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\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
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\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}


%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%% Fin de mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%


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\begin{itemize}
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\begin{document}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 15560601012209--
%%--Corrigé du document N° 1550526728645--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%

\Etablissement{Correction du devoir N$^o$7}
\Discipline{\small{Mathématique}}
\Titre{Correction du devoir N$^o$7}
\Classe{\small{Première SSI1}}
\Date{Le 6 décembre 2004}
\Duree{}
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\thispagestyle{avecEntete}
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%EndExpansion
% Modif des puces
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\renewcommand{\labelitemii}{$\odot$}
% Fin modif puces

\label{ForcePass2}
\quad
\begin{claim}
  \begin{enumerate}
  \item $x^2+x-12=0$ a pour discriminant $\Delta=1+48=49=7^2$\\
    d'où $\mathcal{S}=\left\{\dfrac{-1+7}{2}\,;\,\dfrac{-1-7}{2}\right\}=\left\{3\,;\,-4\right\}$
  \item Soit $P(x)=x^3-13x+12$ un polynôme du \textbf{troisième} degré pour lequel on ne connaît pas de méthode de recherche des racines.\\
    On remarque cependant que $P(1)=0$ et donc que $P(x)$ se factorise par $(x-1)$.
    Par la méthode d'identification terme à terme ou par division on obtient $P(x)=(x-1)(x^2+x-12)$.\\
    D'où $P(x)=0$ a pour solutions $\mathcal{S}=\left\{1\,;\,3\,;\,-4\right\}$.
  \item $x^2-2\sqrt{3}x+3=0$ a pour discriminant $\Delta=12-12=0$\\
    d'où $\mathcal{S}=\left\{2\sqrt{3}/2\right\}=\left\{\sqrt{3}\right\}$.
  \item $\dfrac{x-1}{x+3}=x$ existe SSI $x\neq-3$ et :
    $$\dfrac{x-1}{x+3}=x\Leftrightarrow x(x+3)=x-1\Leftrightarrow
    x^2+2x+1=0\Leftrightarrow (x+1)^2=0$$
    D'où $\mathcal{S}=\{-1\}$.
  \item Soit (E) l'équation : $2\sin^2x+3\sin x +1=0$.\\
    On effectue le changement de variable $X=\sin x$, l'équation (E)
    devient (E') : $2X^2+3X+1=0$.\\
    (E') a pour discriminant $\Delta=9-4\times 2=1$ d'où : \\
    $$\text{(E') } \Leftrightarrow X=\dfrac{-3+1}{2}=-1\quad\text{ou}\quad X=\dfrac{-3-1}{2}=-\dfrac{1}{2}$$
    On en déduit que :
    \begin{eqnarray*}
      \text{(E) }&\Leftrightarrow& \sin x=-1\quad\text{ou}\quad \sin x=-\frac{1}{2}\\
                &\Leftrightarrow & x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\pi-(-\frac{\pi}{6})+2k\pi\qquad \left(k\in\mathbb{Z}\right)\\
                &\Leftrightarrow & x=\frac{3\pi}{2}\quad\text{ou}\quad x=\frac{11\pi}{6}\quad\text{ou}\quad x=\frac{7\pi}{6}\qquad \text{dans }\left[0\,;\,2\pi\right[.
    \end{eqnarray*}
    $$\text{D'où }\mathcal{S}=\left\{\frac{3\pi}{2}\,;\,\frac{11\pi}{6}\,;\,\frac{7\pi}{6}\right\}.$$
  \end{enumerate}
\end{claim}


\begin{claim}
  \begin{enumerate}
  \item On a vu que le polynôme $P(x)=x^2+x-12$ a pour racines 3 et -4, donc $P(x)$ est du signe de $a=1$ sur $\left]-\infty\,;\,-4\right]\cup\left[3\,;\,+\infty\right[$.
    $$\text{D'où }\mathcal{S}=\left]-\infty\,;\,-4\right]\cup\left[3\,;\,+\infty\right[.$$
  \item Soit $P(x)=x^2+x-12$ et $Q(x)=-x^2+6x-8$. On connaît déjà le signe de $P(x)$, étudions celui de $Q(x)$ :\\
    $Q(x)$ a pour discriminant $\Delta=36-32=4=2^2$ donc pour racines $\frac{-6+2}{-2}=2$ et $\frac{-6-2}{-2}=4$.\\
    Ainsi $Q(x)\leq0\Leftrightarrow x\in\left[2\,;\,4\right]$.\\
    Pour déterminer le signe de $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ on consigne les résultats dans un tableau de signe :\\
$$\begin{tabular}
[c]{c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc}%
$x$ & $-\infty$ &  & \multicolumn{2}{c}{$-4$} &  & \multicolumn{2}{c}{$2$} &  & \multicolumn{2}{c}{$3$} &  &  \multicolumn{2}{c}{$4$} &  &$+\infty$\\\hline
& & & & & & & & & & & & & & \\
$P(x)$ &  & $+$ & \multicolumn{2}{c}{$0$}  & $-$ & & & $-$ & \multicolumn{2}{c}{$0$} &$+$& & &$+$ \\
& & & & & & & & & & & & & & \\\hline
& & & & & & & & & & & & & & \\
$Q(x)$ &  & $-$ & & & $-$ & \multicolumn{2}{c}{$0$} & $+$ & & &$+$& \multicolumn{2}{c}{$0$} &$-$ \\
& & & & & & & & & & & & & & \\\hline
&  &  &  &  &  & \vline &  &  & & & & \vline & & \\
$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ &  &$-$& \multicolumn{2}{c}{$0$} & $+$ & \vline& & $-$ & \multicolumn{2}{c}{$0$} &$+$ & \vline & & $-$ \\
&  &  &  &  &  & \vline &  &  & & & & \vline & & \\\hline
\end{tabular}$$

et l'on en déduit que $\mathcal{S}=\left[-4\,;\,2\right[\cup\left[3\,;\,4\right[$.
  \end{enumerate}
\end{claim}


\begin{claim}
  Soit $P(x)=x^3-9x^2+26x-24$.
  \begin{itemize}
  \item $P(2)=2^3-9\times2^2+26\times2-24=8-36+52-24=60-60=0$
  \item On en déduit que $(Px)$ se factorise par $x-2$ et, en utilisant la méthode qui a votre préférence, on obtient $P(x)=(x-2)(x^2-7x+12)$.\\
    De plus $x^2-7x+12$ a pour discriminant $\Delta=49-48=1$ et donc pour racine (7+1)/2=4 et (7-1)/2=3.
    $$\text{D'où } P(x)=(x-2)(x-3)(x-4)$$
  \end{itemize}
\end{claim}


\begin{claim}
Appelons X et Y les deux paysannes (je sais que ce n'est pas très romantique) et posons :\\
\begin{center}
  \begin{tabular}[c]{lll}
    $x$&:&le nombre d'{\oe}ufs vendu par X ;\\
    $y$&:&le nombre d'{\oe}ufs vendu par Y ;\\
    $p_x$&:&le prix de vente d'un {\oe}ufs de X ;\\
    $p_y$&:&le prix de vente d'un {\oe}ufs de Y.
  \end{tabular}
\end{center}

Traduisons l'énoncé en égalités mathématiques :\\
\begin{tabular}{lll}
  Deux paysannes ont vendu au marché, ensemble, 100 {\oe}ufs&se traduit par :&$x+y=100$;\\
  Toutes les deux ont reçu la même somme&se traduit par :&$x\times p_x=y\times p_y$;\\
  X dit à Y : \og Si j'avais eu tes {\oe}ufs j'aurais reçu 15 kreutzers\fg&se traduit par :&$y\times p_x=15$;\\
  Y dit à X : \og Si j'avais eu tes {\oe}ufs j'aurais reçu 6 kreutzers et 2/3 \fg&se traduit par :&$x\times p_y=6+\dfrac{2}{3}$.\\
\end{tabular}

D'où le système : 
$\begin{cases}
    x+y=100\Leftrightarrow y=100-x\qquad &(1)\\
    y\times p_x=15\Leftrightarrow p_x=\dfrac{15}{y}\qquad &(2)\\
    x\times p_y=6+\dfrac{2}{3}=\dfrac{20}{3}\Leftrightarrow p_y=\dfrac{20}{3x}\qquad &(3)\\
    x\times p_x=y\times p_y\qquad &(4)
\end{cases}$\vspace{3mm}\\

D'après (2), (3) et (4) on a $x\dfrac{15}{y}=y\dfrac{20}{3x}$ et donc, d'après (1), $\dfrac{15x}{100-x}=\dfrac{20(100-x)}{3x}$

Or : 
\begin{eqnarray*}
  &\quad&\dfrac{15x}{100-x}=\dfrac{20(100-x)}{3x}\\
  &\Leftrightarrow &45x^2=20(100-x)^2\qquad\text{avec $x\neq0$ et $x\neq100$}\\
  &\Leftrightarrow &25x^2+4000x-200000=0\\
  &\Leftrightarrow &x^2+160x-8000=0\\
\end{eqnarray*}
\vspace{3mm}
et $x^2+160x-8000=0$ a pour discriminant $\Delta=160^2+32000=57600=240^2$ et donc pour seule racine positive $x=\dfrac{-160+240}{2}=40$.
\vspace{1cm}

On a ainsi démontré que l'énoncé implique que $x=40$ et $y=60$ mais pour être rigoureux il faut vérifier que si $x=40$, $y=60$, $p_x=1/4$ et $p_y=1/6$ alors l'énoncé est vérifié ; ce que je laisse à la sagacité du lecteur...
\end{claim}


\end{document}
