
\input{/home/moi/Lycee/makdevoir}
\usepackage{lastpage}

\title{\vspace{-4cm}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=bleu]{   {\huge\bfseries  \white{2\textsuperscript{nde}$\text{STL}_1$  \ \ Devoir surveillé de mathématiques n°1}}  } }

\author{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=bleu]{\white\bfseries{Mercredi 28 septembre 2005}}}
\date{}
 \setlength{\parindent}{0pt}


%numérotation des pages par rapport à la dernière
\makeatletter
\renewcommand{\@evenfoot}
    {\hfill
    page {\thepage}/\pageref{LastPage}
    \hfill}
\renewcommand{\@oddfoot}{\hfill
    page {\thepage}/\pageref{LastPage}
    \hfill}
\makeatother
%fin de la macro pour numéroter les pages


\begin{document}
 \setlength{\parindent}{0pt}

\vspace{-4cm}
\maketitle



\begin{center}
\textsl{L'usage des calculatrices est autorisé - L'usage de la
copie du (de la) voisin(e) est vivement déconseillé}
\end{center}

\exot{VRAI ou FAUX~?}

\textsl{Pour chaque question, répondez par vrai ou par faux. On
comptera 1 point par bonne réponse et $-0,5$ point par mauvaise
réponse. Une absence de réponse compte pour 0.}

\sm


La courbe suivante est la représentation graphique d'une fonction
$f$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-5.5,-2.5)(5.5,5.5)
\psgrid[gridwidth=.3pt,subgridwidth=.3pt,griddots=10,gridlabels=0,subgriddiv=2,subgriddots=5](-5,-2.5)(6,5)
\psline(-5,0)(6,0) \psline(0,-2.5)(0,5.5) \uput[dl](0,0){O}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \psline(-.1,1)(.1,1)
\psline(1,-.1)(1,.1)
\pscurve(-4.5,-1)(-4,0)(-2,1.5)(0,5)(1,3.5)(2,1.5)(3,0)(4.5,-2)(5,-1)(5.5,-0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\been
\item 0 admet deux images par $f$ qui sont $-4$ et 3.
\item L'image de $-2$ par $f$ est 4,5.
\item 0 a pour image 5 par $f$.
\item $f(-1)=5$
\item $f(-2)=f(2)$
\item $f(0)$ est le maximum de $f$ sur $[-4,5\,;\,5,5]$
\item $f$ est définie sur $[-2\,;\,5]$
\item $f$ est positive sur $[-1\,;\,3]$
\item $f$ est positive sur $[0\,;\,4]$
\item $f(-3)\se0$
\item $f(-4)\ie0$
\item L'équation $f(x)=-1$ admet exactement trois solutions.
\item L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=0$ est $[-4,3]$
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)>3/2$ est
$[-2\,;\,2]$
\item Si $0\ie x\ie 5$, alors $-1\ie f(x)\ie5$
\item Si $-1\ie x\ie 5$, alors $-2\ie f(x)\ie 5$
\een









\exo Dans tout l'exercice, les deux fonctions $f$ et $g$ sont
définies sur l'intervalle $[-2;1]$ par les relations :
$$f(x)=3x^2+2x-1 \textrm{ et } g(x)=-3x-1$$
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau de valeurs suivant :

\begin{tabular}{|*8{@{\vrule height.5cm width0pt depth.2cm\hspace{.5cm}}c@{\hspace{.5cm}}|}}
\hline $x$& $-2$& $-1,5$& $-0,5$& $0$& $0,5$& $1$&
$3$\tabularnewline \hline $f(x)$&&&&&&&\tabularnewline \hline
$g(x)$&&&&&&&\tabularnewline \hline
\end{tabular}
\item Représentez dans un repère  d'unité graphique 4 cm en
abscisse et 1 cm en ordonnée les fonctions $f$ et $g$.
\item Résolvez graphiquement l'équation : $ f(x)=g(x)$ avec la
précision permise par votre graphique.
\item Résolvez graphiquement l'inéquation : $ f(x)\se g(x)$
\item \'Etudiez graphiquement le signe de $f(x)$, puis de $g(x)$ et enfin de $f(x)-g(x)$ : vous
donnerez vos résultats dans trois  tableaux de signes.
\item À l'aide des tableaux précédents, déterminez le signe de $f(-1)$, de $g(-1)$ et de  $f(-1)-g(-1)$.
Retrouvez ces résultat par le calcul.
\end{enumerate}








\exo On considère la fonction $g$ définie sur $[-5\,,\,5]$ par
$$g(x)=\fr{3x-5}{x^2+1}$$
Indiquez, parmi les points suivants, ceux qui sont sur la courbe
représentative de $g$ en n'oubliant pas de justifier vos réponses
par un calcul.
$$ A(-1\,;4\,)\qquad \coo{B}{1}{-1}\qquad \coo{C}{-3}{7/5}\qquad
\coo{D}{-2/3}{-63/13}\qquad \coo{E}{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}-5/2} $$








\exo Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls. On note $N$ le nombre
$$N=\fr{(a+b)^2-(a-b)^2}{ab}$$ \been
\item Calculer $N$ dans les cas suivants~: \been \item $a=2$ et
$b=1$; \item $a=-1/2$ et $b=1/3$; \item $a=\sqrt{2}$ et
$b=\sqrt{3}$. \een \item Que remarquez-vous~? Prouvez-le 
 en simplifiant l'écriture de $N$. \een


\end{document}