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%$B=\frac{z}{x}+\frac{x}{z}$
%$C=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$
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\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
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\newenvironment{qcm}
{   \renewcommand{\labelitemi}{{\setlength{\fboxrule}{.05em}\setlength{\fboxsep}{0pt}\fbox{\rule[-0.3em]{0pt}{1em}\hspace{1em}}}}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 157929116151169--
%%--Corrigé du document N° 1579256667502--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%



\begin{claim}
\item
\begin{enumerate}
\item \label{questsgn} 

\begin{itemize}
\item Si $V(x)-V(7)<0$ alors $V(x)<V(7)$, ce qui signifie que le volume d'eau
nécessaire pour recouvrir la \textquotedblleft bille x\textquotedblright\ est
inférieur au volume d'eau initiale. Dans ce cas la bille est donc totalement
immergée. 

\item Si $V(x)-V(7)=0$ alors $V(x)=V(7)$, ce qui signifie que le volume d'eau
nécessaire pour recouvrir la \textquotedblleft bille x\textquotedblright\ est
le même que le volume d'eau initiale. Dans ce cas la bille est donc à fleur
d'eau. 

\item Si $V(x)-V(7)>0$ alors $V(x)>V(7)$, ce qui signifie que le volume d'eau
nécessaire pour recouvrir la \textquotedblleft bille x\textquotedblright\ est
supérieur au volume d'eau initiale. Dans ce cas la bille sort de l'eau. 
\end{itemize}

\item
%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{% \setlength{\columnseprule}{.4pt}

%\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
% \setlength{\columnseprule}{.4pt}

\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion%
\[%
%TCIMACRO{\FRAME{ipF}{2.4241in}{3.2811in}{0in}{}{}{bille.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 2.4241in;  height 3.2811in;  depth 0in;  original-width 2.3834in;
%original-height 3.2353in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/bille.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
{\includegraphics[
height=3.2811in,
width=2.4241in
]%
{Include/bille.eps}%
}%
%EndExpansion
\]
%%%%% Le code metapost générant la figure %%%%%%%%%%%%%%%%
%  beginfig(0)
%    numeric u,h,rc,rb,pr; u:=1cm;h=6u;rc=3u;rb=2.2u;coefaxe=0.8;
%    label("",(-1cm,2h));%pour laisser de l'espace
%%Les cotés du cylindre
%    z1=(0,0);z2=(0,h);z3=(2*rc,h);z4=(2*rc,0);
%% Définition les ellipse du cylindre
%    path basinf,bassup,hautsup,hautinf,nivinf,nivsup;
%    basinf:=z1{down}..tension (2+coefaxe)..z4{up};
%    bassup:=z1{up}..tension (2+coefaxe)..z4{down};
%    nivinf:=basinf shifted (0,2*rb);
%    nivsup:=bassup shifted (0,2*rb);
%    hautinf:=basinf shifted (0,h);
%    hautsup:=bassup shifted (0,h);
%% On remplit le cylindre
%    fill (0,2*rb)--nivsup--(2*rc,2*rb)--z4--basinf--z1--cycle withcolor .9*white;
%    draw bassup  withpen pencircle scaled 1.2bp;
%%La bille
%    path bille,rayonb;
%    pair centreb,bord;centreb:=(rc,rb);bord:=(-rb* sqrt(2)/2,rb*sqrt(2)/2) shifted centreb;
%    bille:=fullcircle scaled (2*rb) shifted centreb;
%%    fill bille withcolor .8*white;
%    pair centrev;
%    for i=0.5 step -.01 until 0:
%     centrev:=point ((0.5-i)*length(centreb--bord)) of (centreb--bord);
%     fill fullcircle scaled (i*4rb) shifted centrev withcolor (0.9-i)*white;
%%    fill fullcircle scaled (i*4rb)  shifted centreb withcolor (1-i)*white;
%  endfor;
%    draw bille;
%    draw centreb withpen pencircle scaled 3bp;
%    rayonb:=centreb--(rc+rb,rb);
%    drawarrow rayonb;
%    drawarrow reverse rayonb;
%    label.top(btex $x\,$cm etex, point(0.5*length(rayonb)) of rayonb);
%    z5=(rc-rb,rb);z6=(rc+rb,rb);
%%    draw z5{down}..tension (2+coefaxe)..z6{up};
%%on dessine les ellipses
%    draw basinf withpen pencircle scaled 1.2bp;
%    draw hautsup withpen pencircle scaled 1.2bp;
%    draw nivinf withcolor 0.85*white;
%    draw nivsup withcolor 0.85*white;
%    draw hautinf withpen pencircle scaled 1.2bp;
% %et le cotés
%    draw z1--z2 withpen pencircle scaled 1.2bp;
%    draw z3--z4 withpen pencircle scaled 1.2bp;
%%label cylindre
%    pair centrec;centrec:=(rc,h);
%    path rayonc;
%    draw centrec withpen pencircle scaled 3bp;
%    rayonc:=centrec--z3;
%    drawarrow rayonc;
%    drawarrow reverse rayonc;
%    label.top(btex $10\,$cm etex, point(0.5*length(rayonc)) of rayonc);
%  endfig;
%%%%%%%% Fin du code metapost %%%%%%%%%%%%%
\begin{eqnarray*}
V(x)&=&\text{Vol cyldre($h=2x;r=10\,$cm) - Vol ``bille x''}\\
&=&\pi\times10^2\times 2x -\frac{4\pi}{3}x^3\\
&=&\frac{4\pi}{3}\left(\frac{200}{4/3}x-x^3\right)=\frac{4\pi}{3}\left(150x-x^3\right)\\
&=&\frac{4\pi}{3}P(x)\qquad\text{où }P(x)=-150x-x^3.
\end{eqnarray*}
%%%Debut_aite%%%
\begin{minipage}[c]{0cm}
\setlength{\fboxrule}{0pt}
\setlength{\fboxsep}{0pt}
\fbox{\rule{0pt}{20mm}}
\end{minipage}
%%%Fin_aite%%%
\parbox{1cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(20,2)
\put(10,1){\vector(-1,0){20}}
\end{picture}
} Une figure était la bienvenue...%
%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\item
\begin{enumerate}


\item On a $V(x)-V(7)=\frac{4\pi}{3}P(x)-\frac{4\pi}{3}P(7)=\frac{4\pi}%
{3}(P(x)-P(7))$.\newline Donc $V(x)-V(7)$ est du même signe que
$Q(x)=P(x)-P(7)$ car $\frac{4\pi}{3}>0$. 

\item $Q(7)=P(7)-P(7)=0$ donc 7 est une racine de $Q(x)$ et donc $Q(x)$ est
factorisable par $(x-7)$ : $Q(x)=(x-7)(-x^{2}-7x+101)$ (calculs laissés aux
soins du lecteur).

\item $-x^{2}-7x+101$ a pour déterminant $\Delta=49+404=453$ donc pour racines
:
\[
x_{1}=\frac{7+\sqrt{453}}{-2}=\frac{-7-\sqrt{453}}{2}<0\quad;\quad\alpha
=\frac{-7+\sqrt{453}}{2}\simeq7,14
\]
On en déduit le tableau de signe sur $\left[  0\,;\,10\right]  $ :
\[%
\begin{tabular}
[c]{c|ccc|ccc|cccc}%
$x$ & $0$ &  & \multicolumn{2}{c}{$7$} &  & \multicolumn{2}{c}{$\alpha$} &  &
\multicolumn{2}{c}{$10$}\\\hline
&  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
$x-7$ &  & $-$ & \multicolumn{2}{c}{$0$} & $+$ &  &  & $+$ &  & \\
&  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\\hline
&  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
$-x^{2}-7x+101$ &  & $+$ &  &  & $+$ & \multicolumn{2}{c}{$0$} & $-$ &  & \\
&  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\\hline
&  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
$V(x)-V(7)$ & $\neq0$ & $-$ & \multicolumn{2}{c}{$0$} & $+$ &
\multicolumn{2}{c}{$0$} & $-$ & \multicolumn{2}{c}{$\neq0$}\\
&  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\\hline
\end{tabular}
\]

\end{enumerate}



\item
\begin{itemize}


\item On a vu à la question \ref{questsgn}) que si $V(x)-V(7)<0$ alors la
\textquotedblleft bille x\textquotedblright\ est complètement immergée, or
d'après le tableau de signe précédent $V(x)-V(7)<0\Leftrightarrow x\in\left[
0\,;\,7\right[  \cup\left]  \frac{-7+\sqrt{453}}{2}\,;\,10\right]  $.\newline
Donc la bille est totalement immergée SSI $x\in\left[  0\,;\,7\right[
\cup\left]  \frac{-7+\sqrt{453}}{2}\,;\,10\right]  $. 

\item On a vu à la question \ref{questsgn}) que si $V(x)-V(7)=0$ alors la
\textquotedblleft bille x\textquotedblright\ est à fleur d'eau, or d'après le
tableau de signe précédent $V(x)-V(7)=0\Leftrightarrow x=7$ ou $x=\frac
{-7+\sqrt{453}}{2}$.\newline Donc la bille est à fleur d'eau SSI $x=7$
(évidement) ou $x=\frac{-7+\sqrt{453}}{2}$.\newline

\item On a vu à la question \ref{questsgn}) que si $V(x)-V(7)>0$ alors la
\textquotedblleft bille x\textquotedblright\ dépasse de la surface de l'eau,
or d'après le tableau de signe précédent $V(x)-V(7)>0\Leftrightarrow
x\in\left]  7\,;\,\frac{-7+\sqrt{453}}{2}\right[  $.\newline Donc la bille
sort de l'eau SSI $x\in\left]  7\,;\,\frac{-7+\sqrt{453}}{2}\right[  $. 
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{claim}


\end{document}