
\documentclass[a4paper,10pt,latin1]{polymaths}


\entetalice{DS n°2}{SGM 1 - 2005/2006}


\begin{document}
 \setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}

.

\vspace{-2cm}

\textcolor{bleu_f}{\bfseries\huge\floweroneleft \ \ SGM1  \ \ Devoir surveillé de mathématiques n°2\ \ \floweroneright}

\bigskip

\begin{center}
\textcolor{bleu_f}{\Large  Mardi 17 janvier 2006}

\end{center}


\begin{center}
\textcolor{bleu_f}{\LARGE NOM~:\hspace{7cm} GROUPE~:}
\end{center}



\begin{center}
\textsf{\textcolor{bleu_f}{L'usage des calculatrices et de la
copie du (de la) voisin(e) est interdit}}
\end{center}

\bigskip



\begin{exercice}
Soit $F(x)=\fr{2x^3+3x^2+20x-8}{x^2+2x+10}$

\been
\item Déterminez les pôles complexes de $F$.

\vspace{2cm}

\item Effectuez la division euclidienne de $2x^3+3x^2+20x-8$ par $x^2+2x+10$.

\vspace{4.5cm}

\item Déduisez-en la décomposition en éléments simples de F dans $\bbr(X)$.

\vspace{2.5cm}

\item Calculez alors $\Int{-1}{1}F(x)\d x$

\vspace{4.5cm}

\een
\end{exercice}

\vfill

.

\break


\begin{exercice}

\been
\item Linéarisez $\cos^3x$ à l'aide de la formule d'Euler.

\vspace{2.5cm}

\item Déduisez-en $\Int{\ofr{-\pi}{6}}{\ofr{2\pi}{3}}\cos^3x\d x$

\vspace{4.5cm}

\een

\end{exercice}



\begin{exercice}
On rappelle que les coordonnées du centre de gravité d'une plaque homogène limité par les droites d'équations $x=a$, $x=b$, l'axe des abscisses et la courbe d'équation $y=f(x)$ sont données par les formules

\[x_G=\fr{\Int{a}{b}xf(x)\d x}{\Int{a}{b}f(x)\d x}\qquad y_G=\fr{1}{2}\fr{\Int{a}{b}\big(f(x)\big)^2\d x}{\Int{a}{b}f(x)\d x}\]

Calculez ces coordonnées dans le cas où $a=0$, $b=1$, $f(x)=2e^{-3x}$.


\vspace{7cm}
\end{exercice}

\vfill

.

\break

.

\vspace{3cm}

\begin{exercice}
Calculez les intégrales suivantes
\begin{enumerate}
\item $\Int{\sqrt{2}+1}{\sqrt{6}+1}\fr{4}{x^2-2x+3}\d x$
\vspace{8cm}
\item $\Int{0}{\ofr{\pi}{2}}\fr{\cos x}{1+\sin^2x}\d x$
\vspace{6cm}

\end{enumerate}

\end{exercice}

\vfill
.

\break

\begin{center}
\textcolor{bleu_f}{\Large M I N I  -  F O R M U L A I R E}
\end{center}


\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\textwidth}{Y{0}}%{|c|b{5cm}|}
\whline
\textbf{$f(x)=$}& \textbf{$f'(x)= $}\\
 \whline $u+v$&$u'+v'$ \\
 \hline$\lambda u, \ \ \lambda \in\bbr$&$\la u'$ \\
 \hline$uv$&$u'v+uv'$ \\
 \hline$\fr{u}{v}$&\vtabplus$\fr{u'v-uv'}{v^2}$ \\
 \hline$u\circ v$&$v'\times u'\circ v$  \\
 \hline$e^u$&$u'e^u$ \\
 \hline$\Arctan u$&\vtabplus$\fr{u'}{1+u^2}$ \\
 \hline$\ln|u|$&\vtabplus$\fr{u'}{u}$ \\
 \hline$u^n$&$nu^{n-1}u'$ \\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}



\bigskip

\textbf{Rappel : règles de Bioche. } Soit $F(\sin x, \cos x)$ une <<~fraction rationnelle en cos et sin~>> alors on calcule $\int F(\cos x,\sin x)\d x$ en effectuant un changement de variable selon les régles suivantes : si $F(\sin x, \cos x)\d x$ est invaraint quand on change  
\bel
\item $x$ en $ \pi-x $, alors on effectue le changement de variable $\sin x=t$
\item $x$ en $ -x $, alors on effectue le changement de variable $\cos x=t$
\item $x$ en $ \pi+x $, alors on effectue le changement de variable $\tan x=t$
\el

Si aucun changement ne fonctionne, on pose $\tan(\ofr{x}{2})=t$.


\bigskip
\bigskip

\textbf{Identités rarquables}  $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+c^3\qquad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2+c^3$

\end{document}