\documentclass[12pt,fourier,a4paper]{polymaths}

\entete{BAC GRIS FONCÉ }{20 mai 2006}{ T$^{\text{ale}}$ S6 }

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% \renewcommand{\ve}[1]{\mathchoice%
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% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
% 
% \def\Oij{$\left(\text{O},~\ve{\imath},~\ve{\jmath}\right)$}
% \def\Oijk{$\left(\text{O},~\ve{\imath},~ \ve{\jmath},~ \ve{k}\right)$}
% \def\Ouv{$\left(\text{O},~\ve{u},~\ve{v}\right)$}
% \makeatletter%graduations d\'ecimales
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\begin{document}

\thispagestyle{empty} 

\begin{center} { \LARGE \textbf{\gray \decofourleft~ Baccalaur\'eat gris foncé   \decofourright\\ CORRIGÉ }}
\end{center}



\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 1} \hfill 4 points}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Il s'agit d'un schéma de Bernoulli : 10 épreuves identiques, indépendantes et à deux issues (avoir ou ne pas avoir de bosse sur la photo).
      
      Il y a 5 lamas sur les 30 animaux : la probabilité de ne pas avoir de bosse sur sa photo est donc de $\fr{5}{30}=\fr{1}{6}$.\\
      La variable X suit donc la loi binomiale $\BR\pa{10,\ofr{1}{6}}$.\\
      La probabilité cherchée vaut donc 
      \[\bbp(X=2)=\binom{10}{2}\pa{\fr{1}{6}}^2\pa{\fr{5}{6}}^{10-2}=\fr{1953125}{6718464}\simeq0,29 \] 
      \item $\ds\bbp(X\se2)=1-\pa{\bbp(X=0)+\bbp(X=1)}=1-\pa{\pa{\fr{5}{10}}^{10}+\binom{10}{1}\pa{\fr{1}{6}}^1\pa{\fr{5}{6}}^{10-1}}=\fr{10389767}{20155392}\simeq0,52$
      \item $\bbe(X)=n\times p=10\times\fr{1}{6}\simeq1,67\qquad \bbv(X)=n\times p\times(1-p)=\fr{25}{18}\simeq 1,39$
      \end{enumerate}


\item La variable prend toutes les valeurs entières de 0 à 6.

Il y a $\binom{30}{3}$ possibilités de prendre 3 animaux en photos parmi les 30. On obtient donc successivement

$\bbp(Y=6)=\fr{\binom{15}{3}}{\binom{30}{3}}=\fr{13}{116}\qquad \bbp(Y=5)=\fr{\binom{15}{2}\times\binom{10}{1}}{\binom{30}{3}}=\fr{15}{58}\qquad \bbp(Y=4)=\fr{\binom{15}{2}\times\binom{5}{1}+\binom{15}{1}\times\binom{10}{2} }{\binom{30}{3}}=\fr{60}{203}$

$\bbp(Y=3)=\fr{\binom{15}{1}\times\binom{10}{1}\times \binom{5}{1}+\binom{10}{3} }{\binom{30}{3}}=\fr{3}{14}\qquad \bbp(Y=2)=\fr{\binom{15}{1}\times\binom{5}{2}+\binom{10}{2}\times\binom{5}{1} }{\binom{30}{3}}=\fr{75}{812}\qquad \bbp(Y=1)=\fr{\binom{10}{1}\times\binom{5}{2}}{\binom{30}{3}}=\fr{5}{203}$

$\bbp(Y=0)=\fr{\binom{5}{3}}{\binom{30}{3}}=\fr{1}{406} $


On obtient $\bbe(Y)=4$ et $\bbv(Y)=\fr{45}{29}$
\end{enumerate}






\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2} (non sp\'ecialistes)}

\begin{enumerate}
\item $z_{0} = 2,~z_{1} = 1 + \text{i},~z_{2} = \text{i},~z_{3} = -\fr{1}{2} + \fr{\text{i}}{2},~z_{4} = - \fr{1}{2} \in \R$.

\bigskip

\psset{unit=2cm}\begin{pspicture}(-2,-1)(2,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2](0,0)(-2,-1)(2,1)
\psaxes[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(-2.2,-1.2)(2.2,1.2)
\uput[d](0.5,0){$\ve{u}$} \uput[l](0,0.5){$\ve{v}$}
\uput[dl](0,0){O} 
\psdots(2,0)  (1, 1) (0, 1) (-0.5, 0.5) (-0.5, 0)
\uput[dr](2,0){$z_{0}$} \uput[dr](1, 1){$z_{1}$} \uput[dr](-0.5, 0.5){$z_{3}$} 
\uput[dr](0, 1){$z_{2}$} \uput[dr](-0.5, 0){$z_{4}$} 
\end{pspicture}

\bigskip

\item On a $u_{n+1} = \left|z_{n+1}\right| = \left|\fr{1 +\text{i}}{2}z_{n}\right| = \left|\fr{1 +\text{i}}{2}\right| \times \left|z_{n}\right| = \fr{1}{\sqrt{2}}u_{n}$.\\
L'\'egalit\'e $u_{n+1} =  \fr{1}{\sqrt{2}}u_{n}$ montre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite g\'eom\'etrique de raison $\fr{1}{\sqrt{2}}$. On a $u_{0} = \left|z_{0}\right| = |2| = 2$. On sait que $u_{n} = u_{0} \times \left(\fr{1}{\sqrt{2}}\right)^n$. Finalement:
\[u_{n} = 2 \left(\fr{1}{\sqrt{2}}\right)^n.\]
\item On a O$A_{n} = \left|z_{n}\right| = u_{n}$, donc $A_{n}$ appartient au disque (ferm\'e) decentre O et de rayon 0,1 si et seulement si  

\[u_{n} \leqslant 0,1 \iff 2 \left(\fr{1}{\sqrt{2}}\right)^n \leqslant 0,1 \iff 20 \leqslant \left(\sqrt{2}\right)^n \iff 20 \leqslant 2^{\frac{n}{2}}  \iff \fr{n}{2}\ln 2  \geqslant \ln 20 \iff n \geqslant \fr{2 \ln 20}{\ln 2} \approx 8,6\] 
La condition sera donc r\'ealis\'ee la premi\`ere fois par $u_{9}$. On a donc $n_{0} = 9$.\\
La calculatrice livre $u_{8} = 0,125$ et$u_{9} \approx 0,084 < 0,1$. 
\item \begin{enumerate}
\item Pour tout naturel $n,~u_{n} \neq 0$ donc $z_{n} \neq 0$. On peut donc \'ecrire $$\fr{z_{n+1} - z_{n}}{z_{n+1}} = \fr{\fr{1 +\text{i} }{2}z_{n} - z_{n}}{\fr{1 +\text{i} }{2}z_{n}} = \fr{1 + \text{i} - 2}{1 +  \text{i}} = \fr{-1 +  \text{i}}{1 +  \text{i}} = \fr{ \text{i}(1 +  \text{i})}{1 +  \text{i}} =  \text{i}$$.\\
L'interpr\'etation  g\'eom\'etrique de cette \'egalit\'e est :
\begin{itemize}
\item  $\left(\ve{\text{O}A_{n+1}},~\ve{A_{n}A_{n+1}}\right) = + \fr{\pi}{2}$. Conclusion : pour tout naturel $n$ le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
\item En modules l'\'egalit\'e donne  $\fr{A_{n}A_{n+1}}{\text{O}A_{n + 1 }} = 1 \iff A_{n}A_{n+1} = \text{O}A_{n + 1}$.

 Conclusion le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est isoc\`ele en $A_{n+1}$.\\
Finalement pour tout naturel $n$, le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle isoc\`ele en $A_{n+1}$, comme on peut le voir  sur les quatre premiers triangles de la figure ci-dessus.
  \end{itemize} 
\item Comme les triangles sont isoc\`eles  $\ell_{n} = A_{0}A_{1}+ A_{1}A_{2} +\ldots +  A_{n-1}A_{n} = \text{O}A_{1} + \text{O}A_{2} + \cdots + \text{O}A_{n} = u_{1} + u_{2} + \cdots+ u_{n}$.\\
Cette somme est la somme de $n$ premiers termes d'une suite g\'eom\'etrique de premier terme $u_{1} = \sqrt{2}$ et de raison $\fr{1}{\sqrt{2}}$.\\
 On a donc  $\ell_{n} = \sqrt{2}\fr{1 - \fr{1}{\sqrt{2}^n}}{1 - \fr{1}{\sqrt{2}}} = \fr{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}^n - 1\right)}{\sqrt{2}^{n-1}(\sqrt{2}- 1)}$.\\
Comme$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \fr{\sqrt{2}^n - 1}{\sqrt{2}^{n-1}} = \sqrt{2}$, on a 
\[\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \ell_{n} = \fr{2}{\sqrt{2} - 1}.\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 2} (sp\'ecialit\'e)}

\begin{enumerate}
\item La transformation $f$est de la forme $z' = az + b$ avec $a\in \C,~b \in \C$ : c'est donc une similitude.\\
Cherchons son centre $\Omega$  invariant par $f$ :\\
$z_{\Omega} = \left(\fr{1}{2} + \fr{1}{2}\text{i}\right)z_{\Omega} + 1 \iff  z_{\Omega} \left(\fr{1}{2} - \fr{1}{2}\text{i}\right) = 1 \iff z_{\Omega}(1 - \text{i}) = 2 \iff z_{\Omega} = \fr{2}{1 - \text{i}} = 1 + \text{i}$.\\
Le centre de la similitude est donc $\Omega$ d'affixe $1 + \text{i}$.\\
Les deux \'egalit\'es  $z' = \left(\fr{1}{2} + \fr{1}{2}\text{i}\right)z+1$ et $1 + \text{i} = \left(\fr{1}{2} + \fr{1}{2}\text{i}\right)(1 + \text{i} ) + 1$ entra\^{\i}nent par diff\'erence :\\
$z' - (1 + \text{i} ) = \left(\fr{1}{2} + \fr{1}{2}\text{i}\right)[z - (1 + \text{i})]$.\\
Or $\left|\fr{1}{2} + \fr{1}{2}\text{i}\right| = \fr{1}{\sqrt{2}}$.
 Donc $\fr{1}{2} + \fr{1}{2}\text{i} = \fr{1}{\sqrt{2}} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
 L'\'ecriture de la similitude est donc finalement :
 \boldmath\[ z' - (1 + \text{i}) = \fr{1}{\sqrt{2}} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4} }[z - (1 + \text{i})].\]\unboldmath
On reconna\^{\i}t la compos\'ee  (dans n'importe quel ordre)
\begin{itemize}
\item d'une rotation de centre $\Omega$ et d'angle$\fr{\pi}{4}$ ;
\item d'une homoth\'etie de centre $\Omega$ et de rapport $\fr{1}{\sqrt{2}}$.
\end{itemize}
\item  \begin{enumerate}
\item Les affixes sont respectivement : $0~;~1~;~\fr{3}{2}+\fr{1}{2}\text{i}~;~\fr{3}{2} + \text{i}$.
\item On a $u_{n} = \Omega A_{n} = \left|z_{n} -  z_{\Omega}\right|$.\\
Or d'apr\`es la question 1., $z_{n+1} - z_{\Omega} =  \fr{1}{\sqrt{2}} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\left[z_{n} - z_{\Omega}\right]$, soit en prenant les modules :\\
$\left| z_{n+1} - z_{\Omega}\right| = \left| \fr{1}{\sqrt{2}} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\left[z_{n} - z_{\Omega}\right]  \right| = \left|\fr{1}{\sqrt{2}} \right| \times\left|\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \right| \times\left|z_{n} - z_{\Omega} \right| = \fr{1}{\sqrt{2}} \times 1\times  \left|z_{n} - z_{\Omega} \right|$, ou encore $u_{n+1} =  \fr{1}{\sqrt{2}} u_{n}$, \'egalit\'e qui montre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite g\'eom\'etrique de raison $\fr{1}{\sqrt{2}}$, de premier terme $u_{0} = \Omega A_{0} = \Omega \text{O} = \sqrt{2}$ (diagonale d'un carr\'e de c\^ot\'e 1). \\
Il en r\'esulte que$u_{n} = \sqrt{2} \left(\fr{1}{\sqrt{2}}\right)^n$.
\item  D'apr\`es l'expression de $u_{n}$, tous les termes de la suite sont non nuls et $\fr{u_{n+1}}{u_{n}}= \fr{\sqrt{2}}{2} < 1$ : la suite est donc d\'ecroissante.\\
Donc s'il existe $n_{0}$ tel que $u_{n_{0}} < 0,1$, tous les termes successifs v\'erifieront aussi cette in\'egalit\'e.\\
Or $u_{n_{0}} < 0,1 \iff \sqrt{2} \left(\fr{1}{\sqrt{2}}\right)^{n_{0}} < 0,1 \iff \left(\fr{1}{\sqrt{2}}\right)^{n_{0}-1} < 0,1$, d'o\`u d'apr\`es la croissance de la fonction logarithme n\'ep\'erien, $-(n_{0} - 1)\ln \sqrt{2} < - \ln 10 \iff \ln 10 < (n_{0} - 1)\ln \sqrt{2} \iff \fr{\ln 10}{\ln \sqrt{2}} < n_{0} - 1 \iff n_{0} > 1 + \fr{\ln 10}{\ln \sqrt{2}} \approx 7,6$.\\
Conclusion : le premier point  appartenant au disque de centre  $\Omega$ et de rayon 0,1 est le point $A_{8}$.
 \end{enumerate}
 \item   \begin{enumerate}
\item Le triangle $\Omega A_{0}A_{1}$ est clairement rectangle isoc\`ele en $A_{1}$.\\
D\'emontrons par r\'ecurrence que le triangle $\Omega A_{n}A_{n+1}$ est rectangle isoc\`ele en $A_{n+1}$ :
\begin{itemize}
\item La propri\'et\'e  est initialis\'ee  pour $n = 0$.
\item Supposons que le triangle $\Omega A_{n-1}A_{n}$ soit rectangle isoc\`ele en $A_{n}$. Or le triangle $\Omega A_{n}A_{n+1}$ est tout simplement l'image par la simitude du triangle $\Omega A_{n-1}A_{n}$ : il est donc de m\^eme nature, soit rectangle isoc\`ele en $A_{n+1}$.\\
La d\'emonstration par r\'ecurrence est achev\'ee.
\end{itemize}
\item D'apr\`es la question pr\'ec\'edente $\ell_{n} = A_{0}A_{1} + \cdots+ A_{n-1}A_{n} = \Omega A_{1} + \Omega A_{2} + \cdots+ \Omega A_{n} = u_{1} + u_{2} + \cdots+ u_{n}$, soit la somme des $n$ premiers termes (exception faite de $u_{0}$) de la suite g\'eom\'etrique vue ci-dessus.\\
On a donc $\ell_{n} = 1 \times\fr{\left(\fr{1}{\sqrt{2}\right)^n-1} }{\fr{1}{\sqrt{2}}- 1}$.\\
Comme $\fr{1}{\sqrt{2}}<1,~\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\fr{1}{\sqrt{2}}\right)^n=0$.\\
Conclusion :  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \infty_{n} = \fr{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \fr{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2}+ 1)(\sqrt{2}- 1)} =$\boldmath $ 2 + \sqrt{2}.$ \unboldmath 
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}



\newpage



\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 3}}

\medskip

\noindent \textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item $M(x~;~y~; ~z) \in \Delta \iff \text{il existe}~\lambda \in \R~\text{tel que}~\ve{IM} = \lambda \ve{n}$, car on sait que $\ve{n}$ est un vecteur normal au plan $P$. On a donc 
\[ \left\{\begin{array}{l c l}
x - x_{1}&=&\lambda a\\
y - y_{1}&=&\lambda b\\
z - z_{1}&=& \lambda c\\
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&x_{1} + \lambda a\\
y  &=& y_{1} + \lambda b\\
z  &=& z_{1} + \lambda c\\
\end{array}\right.\]
qui est une \'equation param\'etrique  de la droite $\Delta$.
\item D'apr\`es la question 1, $H$ est un point de $\Delta$, il v\'erifie donc lui aussi la relation de colin\'earit\'e :
\[ \ve{IH} = k \ve{n},~\text{avec}~k \in \R.\]
\item On a donc $\left\{\begin{array}{l c l}
x_{H} &=&x_{1} +  k a\\
y_{H}  &=& y_{1} +k b\\
z_{H}  &=& z_{1} +k c\\
\end{array}\right.$ mais comme $H$ appartient au plan $P$, ses coordonn\'ees v\'erifient l'\'equation du plan soit $a(x_{1}k +  a) + b(y_{1} +k b) + c(z_{1} +k c) + d = 0 \iff k\left(a^2 + b^2 + c^2\right) + ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d = 0\iff k = - \fr{ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d}{a^2 + b^2 + c^2}$ (car $a,~b$ et $c$ ne sont pas simultan\'ement nuls).
\item La relation vectorielle $\ve{IH} = k \ve{n}$ entra\^{\i}ne l'\'egalit\'e des normes :
\[IH = |k|\left\|\ve{n}\right\| =  \fr{\left|ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d\right|}{a^2 + b^2 + c^2} \times\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \fr{\left|ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\].
\end{enumerate}


\medskip

\noindent \textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item On applique la partie A  avec $I = \Omega$ et $H$ point commun au plan $\mathcal{Q}$ et au plan  $P$, le rayon de la sp\`ere est donc \\
$IH = \Omega H = \fr{|1 \times 1 - 1 \times (- 1) + 1\times 3 - 11|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \fr{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.
\item Un syst\`eme d'\'equations param\'etriques de la droite $\Delta$ est :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1 + \lambda \\
y  &=&-1 - \lambda \\
z  &=&3 + \lambda \\
\end{array}\right.\]
\item En reportant ces coordonn\'ees dans l'\'equation de $\mathcal{Q}$ on obtient $1  +\lambda + 1 + \lambda + 3 + \lambda - 11 = 0 \iff 3\lambda - 6 = 0 \iff \lambda = 2$.
En reportant cette valeur dans  les \'equations param\'etriques de la droite $\Delta$ on obtient :\\
$x = 3~;~y = - 3~;~z = 5$. Le point commun \`a la sph\`ere et au plan a pour coordonn\'ees (3~;~- 3~;~5).
\end{enumerate}

\vspace{1cm}



\noindent \textbf{\textsc{\gray Exercice 4}}

\medskip

\noindent \textbf{Partie A}







    \been\item \textit{f} (0) = e\textsuperscript{0} =  1  et \textit{g} (0) = 0 e\textsuperscript{0} =  0 donc l'identification est immédiate.
    
   \item \textit{f} et \textit{g}
       sont paires (sans difficulté )
    
    \item \textbf{\textit{f}}\textbf{ ' (}\textbf{\textit{x}}\textbf{) = - 2 }\textbf{\textit{x}}\textbf{ } et \textit{g'} (\textit{x}) = (2 \textit{x} - 2 \textit{x}\textsuperscript{3})  = \textbf{2 }\textbf{\textit{x}}\textbf{ ( 1 - }\textbf{\textit{x}}\textbf{\textsuperscript{2}}\textbf{ ) }
       On obtient sans difficulté que \bel
    
    \item  \textbf{\textit{f}}\textbf{ strictement croissante sur $] -\infty ; 0]$ et strictement décroissante
     sur $[0 ; +\infty [$}
     \item \textbf{\textit{g}}\textbf{ strictement croissante sur $] -\infty ; -1]$ et sur [0 ; 1];   }\textbf{\textit{g}}\textbf{ strictement décroissante sur  [-1 ; 0] et sur $[1 ; +\infty [$}
\el

\sm

   \bel

\item   $\Lim[X]{-\infty}{\rm e}^X=0$  donc $\Lim{+\infty}f(x)=0$
     
\item $g(x)=\fr{1}{\frac{\E^{x^2}}{x^2}}$ or $\Lim[X]{+\infty}\fr{\E^X}{X}=+\infty$, donc $\Lim{+\infty}g(x)=0$.
\el

    \item \textit{f} (\textit{x}) - \textit{g} (\textit{x}) = ( 1 - \textit{x}\textsuperscript{2} )   	 Donc : 	 


\begin{itemize}
\item \textbf{\textit{C}}\textbf{\textit{$_{f}$}}\textbf{\textit{ }}\textbf{est en dessous de }\textbf{\textit{C}}\textbf{\textit{$_{g}$}}\textbf{\textit{ }}\textbf{lorsque }\textbf{\textit{x}}\textbf{ < 1 et lorsque }\textbf{\textit{x}}\textbf{ > 1}
\item \textbf{}\textbf{\textit{C}}\textbf{\textit{$_{f}$}}\textbf{\textit{ }}\textbf{est au-dessus de }\textbf{\textit{C}}\textbf{\textit{$_{g}$}}\textbf{\textit{ }}\textbf{lorsque }\textbf{\textit{-}}\textbf{ 1 < }\textbf{\textit{x}}\textbf{ < 1 }
    \item \textbf{\textit{ C}}\textbf{\textit{$_{f}$}}\textbf{\textit{ }}\textbf{ coupe  }\textbf{\textit{C}}\textbf{\textit{$_{g}$}}\textbf{\textit{ }}\textbf{aux points I(-1 ; e}\textbf{\textsuperscript{-1}}\textbf{ ) et J( 1 ; e}\textbf{\textsuperscript{-1}}\textbf{ )}
\end{itemize}    
\een

\textbf{Partie B}
    
\been
\item G est \textbf{la primitive de }\textbf{\textit{g}}\textbf{ qui s'annule en 0}
   

 \item Pour \textit{x} > 0 , G(\textit{x}) est \textbf{l'aire du domaine situé entre l'axe des abscisses, la courbe
     }\textbf{\textit{C}}\textbf{\textit{$_{g  }$}}\textbf{, l'axe des ordonnées et la droite verticale d'équation X = }\textbf{\textit{x}}
   

 \item G est une primitive de \textit{g} donc G' = \textit{g} ; or \textit{g} est strictement positive sur $\bbr^*$
     et nulle en 0
          donc \textbf{G est strictement croissante sur } $\bbr$

\item G' (\textit{x}) = \textit{g}(\textit{x}) et d'autre part soit $H~:~x\mapsto \ud\pa{F(x)-x\E^{-x^2}}$
\begin{eqnarray*}
H'(x)&=& \ud\pa{F'(x)-\E^{-x^2}+2x^2\E^{-x^2}}\\
     &=& \ud\pa{f(x)+(2x^2-1)\E^{-x^2}}\\
      &=& \ud\pa{2x^2\E^{-x^2}}\\
      &=& g(x)\\
      &=& G'(x)
\end{eqnarray*}
    
On a donc \textbf{G' = H'}
     donc G = H + constante
    
    Or $G(0) = 0$ et $H(0 ) =  [F(0) - 0]  = 0$ donc la constante est
     nulle et, pour tout réel \textit{x} , $G(x)=H(x)=\ud\pa{F(x)-x\E^{-x^2}}$
   

\item\been\item  $G(x)=H(x)=\ud\pa{F(x)-\fr{g(x)}{x}}$, or $\Lim{+\infty}F(x)=\ell$ et $\Lim{+\infty}g(x)=0$, donc \[ \Lim{+\infty}G(x)=\ud\ell\]

 \item \textbf{N représente l'aire comprise entre les courbes }\textbf{\textit{C}}\textbf{\textit{$_{g}$}}\textbf{  , }\textbf{\textit{C}}\textbf{\textit{$_{f}$}}\textbf{ , l'axe des abscisses et les droites d'équation }\textbf{\textit{x}}\textbf{ = 0 et }\textbf{\textit{x}}\textbf{ = 1}
   

\item cf dessin : $N + \ud I_{2} = \ell$ ;$I_{3} = \ud \ell$ et I$_{2}$ < I$_{3}$  donc $\ell - I_{2} > \ell - I_{3}$ c'est-à - dire $N > \ud\ell$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
