%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{repere.mp}

beginfig(4)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
            (0.000008472044*t*t)*t-(0.008163739*t)*t+4.01*t+3               
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-90,1000,-900,5500,0.015cm,0.001cm);
r_axes;
r_origine;
%r_unites;
r_labelxy;

grad_x(100,100,0.4white);
grad_y(500,500,0.4white);

draw f_courbe(fx,fy,0,1000,1500)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;

label.lrt(btex $y=C(x)$ etex,r_p(600,fy(600)) )withcolor red;


r_fin;
endfig;


 
beginfig( 5)


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
              (0.0000254*t)*t-0.0163*t+4.01               
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-90,1000,-1,13,.015cm,.5cm);
r_axes;
r_origine;

r_labelxy;

grad_x(100,100,0.4white);
grad_y(1,5,0.4white);

draw f_courbe(fx,fy,0,1000,1500)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor blue;
label.lrt(btex $y=C'(x)$ etex,r_p(600,fy(600)) )withcolor blue;
r_fin;
endfig;

\end{filecontents*}



\documentclass[10pt,a4paper]{report}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage{preambule,hyperref,filecontents}
\usepackage[upright]{fourier}
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\entete{Coût marginal}{Coût marginal}{1\textsuperscript{ère} ES3}%g,d,b




\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


%\setcounter{NumLecon}{}
         \Enc{ Coût marginal}{yellow}{1.25}
         

\section{Introduction de la notion}

Les définitions varient selon le contexte...et les économistes qui l'utilisent. En général, c'est le
coût de \og production  \fg de la dernière unité produite ou bien le  coût de production d'une unité
supplémentaire. 

\begin{DANGER}

  \begin{itemize}
  \item  La \og  production\fg est  à prendre  au sens  le plus  général possible  :  cela peut-être
    effectivement  la production  industrielle  d'une voiture,  mais  aussi le  coût occasionné  par
    l'utilisation d'une  autoroute par un camion supplémentaire,  ou le coût pour  un étudiant d'une
    année supplémentaire à l'université, etc. 
  \item Selon qu'on parle de dernière unité produite ou d'unité supplémentaire, le calcul ne revient
    pas forcément au même. Ainsi, si l'on connaît le coût C en fonction de la quantité $q$ produite,
    dans un cas le coût marginal est donné par 
    \[C_m(q)=C(q)-C(q-1)\] et dans l'autre \[C_m(q)=C(q+1)-C(q)\]
   
  \end{itemize}

\end{DANGER}



La notion de \og marginalité\fg s'étend également au bénéfice ou à la recette. 

Le  calcul du  coût est  un problème  économique plus  ou moins  compliqué et  discutable  selon les
paramètres que l'on fait intervenir. Par exemple  une usine qui rejette ses déchets dans une rivière
va obliger une entreprise qui utilise l'eau  de cette rivière pour produire des biens alimentaires à
la dépolluer ce qui va entraîner pour elle un coût \emph{externe}. 
L'usine va polluer  aussi l'air, réchauffer la planète,  ce qui va créer un  assèchement des régions
sub-sahariennes, des pénuries, des maladies respiratoires, des coûts pour soins médicaux, etc. 
Va-t-on ou non tenir compte de ces facteurs  dans le calcul du coût~? Cette question est primordiale
pour modéliser le coût  par une formule globale et doit être connue  du \og mathématicien\fg même si
la décision ne dépend pas de lui. 

Un autre problème qui  implique le mathématicien mais en même temps  le dépasse est l'interprétation
des résultats.  Par exemple, l'économiste Bertrand \textsc{Lemmennicier}  traite ainsi l'absentéisme
et la violence  à l'école. Il détermine la  courbe de coût pour un élève  d'une année supplémentaire
à l'école  (en termes  de dépenses  directes mais  aussi en manque  à gagner  puisqu'il ne  peut pas
travailler et toucher un  salaire) et de gain d'une année d'école en  plus (en termes de possibilité
d'accroître sa formation et  donc son salaire d'embauche). À la croisée de  ces deux courbes de gain
et  de coût marginaux,  on obtient  le nombre  idéal d'années  de scolarité  (après, les  gains sont
inférieurs au coût et il vaut mieux arrêter). Il conclut ainsi~:

\emph{Admettons  que le nombre  « optimal  » d'années  de scolarité  pour un  groupe d'élèves  est 8
  ans. L'âge  optimal de sortie  du système scolaire  est donc de 14  ans. Contraindre ces  élèves à
  poursuivre leur scolarité au-delà  de 14 ans revient à leur faire  supporter un coût d'opportunité
  en excès des gains permanents attendus. Comme  par ailleurs on interdit à un employeur d'embaucher
  des enfants de moins de 16 ans, les  élèves n'ont aucune autre solution que de fuir l'école. S'ils
  sont contraints d'y  aller par la force, ils  vont résister par la violence à  un système scolaire
  qui les agresse. S'ils  n'ont pas envie d'aller à l'école, que les  employeurs légaux n'ont pas le
  droit  de les embaucher,  ils se  tournent vers  le marché  noir et  la délinquance.  Supprimer la
  scolarité  obligatoire,  autoriser  le  travail  des  enfants  en deçà  de  16  ans  et  ces  maux
  disparaîtront comme par enchantement. Evidemment la  contrepartie est que sur le marché du travail
  des concurrents marginaux arrivent. Ces derniers sont prêts à travailler pour trois fois rien.  
Cette  législation  est  faîte normalement  pour  contraindre  des  jeunes  et leurs  familles,  qui
spontanément ne poursuivraient pas leur scolarité au-delà  de 13 ans ou 14 ans pour diverses raisons
de le faire. L'idée est que le temps passé à l'école permet à ces élèves d'accumuler des compétences
qui, plus tard, leur permettront d'avoir de meilleurs salaires. (...) \\
La leçon  que l'on doit  retenir ici est  la suivante: l'analyse marginale  est un outil  qui permet
d'organiser  rapidement la  réflexion  sur  la question  de  la cessation  d'une  activité. On  peut
l'appliquer à la date  optimale du divorce, de la reprise d'une activité quand  on est au chômage, à
la vitesse optimale sur les routes..} 

Texte complet sur
\href{http://lemennicier.bwm-mediasoft.com/article.php?ID=13&limba=fr}{\url{http://lemennicier.bwm-mediasoft.com/article.php?ID=13&limba=fr}}
\medskip


Quels commentaires vous inspirent ces lignes~? 




\section{Étude de deux exemples}

Une usine syldave fabrique des clones d'un élève de 1\textsuperscript{ère} ES idéal que les services
secrets viennent de kidnapper dans un lycée français. 

De savants économistes ont établi que le coût de la production de $x$ lots de clones était donné par
la formule


\[ f :\begin{array}{rll} \bbr^+ &\to & \bbr^+ \\ x  & \mapsto & x^2+1 \end{array}\]


Déterminez la dérivée $f'$ de $f$ puis complétez le tableau suivant

\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.9\textwidth}{Y{8}}
	     \whline
             x & 1 & 2 & 3 & 4 & 10 & 20 & 100 & 500 & 1000\\
             \whline
             $f(x+1)-f(x)$ & &&&&&&&& \\
             \hline
              $f(x)-f(x-1)$ & &&&&&&&& \\
             \hline
             $f'(x)$ &&&&&&&&& \\
             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}



Quels savantes pensées vous inspirent ces savants résultats~? 

\smallskip

Les services secrets   se sont aperçus que ces savants étaient  en fait des espions bordures
venus  saboter   l'élan  scientifique  du  peuple   syldave.  Une  autre   équipe  de  scientifiques
idéologiquement triés sur le volet a donc été  constituée et a mis au point la formule suivante pour
étudier le coût de production de $x$ clones 


\[ C :\begin{array}{rll} [0\pv1000] &\to &\bbr^+  \\ x  & \mapsto &  \fr{234\,097}{27\,631\,702\,280} x^{3}-\fr{9\,807\,739}{1\,201\,378\,360}x^2+\fr{5\,540\,124\,593}{1\,381\,585\,114}x+\fr{2\,071\,119\,200}{690\,792\,557}\end{array}\]

Voici le tableau complété


\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.9\textwidth}{Y{8}}
	     \whline
             x & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 100 & 500 & 1000\\
             \whline
             $C(x)-C(x-1)$ &3,857&3,701&3,550&3,404&3,264&3,128&2,637 &2,196 &13,081 \\
             \hline
             $C(x+1)-C(x)$ &3,841 &3,686 &3,536 &3,390 &3,250 &3,115 &2,626 &2,205 &13,116 \\
             \hline
             $C'(x)$ &3,849&3,693&3,543&3,397&3,257&3,121 &2,631 & 2,200&13,098 \\
             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}




Voici la représentation graphique de C 

\begin{center}
  \includegraphics{repere.4}
\end{center}


Mais le principal pour le ministère syldave de l'éducation c'est d'avoir une production rentable. 

Sachant que les établissements scolaires peuvent accueillir 800 élèves de 1\textsuperscript{ère} ES,
quel doit  être le  prix de vente  minimum d'un clone~?  Est-ce que  le ministère peut  proposer des
tarifs dégressifs aux chefs d'établissement~? 


Comment expliquer le changement observé aux alentours de 300 unités produites~?


Le ministre  syldave de l'économie ayant  toujours dormi en cours  de maths ne sait  calculer que le
coût moyen et ignore le coût marginal. Quel prix minimum propose-til au ministre de l'éducation pour
l'achat du 800\textsuperscript{ème} clone~? Aurait-il dû être plus attentif en cours de maths~?



Voici maintenant une représentation graphique du coût marginal et du coût moyen


\begin{center}
  \includegraphics{repere.5}
\end{center}

Que pensez-vous de la propriété suivante issue du cours de micro-économie~:

\begin{Pro}
  Le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal
\end{Pro}

Notons $C_M$ la fonction coût moyen et $C_m$ la fonction coût marginal.

Vous  commencerez par  vérifier  ce résultat  sur le  graphique,  puis pour  la démonstration,  vous
prouverez d'abord que 

\[ C_M'(x)=\fr{1}{x}\left(C'(x)-C_M(x)\right)\]

Que peut-on en conclure~?



\section{Coût marginal et dérivée du coût total}

Rappeler la définition du nombre dérivé d'une fonction $f$ en $x$. 

Expliquez alors pourquoi $C(x+1)-C(x)$ \og ressemble\fg tellement à $C'(x)$ dans certains cas.


\end{document}
%%% Local Variables: 
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%%% TeX-master: t
%%% End: 
