\documentclass[xcolor=hyperref,hyperef={naturalnames,pdfpagelabels},french,envcountsect
]{beamer}
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% \usepackage{cclicence}


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\newcommand\xc{\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
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}


% \newcommand\caml{
% \lstset{numbers=none,language=Caml,xleftmargin=10pt,%
% keywordstyle =\color{blue!40}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily\color{white},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{black!90!blue},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt,showstringspaces=false,stringstyle=\slshape,captionpos=b}
% }
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{
  \usetheme[secheader]{Madrid}
  % or ...Warsaw

  \setbeamercovered{highly dynamic}
  % or whatever (possibly just delete it)
}
\usepackage{elephantbird}



\begin{document}


\title[] % (optional, use only with long paper titles)
{Complexes Part Ouane}

\subtitle{ }

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN  }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{ Lycée Jean Perrin}% (optional, but mostly needed)

%\logo{\includegraphics[scale=0.15]{big_connan}}

\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{\today}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{ }


\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}

\AtBeginSubsubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}




\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}





\AtBeginSection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}







\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Sommaire}
{\scriptsize
\begin{multicols}{2} 
 \tableofcontents
\end{multicols}
}

 
 \end{frame}



\section{Approche historique}


\subsection{Les équations du second degré}

\subsubsection{Paraboles et hyperboles}

\begin{frame}
  \begin{eqnarray*}
(E)&\Leftrightarrow& x(x^2+a)=b\\
(E)&\Leftrightarrow& x^2+a=\frac{b}{x} \quad \text { ou } \quad x=0
\end{eqnarray*}

\end{frame}



\subsection{La Renaissance italienne}



\subsubsection{Un saut dans l'espace-temps: combien l'équation x\up{3}+px+q=0 a-t-elle
 de solutions dans  R~?}


\begin{frame}
  
$f~:~x\mapsto x^3+px+q$

\pause

 \begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $-a$ & &$a$&  &$+\infty$\\
\hline
Signe $f'(x)$ & &$+$ &0 &$-$&0 &$+$ & \\
\hline
 & & &$f(-a)$ & & & &$+\infty$\\
$f(x)$& &\croi& &\dec&   & \croi & \\
 &$-\infty$ & & & &$f(a)$ & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}
   Montrez que $f(a)=q-2a^3$ et  $f(-a)=q+2a^3$ en utilisant le fait que
 $f(a)=0$. 

\pause

Que vaut $f(a)\cdot f(-a)=$?

\pause

Pourquoi a-t-on $f(a)<f(-a)$?

\pause

Entamez alors la discussion en distinguant trois cas (\textit{ Si $f(a)$ et $f(-a)$ sont tous deux de même signe, c'est à dire si
  $f(a)\cdot f(-a)>0$ soit encore si $4p^3+27q^2>0$ 
alors $f$ ne s'annule qu'une seule fois et...})

\end{frame}


\subsubsection{Résolvons ces équations}


\begin{frame}
  $$\sqrt[3]{\fr{-q}{2}+\sqrt{\fr{q^2}{4}+\fr{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\fr{-q}{2}-\sqrt{\fr{q^2}{4}+\fr{p^3}{27}}}$$ 


\pause
 $(E_1)~:\
x^3-36x-91=0$ 


\pause

$(E_2)~:~x^3-15x-4=0$


\pause


Calculez $\pa{2+\sqrt{-1}}^3$ et $\pa{2-\sqrt{-1}}^3$ 

\end{frame}


\subsection{\textsc{Descartes} et les imaginaires}

\begin{frame}
  \begin{quote}
  \textit{Au reste tant les vrayes racines  que les fausses ne sont pas toujours
  réelles, mais quelquefois seulement \textbf{imaginaires}; c'est-à-dire
  qu'on peut  bien toujours  en imaginer autant  que j'ay dit  en chaque
  équation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde
  à celle  qu'on imagine;  comme encore qu'on  puisse imaginer  trois eb
  celle-ci $x^3-6xx+13x-10=0$,  il n'y en a toutefois  qu'une réelle qui
  est 2;  et pour les  autres, quoy qu'on  les augmente, ou  diminuë, ou
  multiplie en  la façon  que je viens  d'expliquer, on ne  sçauroit les
  rendre autres qu'imaginaires.}
\end{quote}
\end{frame}




\subsection{Une notation malheureuse}



\begin{frame}
  \begin{itemize}
\item Vous avez de même établi que $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$.
Sauriez-vous le démontrer en utilisant la définition rappelée ci-dessus?

\item Si l'on  généralise cette dernière règle à tous  les réels, à quoi
  devrait être égal:
  \begin{itemize}
  \item[$\triangleright$] $\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}$?
  \item[$\triangleright$] $\left(\sqrt{-1}\right)^2$?
\end{itemize}  
\item Qu'en pensez-vous?
  \item Calculez de même $\sqrt{-2}\cdot \sqrt{-3}$ de deux manières différentes.
  
\end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
   À l'aide de cette  notation, écrivez le plus simplement possible
  les nombres qui ont pour carré $-25$; $-2$; ${- \sqrt{3}}$
\end{frame}





\subsection{Une représentation géométrique des nombres}


\subsubsection{Les Français rationnels}

\begin{frame}
   Considérez un triangle EIA quelconque  et soit K le projeté orthogonal
  de E sur [IA].
Montrez que $$KA\times KI=KE^2$$
\end{frame}


\subsubsection{Somme des nombres imaginaires}




\begin{frame}[fragile]
  
\begin{quote}
  {\itshape
L'addition  de deux  segments se  fait de  la manière  suivante:  on les
combine en faisant partir l'un d'un point où l'autre se termine; puis on
joint par un nouveau segments les deux bouts de la ligne brisée ainsi obtenue.
}
\end{quote}

\end{frame}


\subsubsection{Produit de nombres imaginaires}



\begin{frame}
 \begin{multicols}{2}
    \begin{itemize}
\item $(+1)\cdot(+1)=+1$, 
\item  $(+1)\cdot(-1)=-1$,
\item $(-1)\cdot(-1)=+1$,
\item
$(+1)\cdot(+\epsilon)=+\epsilon$
\item 
$(+1)\cdot(-\epsilon)=-\epsilon$\item        $(-1)\cdot(+\epsilon)=-\epsilon$\item 
$(-1)\cdot(-\epsilon)=+\epsilon$\item 
$(+\epsilon)\cdot(+\epsilon)=+\epsilon$\item 
$(+\epsilon)\cdot(-\epsilon)=+1$\item  $(-\epsilon)\cdot(-\epsilon)=-1$.
  \end{itemize}
  \end{multicols}
\end{frame}





\begin{frame}
   \begin{multicols}{2}
    \begin{itemize}
    \item $z_1~:~\left[2,\frac{\pi}{2}\right]$ 
     \item $z_2~:~\left[2,\frac{4\pi}{3}\right]$ 
     \item $z_3~:~\left[\frac{3}{2},-\frac{\pi}{4}\right]$
     \item $z_4~:~\left[\frac{2}{3},\frac{\pi}{4}\right]$
     \item $z_5~:~\left[2,\frac{\pi}{2}\right]$ 
     \item $z_6~:~\left[1,\frac{\pi}{2}\right]$
     \item $z_7~:~\left[2,\frac{3\pi}{2}\right]$
    \item $z_8~:~\left[1,\frac{5\pi}{2}\right]$
     \item $z_9~:~\left[\frac{2}{3},\pi\right]$ 
     \item $z_{10}~:~\left[\frac{3}{2},2\pi\right]$    
    \end{itemize}
  \end{multicols}

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item $(E_1)~:~\left[\frac{3}{2},-\frac{\pi}{4}\right]\cdot
z=\left[3,\frac{\pi}{12}\right]$
\item $(E_2)~:~\left[2,\frac{\pi}{3}\right]\cdot
z=\left[1,\frac{\pi}{6}\right]$
  \end{itemize}
\end{frame}


\begin{frame}
  
Écrivez    la   suite   des    puissances   entières    successives   de
$\left[1,-\frac{\pi}{3}\right]$.

\pause

Faites de même avec $\left[r,\theta\right]$.
\end{frame}




\subsection{\textsc{Gauss}: clair et génial}



\begin{frame}
   \begin{multicols}{2}
    \begin{itemize}
\item $(3+5\I)+(9-2\I)$ 
\item $(3-4\I)-(-1+\I)$ 
\item $(a+b\I)+(c+d\I)$ 
\item $4(2+7\I)$ 
\item $(4+3\I)(2+\I)$
\item $(-2-\I)(3+2\I)$ 
\item $(a+b\I)(c+d\I)$ 
\item $(a+\I b)^2$ 
\item $(a+\I b)(a-\I b)$
 \end{itemize}
  \end{multicols}
\end{frame}

\begin{frame}
  Dans  le   plan  muni  d'un   repère  orthonormal,  placez   les  points
correspondant à:


\begin{multicols}{2}
    \begin{itemize}
    \item $1$ \item $\I$ \item $-\I$ \item $2-\I$ \item $1+\I$ \item $3-2\I$ \item $\frac{1+\I \sqrt{3}}{2}$
    \end{itemize}
  
\end{multicols}
\end{frame}


\section{Approche \og moderne\fg{}}

\begin{frame}
\begin{center}
\includegraphics{/home/moi/Lycee/TS/figures/limfonc.33}
\end{center}
\end{frame}


\subsection{Cinéma}


Un  magnifique film  résume  nos  premières aventures.  Il  se trouve  à
l'adresse suivante:
\begin{center}
  \href{http://www.dimensions-math.org/Dim\_reg\_F.htm}{\beamergotobutton{Le Film}}
\end{center}


\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: t
%%% End: 
