
\input{/home/moi/Lycee/makdevoir}
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\title{\vspace{-4cm}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=bleu_m]{   {\huge\bfseries  \white{SGM1  \ \ Devoir surveillé de mathématiques n°1}}  } }

\author{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=bleu_m]{\white\bfseries{Jeudi 10 novembre 2005}}}
\date{{\LARGE NOM~:\hspace{7cm} GROUPE~:}}
 \setlength{\parindent}{0pt}


%numérotation des pages par rapport à la dernière
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    {\hfill
    page {\thepage}/\pageref{LastPage}
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    page {\thepage}/\pageref{LastPage}
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%fin de la macro pour numéroter les pages


\begin{document}
 \setlength{\parindent}{0pt}

\vspace{-4cm}
\maketitle


\begin{center}
\textsl{L'usage des calculatrices et de la
copie du (de la) voisin(e) est interdit}
\end{center}

\bigskip


\exot{    }

La fréquence du son fondamental d'une corde vibrante est donnée par la formule 
$$N=\fr{1}{2\ell}\sqrt{\fr{F}{\mu}}$$
où $\ell$ est la longueur de la corde, $F$ sa tension et $\mu$ sa masse par unité de longueur.

Donnez l'expression de l'erreur relative  $\ab{\fr{\text{d}N}{N}}_{\text{max}}$ en fonction des erreurs $\text{d}\ell$, $\text{d}F$ et $\text{d}\mu$.


\vspace{5cm}

\exot{    }

Soit $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $$f(x)=\Arctan(x)+\Arctan\pa{\fr{1}{x}}$$

\been
\item Calculez $f(1)$.

\vspace{2.5cm}

\item Calculez la dérivée de $f$ sur $]0,+\infty[$.

\vspace{4cm}

\item Simplifiez alors l'écriture de $f(x)$.

\vspace{3cm}

\een


\exot{   }

Soit $f$ la fonction définie sur $]2,+\infty[$ par $$f(x)=\sqrt{\fr{x^3}{x-2}}$$

\been
\item Calculez $\Lim{+\infty}f(x)$
\vspace{4cm}

\item Montrez que $\CR_f$ admet une asymptote au voisinage de $+\infty$ dont voous déterminerez une équation.
\vspace{8cm}

\een

\exot{   }

En probabilités, la distribution normale est caractérisée par la fonction de densité $f$ définie sur $\bbr$ par 
$$f(x)=\fr{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-u^2}\qquad \text{où}\quad u=\fr{x-\mu}{\sigma}$$
la moyenne $\mu$ et l'écart-type $\sigma$ étant considérés comme des constantes positives.

Calculez la dérivée de $f$ et montrez qu'elle est du signe de $-x+\mu$ puis  dressez son tableau  de variation sur $\bbr$

\vspace{7cm}

\exot{   }

\been
\item Démontrez que $\Lim{0}\fr{e^x-1}{x}=1$.

\vspace{4cm}

\item On considère un circuit électrique constitué d'une force électromotrice $U$, d'une résistance $R$ et d'une inductance $L$. L'intensité du courant $I$ varie alors en fonction du temps $t$ selon la formule
$$I(R)=\fr{U}{R}\pa{1-e^{-Rt/L}}$$
On considère comme des constantes $U$, $L$ et $t$ et comme seule variable $R$.

Calculez $\ds\lim_{R\to 0}I(R)$.

\vspace{6cm}

\een

\exot{   }
Soit $P$ la fonction définie sur $\bbc$ par $P(z)=z^3-2z^2+16$
\been
\item Calulez $P(-2)$ et déduisez-en une première factorisation de $P(z)$.

\vspace{2cm}

\item Résolvez alors l'équation $P(z)=0$.

\vspace{4cm}

\item On pose $z_0=-2(-1+j)$, $z_1=-2$ et $z_2=2+2j$. \'Ecrivez ces trois nombres sous forme exponentielle.
\vspace{6cm}

%\item On pose $s=\fr{z_0^2z_1}{z_2^{12}}$. \'Ecrivez $s$ sous forme exponentielle.

%\vspace{2.5cm}

\een

\subsection*{Mini-formulaire}

\bel
\item Dérivée de Arctan sur $\bbr$ : $x\mapsto \fr{1}{1+x^2}$
\item Définition du nombre dérivé de $f$ en $a$ si $f$ est dérivable en $a$ $$f'(a)=\Lim{a}\fr{f(x)-f(a)}{x-a}$$
\item Erreur relative : on rappelle que $\fr{\d f}{f}=\d(\ln f)$
\el

\end{document}