\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[height=250mm,width=175mm]{geometry}
\usepackage{etex}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE ROUGE : intervention très fortement deconseillee
\usepackage[fourier]{preambule}
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% \usepackage{pst-plot}
% \usepackage{pst-char}
% \usepackage{pst-text}
% %\usepackage{psfig}
% \usepackage{ifthen}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE ORANGE : intervention deconseillee
\parindent=0pt
% \textwidth 17.0cm
% \textheight25.0cm
% \hoffset-1.0cm
% \voffset-3.0cm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE VERTE : Intervention obligatoire
%%% ADAPTER SUIVANT LA NATURE DE L'EPREUVE
\def\Exam{DEVOIR COMMUN}
\def\Serie{S}
\def\Session{Session 2010}
\def\Discipline{MATH\'EMATIQUES}
\def\Option{Enseignement Obligatoire}
%\def\Option{Enseignement de Sp\'ecialit\'e}
\def\Duree{Dur\'ee de l'épreuve : 4 heures}
\def\Coef{Coefficient : 7}
\def\Code{MASSIN1}

\newcommand{\C}{\bbc}
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\to #2}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\newcounter{nexo}
\setcounter{nexo}{1}
\newcommand{\Exo}[1]{\vspace{1cm}\centerline{\bf     \large     EXERCICE
    \arabic{nexo} (#1 points 
%\ifthenelse{#1 < 2}{point}{points}
 )\vspace{0.5cm}}
\addtocounter{nexo}{1} \par \medskip}
\newcommand{\Pb}[1]{\centerline{\bf \large PROBL\`EME  (#1
\ifthenelse{#1  < 2}{point}{points} )}
\par \medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE BLEUE : Intervention parfois utile mais a faire prudemment
%%% TOUT COMMENTER OU TOUT DECOMMENTER

\rput{40}(7.5,-13){
       \psframebox[linecolor=white,linewidth=0pt]{
       \font\bigpala=pplb at 2.5cm
       \pscharpath[linestyle=none,linecolor=white,
       fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]%
       {\bigpala O~b~l~i~g~a~t~o~i~r~e}}}



% \rput{45}(8,-13){
%        \psframebox[linecolor=white,linewidth=0pt]{
%        \font\bigpala=pplb at 2.5cm
%        \pscharpath[linestyle=none,linecolor=white,
%        fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]%
%        {\bigpala S~p~\'e~c~i~a~l~i~t~\'e}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE BLEUE : Intervention parfois utile mais a faire prudemment
%%% FAIRE UN CHOIX (3 choix possibles)
%%% 1)
{\bf \large \Code \hfill \Session \quad ~}
%%% 2)
%{\bf \large \hfill \Code \quad ~}
%%% 3)
%{\bf \large \hfill  \quad ~}
%
\vskip 3cm
%
%%% FAIRE UN CHOIX (3 choix possibles)
%%% 1)
\centerline{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\bf \huge \black \Exam}}
%%% 2)
%\centerline{\psframebox{\bf \LARGE  \Exam}}
%%% 3)
%\centerline{\bf \LARGE \Exam}
%
\vskip 1.5cm
%
\centerline{\bf \Large \Session}
%
\centerline{\rule{20mm}{1mm}}
\vskip 1.5cm
%
\centerline{\bf \LARGE \Discipline}
%
\vskip 0.7cm
%
\centerline{\bf \LARGE Série \Serie}
%
\vskip 1.5cm
%
\centerline{\bf \LARGE \Option}
%
\vskip 0.7cm
%
\centerline{\bf \Large \it \Duree}
%
\vskip 0.7cm
%
\centerline{\bf \Large \it \Coef}
%
\vskip 1.5cm
%
%%% FAIRE UN CHOIX (2 choix)
%%% 1)
\centerline{Les calculatrices électroniques de poche sont
autorisées conformément à la loi en vigueur.}
%%% 2)
%\centerline{Les calculatrices sont interdites.}
%
\vskip 0.5 cm
%
%\centerline{Autre indication éventuelle}
%
\vskip 1.5cm
%
%
\centerline{\psframebox{\it \begin{tabular}{c}
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. \\
Le candidat doit traiter tous les exercices. \\
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements\\ entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.
\end{tabular}}}
%
\vskip 0.7cm
%
{\it Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte  
bien 3
pages numérotées de 1 à 3.}


\setlength{\columnseprule}{0pt}

\pagebreak

\Exo{3}


Soit la suite $(I_n)$ définie sur $\bbn^*$ par~:

\[I_n=\int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{nx}}{1+\mathrm{e}^x}\mathrm{d}x\]

\begin{enumerate}
\item Étudiez le sens de variation de la suite $(I_n)$.
\item Montrez que, pour tout $x$ de $[0;1]$, on a~:

\[\frac{1}{4}\leqslant \frac{1}{1+\mathrm{e}^x}\leqslant \frac{1}{2}\]

En déduire un encadrement de $I_n$ et la limite de la suite $(I_n)$.
\end{enumerate}

%exo2

\Exo{7}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
\[f(x) = \dfrac{9}{2}\text{e}^{-2x} - 3\text{e}^{-3x}.\]

\medskip

\noindent \textbf{Partie A :}\\
Soit l'équation différentielle (E) : $y' +2y = 3\text{e}^{-3x}$.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle (E$'$) : $y' +2y = 0$.
\item  Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = - 3\text{e}^{-3x}$ est solution de l'équation (E).
\item Montrer  qu'une fonction  $h$ définie et  dérivable sur  $\bbr$ est
  solution de (E) si, et seulement si, $h-g$ est solution de $(E')$.
\item En déduire toutes les solutions de $(E)$ sur $\bbr$.
\item Déterminer  la fonction  $f$ solution de  (E) qui prend  la valeur
  $\frac{3}{2}$ en 0.
\end{enumerate}
 
\medskip

\noindent \textbf{ Partie B :}\\
On nomme $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité 2~cm.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout $x$ de $\R$ on a : $f(x) = 3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac{3}{2} - \text{e}^{-x}\right)$.
\item  Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ puis la limite de $f$ en $- \infty$.
\item  Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\item  Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec les axes du repère.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\item  Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. On exprimera cette aire en
cm$^2$.
\end{enumerate}


%exo3

\Exo{5}



Pour r\'ealiser une loterie, un organisateur dispose d'une part d'un sac contenant exactement un jeton blanc et 9 jetons noirs indiscernables au toucher et d'autre part d'un d\'e cubique \'equilibr\'e dont les faces sont num\'erot\'ees de 1 \`a 6.\\
Il d\'ecide des r\`egles suivantes pour le d\'eroulement d'une partie.\\


%\pagebreak

Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le d\'e. 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  si le jeton est blanc, le joueur perd lorsque le jet du d\'e donne 6 ;
\item[$\bullet$] si le jeton est noir, le joueur gagne lorsque le jet du d\'e donne 6.
 \end{itemize}
 
 À la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac.


\noindent On note B l'\'ev\`enement \og le jeton tir\'e est blanc \fg{} et G l'\'ev\`enement \og le joueur gagne le jeu \fg. \\
L'\'ev\`enement contraire d'un \'ev\`enement E sera not\'e $\overline{\text{E}}$.\\
 La probabilit\'e d'un \'ev\`enement E sera not\'ee $\bbp(E)$.
 
 \medskip
 
\noindent \textbf{Partie A}\\
\hspace{-0.5cm}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\bbp(\text{G}) = \dfrac{7}{30}$. On pourra s'aider d'un arbre pond\'er\'e.
\item  Quelle est la probabilit\'e que le joueur ait tir\'e le jeton blanc sachant qu'il a perdu ?

\item Quel  nombre minimal $n$ de  parties un joueur  doit-il faire pour
  que la  probabilit\'e d'en gagner  au moins une soit  sup\'erieure \`a
  $0,99$ ? 
\end{enumerate}

 \medskip
 
\noindent \textbf{Partie B}\\
L'organisateur d\'ecide de faire de sa loterie un jeu d'argent :
 \begin{itemize}
\item[$\bullet$]  chaque joueur paie 1 \texteuro{} par partie;
\item[$\bullet$]  si le joueur gagne la partie, il re\c{c}oit 5 \texteuro ;
\item[$\bullet$]  si le joueur perd la partie, il ne re\c{c}oit rien.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable al\'eatoire \'egale au gain alg\'ebrique (positif ou n\'egatif) du joueur \`a l'issue d'une partie.

\begin{enumerate}
\item  Donner la loi de probabilit\'e de $X$ et son esp\'erance $\bbe(X)$.
\item  On dit que le jeu est favorable \`a l'organisateur si $\bbe(X) < 0$.\\
 Le jeu est-il favorable \`a l'organisateur ?
 \end{enumerate}
\item L'organisateur d\'ecide de modifier le nombre $n$ de jetons noirs ($n$ entier naturel non nul) tout en gardant un seul jeton blanc.\\
 Pour quelles valeurs de l'entier $n$ le jeu est-il d\'efavorable \`a l'organisateur ?
\end{enumerate}










\Exo{5}


\noindent  Le plan complexe est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal direct \Ouv. L'unit\'e graphique est 2 cm.\\
On d\'esigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $+ \dfrac{\pi}{2}$.\\
On r\'ealisera une figure que l'on compl\'etera au fur et \`a mesure des questions.
\begin{enumerate}
\item  R\'esoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'\'equation $\dfrac{z - 4}{z}	= \text{i}$. \'Ecrire la solution sous forme alg\'ebrique.
\item R\'esoudre dans $\C$ l'\'equation $z^2 - 2z + 4 = 0$. \'Ecrire les solutions sous forme exponentielle.
\item Soient A, B, A$'$ et D les points du plan complexe d'affixes respectives :

\[ a = 2, \qquad  b = 4, \qquad a' = 2\text{i}\quad  \text{et} \quad d = 2 + 2\text{i}.\]

Quelle est la nature du triangle 0DB?
\item Soient E et F les points d'affixes respectives $e = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ et $f =  1 + \text{i}\sqrt{3}$.\\
Quelle est la nature du quadrilat\`ere OEAF?
\item Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon 2. Soit $\mathcal{C}'$ le cercle de centre A$'$ et de rayon 2.\\
Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $+ \dfrac{\pi}{2}$
\begin{enumerate}
\item  On d\'esigne par E$'$ l'image par la rotation $r$ du point E. Calculer l'affixe $e'$ du point E$'$.
\item D\'emontrer que le point E$'$ est un point du cercle $\mathcal{C}'$.
\item V\'erifier que : $e - d = \left(\sqrt{3} + 2\right) \left(e' - d\right)$. En d\'eduire que les points E, E$'$ et D sont align\'es.
\end{enumerate}
\item Soit D$'$ l'image du point D par la rotation $r$. D\'emontrer que le triangle EE$'$D$'$ est rectangle.
\end{enumerate}
 



\end{document}


\pagebreak


%%%%%

\setcounter{nexo}{1}

\begin{center}
  {\LARGE SOLUTIONS}

\vspace{3cm}

\Exo{4}


\begin{enumerate}
\item Calculons $I_{n+1}-I_n$ pour tout entier naturel non nul $n$~:

  \begin{eqnarray*}
I_{n+1}-I_n&=&\int_0^1
\frac{\mathrm{e}^{nx+x}-\mathrm{e}^{nx}}{1+\mathrm{e}^x}\mathrm{d}x\\
&=&\int_0^1
\frac{\mathrm{e}^{nx}(\mathrm{e}^x-1)}{1+\mathrm{e}^x}\mathrm{d}x\\
  \end{eqnarray*}

Or, sur  $[0;1]$, $\mathrm{e}^x \geqslant \mathrm{e}^0=1$.  On en déduit
que $\mathrm{e}^x-1 \geqslant0$ puis~:

\[\frac{\mathrm{e}^{nx}(\mathrm{e}^x-1)}{1+\mathrm{e}^x} \geqslant0\]

car $\mathrm{e}^x>0$ et $\mathrm{e}^{nx}>0$ pour tout $x$ de $[0;1]$.

L'intégration  conservant   l'ordre,  on  en   déduit  que  $I_{n+1}-I_n
\geqslant0$ pour tout entier naturel non nul $n$.

La suite $(I_n)$ est donc croissante.

\item Pour tout $x$ de $[0;1]$ on obtient successivement~:


\[0 \leqslant x \leqslant1\]

\[2 \leqslant 1+\mathrm{e}^x \leqslant 1+ \mathrm{e} <1+3=4\]

\[\frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{1+ \mathrm{e}^x} \geqslant \frac{1}{4}\]


\[\frac{\mathrm{e}^{nx}}{2} \geqslant \frac{\mathrm{e}^{nx}}{1+ \mathrm{e}^x} \geqslant \frac{\mathrm{e}^{nx}}{4}\]



car  $\mathrm{e}^{nx}>0$   pour  tout  x  de   $[0;1]$.  Enfin,  puisque
l'intégration conserve l'ordre~:




\[\int_0^1\frac{\mathrm{e}^{nx}}{2}\mathrm{d}x \geqslant I_n \geqslant \int_0^1\frac{\mathrm{e}^{nx}}{4}\mathrm{d}x\]

On en déduit que, pour tout $n\in\bbn^*$~:



\[\frac{1}{4}\Big[\frac{\mathrm{e}^{nx}}{n}\Big]_0^1    \leqslant    I_n
\leqslant \frac{1}{2}\Big[\frac{\mathrm{e}^{nx}}{n}\Big]_0^1\]



\[ \frac{\mathrm{e}^n-1}{4n}  \leqslant    I_n
\leqslant \frac{\mathrm{e}^n-1}{2n} \]


Or,   $\displaystyle\lim_{n\to   +\infty}\frac{\mathrm{e}^n}{n}=+\infty$
(croissances comparées).


On         en         déduit        que         $\displaystyle\lim_{n\to
  +\infty}\frac{\mathrm{e}^n-1}{4n}=+\infty$ puis que

\[\displaystyle\lim_{n\to +\infty}I_n=+\infty\]

d'après le théorème des gendarmes version limite infinie.

\end{enumerate}


\Exo{6}
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par:
%\[
%f(x)=\frac92\text{e}^{-2x}-3\text{e}^{-3x}.
%\]
\textbf{Partie A:}
%\\
%Soit l'équation différentielle~(E): $y'+2y=3\text{e}^{-3x}$.
\begin{enumerate}
\item (E')$\Longleftrightarrow y'=-2y$. D'après le cours, les solutions de (E')  sont les fonctions définies sur $\R$ de la forme $x\mapsto C\text{e}^{-2x}$, où $C$ est une constante réelle.
%Résoudre l'équation différentielle~(E'): $y'+2y=0$.
\item En particulier, avec $C=\dfrac92$, on obtient la fonction $h$.
%En déduire que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\dfrac92\text{e}^{-2x}$ est solution de (E').
\item $g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x)=9\text{e}^{-3x}$. Par conséquent, pour tout réel $x$:
\[g'(x)+2g(x)=9\text{e}^{-3x}-6\text{e}^{-3x}=3\text{e}^{-3x},\]
ce qui prouve que $g$ est bien solution de (E).
%Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-3\text{e}^{-3x}$ est solution de l'équation (E).
\item Comme $f=g+h$, on a $f'=g'+h'$, donc, pour tout réel $x$:
\[f'(x)+2f(x)=\underbrace{g'(x)+2g(x)}_{3\text{e}^{-3x}}+\underbrace{h'(x)+2h(x)}_{0}=3\text{e}^{-3x},\]
et $f$ est alors bien solution de (E).
%En remarquant que $f=g+h$, montrer que $f$ est une solution de (E).
\end{enumerate}
\textbf{Partie B:}
%\\
%On nomme $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij d'unité 1~cm.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\dfrac92\text{e}^{-2x}-3\text{e}^{-3x}=3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac32-\dfrac{\text{e}^{-3x}}{\text{e}^{-2x}}\right)=3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac32-\text{e}^{-x}\right)$.
%Montrer que pour tout $x$ de $\R$ on a: $f(x)=3\text{e}^{-2x}\left(\dfrac32-\text{e}^{-x}\right)$.
\item 
\begin{itemize}
\item \textbf{Limite de $f$ en $-\infty$}.\\
$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(-2x)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{X\to +\infty}e^X=+\infty$, donc par composition $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{e}^{-2x}=+\infty$. De même $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\text{e}^{-3x}=+\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\dfrac32-\text{e}^{-x}\right)=-\infty$; on en déduit, par opérations sur les limites dans l'expression de $f(x)$ obtenue à la question B1 que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.
\item \textbf{Limite de $f$ en $+\infty$}.\\
$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(-2x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{X\to -\infty}e^X=0$, donc par composition $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^{-2x}=0$. De même $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^{-3x}=0$; on en déduit par opérations sur les limites dans l'expression initiale de $f(x)$ que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$. Graphiquement, cela signifie que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de $+\infty$.
\end{itemize}

%Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ puis la limite de $f$ en $-\infty$.
\item $f$ est dérivable sur $\R$ (combinaison simple de fonctions qui le sont), et, pour tout réel $x$:
\[
f'(x)=\frac92\times(-2)\text{e}^{-2x}-3\times(-3)\text{e}^{-3x}=-9\text{e}^{-2x}+9\text{e}^{-3x}=9\text{e}^{-3x}\left(-\text{e}^{x}+1\right).
\]
Comme, pour tout réel $x$, $9\text{e}^{-3x}>0$, $f'(x)$ a le même signe que $-\text{e}^{x}+1$.\\
Or: $-\text{e}^{x}+1\leqslant 0\Longleftrightarrow 1\leqslant \text{e}^{x}\Longleftrightarrow 0\leqslant x$, donc
$f'(x)\leqslant 0\Longleftrightarrow x\geqslant 0$.\\
Par ailleurs $f(0)=\dfrac92e^0-3e^0=\dfrac32$.
On en déduit le tableau de variation suivant:

% \begin{tabular}{|c|ccccc|}
% \hline
% $x$ & $-\infty$ &&0&&$+\infty$\\
% \hline
% $f'(x)$&&$+$&0&$-$&\\
% \hline
% &&&\rnode{b}{3/2}&&\\
% $f(x)$&&&&&\\
% &\rnode{a}{$-\infty$}&&&&\rnode{c}{$0$}\\
% \hline
% \end{tabular}
% \ncline[nodesep=2pt]{->}{a}{b}
% \ncline[nodesep=2pt]{->}{b}{c}
  \begin{center}
    \begin{TV}
      TV([-infinity,+infinity],[],"f","x",3*exp(-2*x)*(3/2-exp(-x)),1,n,\tv)
      \end{TV}
    \end{center}



%Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\item 
\begin{itemize}
\item \textbf{Intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe $(Ox)$}.\\
On cherche les points de coordonnées $(x;f(x))$ tels que $f(x)=0$.\\
D'après l'expression de la question B1, et comme pour tout réel $x$, $\text{e}^{-2x}\neq0$,  on  a:
$f(x)=0\Longleftrightarrow \dfrac32=\text{e}^{-x}\Longleftrightarrow \ln\left(\frac32\right)=-x\Longleftrightarrow
x=\ln\left(\frac23\right)\simeq \nombre{-0,4}$ (à \nombre{0,01} près).\\
La courbe $\mathcal{C}_{f}$ coupe l'axe $(Ox)$ en un seul point $A$ de coordonnées $\left(\ln\left(\frac23\right);0\right)$.
\item \textbf{Intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe $(Oy)$}.\\
Il s'agit du point de coordonnées $B(0;f(0))$ c'est-à-dire $\left(0;\frac32\right)$.
\end{itemize}

%Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec les axes du repère.
\item $f(1)=\dfrac92\text{e}^{-2}-3\text{e}^{-3}\simeq \nombre{0,46}$ (à
  \nombre{0,01}  près).  L'allure  de  $\mathcal{C}_{f}$  est  alors  la
  suivante:



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{fig1}
\end{center}
\end{figure}



% \begin{center}
% \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}

% \begin{pspicture*}(-1.07,-1.16)(2.76,1.88)
% \psline[linewidth=0.8pt]{<->}(-0.5,1.5)(0.5,1.5)
% \psplot[plotstyle=curve]{-1.0651428845781525}{2.7571919345684237}{9/2*2.718281828^(-2*x)-3*2.718281828^(-3*x)}
% \psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](1,0)(1,0.46)
% \psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,0.46)(1,0.46)
% \uput[160](0,0.46){\tiny $f(1)$}
% %\rput[tl](1.93,0.45){$\mathcal{C}_f$}
% \psdots[](-0.41,0)
% \uput[-135](-0.4,0){$A$}
% \psdots[](0,1.5)
% \uput[45](0,1.5){$B$}
% \uput[-90](1,0){\tiny 1}

% \psaxes[ticks=none,labels=none,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=0pt 0,subticks=2](0,0)(-1.07,-1.16)(2.76,1.88)
% \psaxes[labels=none,linewidth=1.4pt,linecolor=red]{->}(0,0)(1,1)
% %\uput[-90](0.5,0){\tiny$\vect{\imath}$}
% %\uput[-135](0,0.5){\tiny$\vect{\jmath}$}
% \uput[-135](0,0){\tiny$O$}
% \end{pspicture*}

% \end{center}





%Calculer $f(1)$ et tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_{f}$.
\item Une primitive de $f$ sur $\R$ est la fonction $x\mapsto -\dfrac94\text{e}^{-2x}+\text{e}^{-3x}$. Sur l'intervalle $[0;1]$, la fonction $f$ est positive, l'aire $A$ cherchée est donc égale à:
\[
A=\int_{0}^1f(x)\text{d}x=\left[-\dfrac94\text{e}^{-2x}+\text{e}^{-3x}\right]_{0}^1=\left(-\dfrac94\text{e}^{-2}+\text{e}^{-3}\right)-\left(-\dfrac94+1\right)=-\dfrac94\text{e}^{-2}+\text{e}^{-3}+\dfrac54~\text{cm}^2.
\]
%Déterminer l'aire $A$ de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$. On exprimera cette aire en cm\up{2}.
\end{enumerate}


\end{center}

%\end{document}
\Exo{5}


\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Il s'agit d'une expérience à deux issues avec une probabilité de succès $p=\dfrac 16$ et une probabilité d'échec $q=\dfrac 56$ que l'on répète de manière indépendante 3 fois. X représente le nombre de succès et suit donc une loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\frac 16$.
		\item L'espérance d'une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ est $np$. Donc\\
 $E(X)=3\dfrac16 = \dfrac 12$
		\item $P(X = 2)= \displaystyle\binom{3}{2}p^2q^1=3\times \dfrac 5{6^3}=\dfrac 5{72}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item ~

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{1/2}}
	  { 
		  \TR{$A$}\taput{5/72}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{D}$}\tbput{1/2}}
	  {
		  \TR{$A$}\taput{2/9}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{} 
	  }
}
\end{center}

%\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-0.89,-1.95)(6.05,3.7)
%\psline(0,1)(2,2)
%\psline(0,1)(2,0)
%\psline(2.54,2.34)(4.47,3.19)
%\psline(2.51,-0.28)(4.51,-1.23)
%\psline(2.51,-0.28)(4.49,0.43)
%\psline(4.47,1.63)(2.54,2.34)
%\rput[tl](2.2,2.52){$D$}
%\rput[tl](2.16,0.23){$\overline D$}
%\rput[tl](4.63,3.65){$A$}
%\rput[tl](4.63,2.01){$\overline A$}
%\rput[tl](4.65,0.81){$A$}
%\rput[tl](4.69,-0.88){$\overline A$}
%\rput[tl](0.65,1.92){1/2}
%\rput[tl](0.69,0.34){1/2}
%\rput[tl](3.,3.27){5/72}
%\rput[tl](3.2,0.55){2/9}
%\end{pspicture*}

        L'événement « choisir le dé équilibré et obtenir exactement deux six ~» correspond à $D \cap A$\\
        $p(D \cap A)=p(D)\times p_D(A)=\dfrac 12 \times \dfrac 5{72} = \dfrac{5}{144}$.

        L'événement « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux six ~» correspond à $\overline{D} \cap A$.

        $p(\overline D \cap A)=p(\overline D)\times p_{\overline D}(A)$.

On utilise un raisonnement analogue au 1.c.,

$p_{\overline D}(A) = \displaystyle\binom{3}{2}p'^2q'^1$ où $p'=\dfrac 13$. Donc $p_{\overline D}(A)=\dfrac 2{9}$ et $p(\overline D \cap A)=\dfrac12\times \dfrac2{9}=\dfrac19$.

		\item On en déduit que $p(A) = p(D \cap A) + p(\overline D \cap A)= \dfrac{5}{144} + \dfrac{16}{144} = \dfrac{21}{144}=\dfrac7{48}$.
		\item  Il s'agit de calculer $p(\overline D \text{ sachant } A)=\dfrac{p(\overline D \cap A)}{p(A)}=\dfrac19 \times \dfrac{48}7=\dfrac{16}{21}$.
			\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $p_D(B_n)=1-p_D(\text{« n'obtenir aucun 6 ~»})=1-q^n=1-\left(\dfrac56\right)^n$. De même $p_{\overline D}(B_n)=1-\left(\dfrac23\right)^n$. On applique alors la formule des probabilités totales:\\
$p_n=p(B_n)=p(D)\times p_D(B_n)+p(\overline D)\times p_{\overline D}(B_n)=1-\dfrac 12\left(\dfrac56\right)^n-\dfrac 12\left(\dfrac23\right)^n$.
		 \item	$\limite{n}{+ \infty}\left(\dfrac56\right)^n =0$ et $\limite{n}{+ \infty}\left(\dfrac23\right)^n =0$ car $\dfrac56$ et $\dfrac 23$ appartiennent à $]-1;1[$. Donc $\limite{n}{+ \infty}p_n=1$. Ce résultat est prévisible car, quel que soit le dé, à condition de jouer suffisamment longtemps, on a une quasi certitude d'obtenir au moins une fois un 6. (ici, $p_{22} > 0,99$ et $p_{100}\approx 1$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\Exo{5}


\begin{enumerate}
\item $\dfrac{z - 4}{z}	= \text{i} \iff z - 4 =  \text{i}z \iff z(1 - \text{i}) = 4 \iff z = \dfrac{4}{1 - \text{i}} = \dfrac{4(1 + \text{i}}{1 + 1} = 2 + 2\text{i}.\\
 S = \{2 + 2\text{i}\}$
\item $z^2 - 2z + 4 = 0 \iff (z - 1)^2 - 1 + 4 = 0 \iff (z - 1)^2 = - 3 \iff \left\{\begin{array}{lcl}z_{1}&=& 1 + \text{i}\sqrt{3}\\
z_{2}&=& 1 - \text{i}\sqrt{3}\\ \end{array}\right. \\
S = \{1 + \text{i}\sqrt{3}~;~1 - \text{i}\sqrt{3}\}$.\\
$\left|z_{1} \right| = \sqrt{3 + 1} = 2 \Longrightarrow z_{1} = 2\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et comme $z_{2} = \overline{z_{1}} = 2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
\item En interpr\'etant l'\'egalit\'e de la question 1 obtenue avec l'affixe de D (modules et arguments \'egaux) :\\
$\dfrac{z - 4}{z}	= \text{i}\iff \dfrac{z_{\text{D}} - z_{\text{B}}}{z_{\text{D}} - z_{\text{O}}} = \text{i}  \Longrightarrow \left\{\begin{array}{lcl}\text{BD} &=& \text{OD}\\
\left(\vect{\text{OD}},~\vect{\text{BD}}\right)& = &\dfrac{\pi}{2}\\
\end{array}\right.$ Autrement dit le triangle OBD est isoc\`ele, rectangle en D.
\item On remarque que $z_{\text{E}}$ et $z_{\text{F}}$ sont les solutions de l'\'equation de la question 2. Donc :\\
$\left\{\begin{array}{l cl}z_{\text{E}}^2 - 2z_{\text{E}} + 4&=&0\\
z_{\text{F}}^2 - 2z_{\text{F}} + 4&=&0\\
\end{array}\right. \Longrightarrow  z_{\text{E}}^2 - z_{\text{F}} - 2z_{\text{E}} + 2z_{\text{F}}= 0 \iff (z_{\text{E}} - z_{\text{F}})(z_{\text{E}} + z_{\text{F}} - 2) = 0 
\iff 
z_{\text{E}} + z_{\text{F}} = 2 = z_{\text{A}} \iff $ OEAF est un parall\'elogramme.\\
De plus on sait que $\left|z_{\text{E}} \right| = \left|z_{\text{F}} \right| = 2$.
Conclusion :  OEAF est un losange.
\item
\begin{enumerate}
\item Si $M(z)$ a pour image $M'(z')$ dans la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, alors $z' = \text{i}z$. Donc$z_{\text{E}'} = \text{i}(1 - \text{i}\sqrt{3}) = \sqrt{3} + \text{i}$.
\item AE$' = \left|z_{\text{E}'} - z_{\text{A}}\right| = \left|\sqrt{3} - \text{i}\right| = \sqrt{3 + 1} = 2$. Donc E$'$ appartient bien au cercle  $\mathcal{C}'$.
\item On calcule $e' - d = \sqrt{3} + \text{i} - 2 - 2\text{i} = \sqrt{3} - 2 - \text{i}$. Donc  $(\sqrt{3} + 2)(e' - d) = (\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2 - \text{i}) = - 1 - \text{i}(\sqrt{3} + 2)$.\\
D'autre part $e - d = 1 - \text{i}\sqrt{3} - 2 - 2\text{i} =  - 1 - \text{i}(\sqrt{3} + 2)$.\\
Conclusion : $e - d = (\sqrt{3} + 2)(e' - d)$. Cette \'egalit\'e s'\'ecrit vectoriellement : $\vect{\text{DE}} = (\sqrt{3} + 2)\vect{\text{DE}'} \iff \vect{\text{DE}}~\text{et}~\vect{\text{DE}'}$ sont colin\'eaires ou encore E appartient \`a la droite (DE$'$) ou encore E, E$'$ et D sont align\'es.
\end{enumerate}
\item 
Dans la rotation, la droite (ED) ou encore d'apr\`es la question pr\'ec\'edente la droite  (EE$'$) a pour image la droite perpendiculaire (E$'$D$'$) : donc le triangle EE$'$D$'$ est rectangle en E$'$.
\end{enumerate}
% \psset{unit=1.5cm}
% \begin{pspicture}(-2,-2)(5.2,4.2)
% \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(5,4)
% \rput(0,0){$\times$} \uput[dl](0,0){O} \rput(0,2){$\times$} \uput[ur](0,2){A$'$} 
% \uput[ur](2,0){A} \rput(2,0){$\times$} \uput[ur](4,0){B} \rput(4,0){$\times$} 
% \uput[ur](2,2){D} \rput(2,2){$\times$} \uput[u](1,1.732){F} \rput(1,1.732){$\times$} 
% \uput[r](1.732,1){E$'$} \rput(1.732,1){$\times$} \uput[d](1,-1.732){E} \rput(1,-1.732){$\times$}
% \uput[l](-2,2){D$'$}  \rput(-2,2){$\times$}
% \pscircle(2,0){2} \pscircle(0,2){2}
% \psline[linestyle=dashed](1.732,1)(2,2)
% \pspolygon(0,0)(2,2)(4,0)
% \pspolygon(0,0)(1,1.732)(2,0)(1,-1.732)
% \pspolygon[linestyle=dashed](1,-1.732)(1.732,1)(-2,2)
% %\uput[dr](3,-2){$\mathcal{C}$}  \uput[dl](-2,3){$\mathcal{C}'$}  
% \end{pspicture}


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=6cm]{fig2}
\end{center}
\end{figure}



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