \geqslant 0.$\\
En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ lorsque $x$ varie dans $]  -1~;~+\infty[.$

\item  Établir le tableau de variation de $f.$
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\subsection*{Deuxième ordre}


\exot{BTS}

On considère l'équation différentielle 
\[(\text{E})~~:\quad  y'' + 2 y' + y =  0\]où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,~ y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.\begin{enumerate}
\item  Déterminer les  solutions sur  $\R$ de  l'équation différentielle
  (E).
\item  Déterminer  la  solution  particulière  $f$  de  l'équation
  différentielle (E) qui vérifie les  conditions initiales $f(0) = 0$ et
  $f' (0) = 1$.\end{enumerate}





\exot{BTS}


\noindent On considère l'équation différentielle (E) :
\[y " - 3 y ' - 4 y = - 5 \ e ^{- x}\]
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R,~y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle 
\[(\text{E}_0) ~~:\quad  y''- 3y'-4y=0.\]

\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=x\text{e}^{-x}$.\\
Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E).

\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).

\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 2$ et $f'(0) = -1$.
\end{enumerate}




\exot{BTS}



On considère l'équation différentielle :

\[
(E)\quad y'' - y^{\prime}-2y=\left(  -6x - 4\right)  \text{e}^{-x}%
\]
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux
fois dérivable sur $\mathbb{R}$, $y'$ sa fonction dérivée
première et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :%
\[
(E_{0})\quad y''- y' - 2y=0
\]

\item  Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :%
\[
h(x)=\left(  x^{2}+2x\right)  \text{e}^{-x}%
\]
Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation
différentielle $\left(E\right)  $.

\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation
différentielle $\left(E\right)  $.

\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle
$\left(  E\right)  $ qui vérifie les conditions initiales :%
\[
f\left(  0\right)  =1\quad f^{\prime}\left(  0\right)  =1
\]
\end{enumerate}


\exot{BTS}

On considère l'équation différentielle 
\[(\text{E}) \quad  4y" + 12y' + 9y = 36,\]
 où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$.\begin{enumerate}
\item  Résoudre  sur   $\R$  l'équation  différentielle  $4y"+l2y'+9y  =
  0$.\item Vérifier que la fonction  $h$, définie pour tout réel $x$ par
  $h(x)  = 4$,  est une  solution particulière  de (E).  En  déduire les
  solutions de (E).\item Déterminer la solutionfde (E) qui vérifie $f(0)
  = 5$ et $f'(0) = 0,5$.\end{enumerate}

\exot{BTS}


\noindent \textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle}\\
On considère l'équation différentielle 
\[(\text{E})~~ : \quad y''+2y'+y = x + 4\],
 où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle : $y''+2y'+y = 0$.
\item Vérifier que la fonction $g$, définie pour tout réel $x$ par $g(x) = x + 2$ est une solution particulière de (E).\\
En déduire les solutions de (E).
\item Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie les deux conditions $f(0) = 2$ et $f'(0) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{Partie B - \'Etude d'une fonction}\\
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 
\[f(x) = -x\text{e}^{-x}+ x + 2.\]
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. (On pourra si besoin écrire la fonction sous la forme 
$f(x) = - x\left(\text{e}^{-x} - 1\right)+2$).
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$.
\item On admet que le tableau de variations de la fonction $f'$ est le suivant :\\

\begin{center}
\begin{pspicture}(7.5,2.5)
\psframe(7.5,2.5)\psline(0,2)(7.5,2) \psline(1.5,0)(1.5,2.5)
\uput[u](0.75,2){$x$} \uput[u](1.9,2){$- \infty$}\uput[u](4.5,2){2}\uput[u](7.1,2){$+\infty$}
\rput(0.75,1){$f'(x)$} \rput(1.9,0.2){$- \infty$} \uput[d](4.5,2){$\text{e}^{-2} + 1$}\uput[u](7.3,0){1}
\psline{->}(2,0.4)(4,1.7) \psline{->}(5.1,1.7)(7.1,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}
Calculer $f'(0)$. En déduire le signe de $f'(x)$.
\item Établir le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{Partie C - \'Etude graphique}\\
On note $\mathcal C$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la droite $\mathcal D$ d'équation $y = x + 2$ est asymptote à la courbe~$\mathcal C$.\\
Déterminer la position de la courbe $\mathcal C$ par rapport à cette droite.
\item  Construire $\mathcal D$ et $\mathcal C$ (unité graphique : 2 cm).
\item  On note $\mathcal A$ l'aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée sur le graphique précédent par $\mathcal D$, $\mathcal C$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.\\
Exprimer $\mathcal A$ à l'aide d'une intégrale.\\
Déterminer par la méthode de l'intégration par parties la valeur exacte de $\mathcal A$, puis en donner une valeur décimale arrondie au mm$^{2}$.
\end{enumerate}










\exot{BTS}


\parbox{0.4\linewidth}{On considère un système mécanique formé
	d'un plateau soutenu par un amortisseur. Il est représenté sur le schéma ci-contre.\\		
On note $z$ la cote du centre de gravité du plateau. On suppose que $z$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur un intervalle de $\R$ où $t$	représente le temps exprimé en seconde.} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.95cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7.5,4)
\psline(2.1,1.1)(2.1,0)(4.3,0)(4.3,1.1)
\psline(2.2,0.9)(2.2,1.8) \psline(4.2,1.8)(4.2,0.9)
\psframe[fillstyle=hlines](2.3,1.6)(4.1,2.6)
\psframe(1.3,2.6)(5,3.1)
\psline[linestyle=dashed](0,2.85)(3.15,2.85) \uput[r](3.15,2.85){G}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3.15,2.85)
\psline(0,0)(0,4) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0.9)
\uput[ul](0,0){$0$} \uput[l](0,0.9){$1$} \uput[l](0,2.85){$z$}
\psline{->}(5.6,2.85)(5,2.85)
\psline{->}(4.9,1.7)(4.3,1.7)
\rput(6.2,2.85){Plateau} \rput(6.2,1.7){Amortisseur}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(6.5,0)
\end{pspicture}}

\medskip

\noindent L'étude de ce système mécanique permet de	
considérer que la fonction $z$ est solution de l'équation différentielle \[(E)~~ :\quad  5z'' + 6z' + z = 2.	\] 

\medskip\noindent \textbf{Partie A}\\\begin{enumerate}
\item  Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $5z'' + 6z' + z = 0$.
\item   Chercher une solution particulière constante de l'équation $(E)$ et en déduire la solution générale de $(E)$.
\item   Donner la solution $g$ de $(E)$ qui vérifie les conditions $g(0) = 5$ et $g'(0) =  1$.\end{enumerate}\medskip\noindent \textbf{Partie B}\\On suppose pour la suite du problème que $z(t) =  f(t)$, où $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0~;~ +\infty \right[$  par
\[f(t) = 0,5 \text{e}^{-t} + 2,5\text{e}^{-0,2t} + 2.\]\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$.\item 	Déterminer la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$.
\item 	Déduire des deux questions précédentes l'évolution de la cote du point G en fonction du temps $t$.
\item 	On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij. Justifier l'existence d'une asymptote à la
	courbe $\mathcal{C}$ quand $t$ tend vers $+ \infty$ ; en donner une équation.\\
	 Tracer cette asymptote sur le graphique de la feuille jointe en
	annexe.\end{enumerate}\medskip\noindent \textbf{Partie C}\\\begin{enumerate}
\item  Déterminer une primitive de la fonction $h$, définie pour tout $t$ de l'intervalle $\left[0~;~ +\infty \right[$ par
\[h(t) = \text{e}^{-t} + 2,5\text{e}^{-0,2t}.\]\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $\displaystyle\int_{1}^5 \left[f(t) - 2\right]\:\text{d}t$.		\item  Interpréter géométriquement ce résultat sur la feuille jointe en annexe.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}




\begin{center}
\textbf{ANNEXE\\
(\`a rendre avec la copie)}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(15,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx= 20,Dy = 10]{->}(0,0)(-1,-2)(15,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx= 20,Dy = 10]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-1,-2)(15,6)
\uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1} \uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[u](8,2.5){$\mathcal{C}$} \uput[d](15,0){$x$} \uput[l](0,6){$y$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{15}{0.5 2.71828 x exp div 2.5 2.71828 0.2 x mul exp div mul 2 add}
\end{pspicture}

\end{center}

\exot{BTS}

$y$ désigne une fonction de la variable $z$ définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.\\
Soit (E) l'équation différentielle d'inconnue $y$ suivante :
\[ y'' - 4y' + 3y  =  -3x - 2.\]

\medskip

\noindent \textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'équation différentielle $y'' - 4y' + 3y =  0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $a$ et $b$ deux réels. On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $g(x) = ax + b$. \\Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $g$ soit une solution particulière de l'équation (E).
		\item Résoudre l'équation (E).
 	\end{enumerate}
\item	Déterminer la fonction $f$, solution particulière sur l'ensemble $\R$ des nombres réels de l'équation (E), telle que : $f(0) = - 1$ et $f''(0)= 9$.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie B}\\
Soit la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel par 
\[f(x) =  \text{e}^{3x} -x - 2.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.

\item 	En remarquant que, pour $x$ différent de $0,~f(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^{2x}}{x} - 1 - \dfrac{2}{x}\right)$, déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item 	Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\item 	Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 4~cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses,
\item[$\bullet~$] 1~cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la droite $\mathcal{D}$ d'équation \\$y= -x - 2$ au voisinage de $- \infty$.
\item 	Déterminer les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ selon les valeurs de $x$.
\item 	Tracer $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
	
\medskip

\noindent \textbf{Partie C}\\
Calculer l'aire $\mathcal{A}$, en cm$^2$, du domaine compris entre les droites d'équations $x = -2$ et $x = 0$,
la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième de $\mathcal{A}$.



\end{multicols}


\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
