%% This document created by Scientific Word (R) Version 3.0

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\begin{document}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13868534103019--
%%--Concours ENI session 2000--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ENI SESSION 2000\bigskip}

\bigskip{\LARGE Enonc\'{e} pour la s\'{e}rie S\bigskip}

{\Large Dur\'{e}e 2 h 30\bigskip}
\end{center}

Le sujet porte sur le programme du baccalaur\'{e}at s\'{e}rie S. Il est
constitu\'{e} de 30 exercices ind\'{e}pendants. Pour chaque question, 5
r\'{e}ponses possibles sont pr\'{e}vues. Une r\'{e}ponse et une seule est
correcte.\bigskip\ 

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :%
\[
f\left(  x\right)  =\frac{x-2}{3x+1}%
\]
Sa repr\'{e}sentation graphique est :%
%TCIMACRO{\FRAME{dtbpF}{4.6319in}{2.6714in}{0pt}{}{}{fig1.eps}%
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%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.6714in,
width=4.6319in
]%
{Include/fig1.eps}%
\end{center}
%EndExpansion

\item  Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :%
\[
f\left(  x\right)  =\ln\left(  \frac{\sqrt[4]{x^{4}-1}}{\sqrt{x^{2}+1}%
}\right)
\]
La d\'{e}riv\'{e}e de $f$ pour $x=2$ est :

\begin{enumerate}
\item $f^{\prime}\left(  2\right)  =-\frac{2}{15}$

\item $f^{\prime}\left(  2\right)  =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt[4]{15}}$

\item $f^{\prime}\left(  2\right)  =\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$

\item $f^{\prime}\left(  2\right)  =\sqrt{3}$

\item $f^{\prime}\left(  2\right)  =\frac{2}{15}$
\end{enumerate}

\item  Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par
\[
f\left(  x\right)  =\ln^{2}\left(  1-x\right)
\]
On cherche \`{a} calculer sa d\'{e}riv\'{e}e :

\begin{enumerate}
\item $f^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{2}{1-x}\ln\left(  1-x\right)  $

\item $f^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{1}{\left(  1-x\right)  ^{2}}$

\item $f^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{2}{x-1}\ln\left(  1-x\right)  $

\item $f^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{2}{x-1}$

\item $f^{\prime}\left(  x\right)  =-2\ln\left(  1-x\right)  $
\end{enumerate}

\item  On consid\`{e}re dans le plan $\mathcal{P}$ muni d'un rep\`{e}re
orthonorm\'{e}, le mouvement du point $M\left(  x\left(  t\right)  ,y\left(
t\right)  \right)  $ tel que :%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\left(  t\right)  =\dfrac{1}{\cos2t}\\
y\left(  t\right)  =\tan2t
\end{array}
\right.
\]
Les coordonn\'{e}es $\left(  x^{\prime}\left(  t\right)  ,y^{\prime}\left(
t\right)  \right)  $ du vecteur vitesse du point $M$ \`{a} l'instant
$t=\frac{\pi}{3}$ sont :

\begin{enumerate}
\item $\left(  4\sqrt{3},8\right)  $

\item $\left(  -4\sqrt{3},8\right)  $

\item $\left(  2\sqrt{3},4\right)  $

\item $\left(  \frac{4}{3},\frac{8}{3}\right)  $

\item $\left(  4\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)  $
\end{enumerate}

\item  Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\left]  -\pi,\pi\right[  $ par :%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
f\left(  x\right)  =\dfrac{x-xe^{x}}{\sin x}\text{ pour }x\neq0\\
f\left(  0\right)  =0
\end{array}
\right.
\]
En utilisant la d\'{e}finition de la d\'{e}rivabilit\'{e} de $f$ en $0,$ on
obtient :

\begin{enumerate}
\item $f^{\prime}\left(  0\right)  =-2$

\item $f^{\prime}\left(  0\right)  =-1$

\item $f^{\prime}\left(  0\right)  =0$

\item $f^{\prime}\left(  0\right)  =1$

\item $f$ n'est pas d\'{e}rivable en $0.$
\end{enumerate}

\item  Soit $a$ un r\'{e}el et soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :%
\[
f\left(  x\right)  =\left(  x+1\right)  e^{-\frac{1}{x}}%
\]
On note $\mathcal{C}$ la courbe repr\'{e}sentative de $f$ et $\mathcal{D}$ la
tangente \`{a} $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a.$ $\mathcal{D}$ coupe
l'axe des abscisses au point $M\left(  \frac{a}{3},0\right)  $ si et seulement
si :

\begin{enumerate}
\item $a=-2$ ou $a=1$

\item $a=1$

\item $a=2$ ou $a=1$

\item $a=2$

\item  Il n'y a pas de solution
\end{enumerate}

\item  Soit le syst\`{e}me :%
\[
\left(  S\right)  \;\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
10^{2x-6}.10^{3y-7}=1\\
\ln x-\ln y=\ln5
\end{array}
\right.
\]

\begin{enumerate}
\item  Le couple solution $\left(  x,y\right)  $ du syst\`{e}me v\'{e}rifie $x<y.$

\item  Le couple solution $\left(  x,y\right)  $ du syst\`{e}me v\'{e}rifie $x=y.$

\item  Le couple solution $\left(  x,y\right)  $ du syst\`{e}me v\'{e}rifie $2x-3y=7.$

\item  Le couple solution $\left(  x,y\right)  $ du syst\`{e}me v\'{e}rifie $2x-3y=-13.$

\item  Le syst\`{e}me n'admet pas de solution.
\end{enumerate}

\item  Soit l'\'{e}quation $\left(  E\right)  $ :%
\[
4\cos2x-14\cos x+9=0
\]
On cherche le nombre de solutions de $\left(  E\right)  $ appartenant \`{a}
l'intervalle $\left[  0,\pi\right]  $ :

\begin{enumerate}
\item  L'\'{e}quation n'admet pas de solution.

\item  L'\'{e}quation admet une solution.

\item  L'\'{e}quation admet deux solutions.

\item  L'\'{e}quation admet trois solutions.

\item  L'\'{e}quation admet une infinit\'{e} de solutions.
\end{enumerate}

\item  Soit l'\'{e}quation $\left(  E\right)  $ :%
\[
\cos\left(  2x-\frac{\pi}{6}\right)  =-\cos\left(  2x+\frac{\pi}{6}\right)
\]
On r\'{e}sout $\left(  E\right)  $ dans $\left[  0,2\pi\right]  $ :

\begin{enumerate}
\item $\left(  E\right)  $ n'admet pas de solution.

\item $\left(  E\right)  $ admet une solution.

\item $\left(  E\right)  $ admet deux solutions.

\item $\left(  E\right)  $ admet quatre solutions.

\item $\left(  E\right)  $ admet une infinit\'{e} de solutions.
\end{enumerate}

\item  Soit $x\in\mathbb{R}$ tel que :%
\[
\cos x=\frac{1}{3}%
\]
alors :

\begin{enumerate}
\item $\sin x=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

\item $\cos2x$ =$\frac{7}{9}.$

\item $\tan x>0$

\item $\sin2x<0$

\item $\tan^{2}x=8$
\end{enumerate}

\item  Soit un r\'{e}el $\alpha\in\left]  0,\pi\right[  .$ Dans le plan muni
d'un rep\`{e}re orthonorm\'{e}, on consid\`{e}re :

\begin{itemize}
\item  la droite $\left(  D\right)  $ d'\'{e}quation $x=2\cos\alpha.$

\item  le cercle $\left(  C\right)  $ d'\'{e}quation $\left(  x-\cos
\alpha\right)  ^{2}+y^{2}=\sin^{2}\alpha$.\newline Pour quelles valeurs de
$\alpha$ la droite $\left(  D\right)  $ coupe-t-elle le cercle $\left(
C\right)  $ ?
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item $\frac{\pi}{4}\leqslant\alpha\leqslant\frac{3\pi}{4}$

\item $0<\alpha\leqslant\frac{\pi}{4}$ et $\frac{3\pi}{4}\leqslant\alpha<\pi$

\item $\frac{\pi}{2}\leqslant\alpha\leqslant\frac{3\pi}{2}$

\item $\frac{\pi}{4}\leqslant\alpha<\pi$

\item $0<\alpha<\pi$
\end{enumerate}

\item  Les valeurs de $\theta$ pour lesquelles
\[
\left|  1-e^{i\theta}\right|  =1
\]
sont :

\begin{enumerate}
\item $\theta=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi$ \quad$k\in\mathbb{Z}$

\item $\theta=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$ \quad$k\in\mathbb{Z}$

\item $\theta=\pm\frac{\pi}{6}+2k\pi$ \quad$k\in\mathbb{Z}$

\item $\theta=\frac{\pi}{3}+2k\pi$ et $\theta=\frac{2\pi}{3}+2k\pi$ \quad
$k\in\mathbb{Z}$

\item $\theta=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ et $\theta=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ \quad
$k\in\mathbb{Z}$
\end{enumerate}

\item  Soit le complexe :%
\[
z=\left(  \sqrt{3}+i\right)  ^{n}%
\]
avec $n\in\mathbb{Z}.$ On cherche toutes les valeurs de $n$ telles que $z$
soit un imaginaire pur.

\begin{enumerate}
\item $n=3$

\item $n=3+12k$ \quad avec $k\in\mathbb{Z}$

\item $n=3+6k$ \quad avec $k\in\mathbb{Z}$

\item $n=-3+12k$ \quad avec $k\in\mathbb{Z}$

\item  Il n'existe pas d'entier relatif $n$ tel que $z$ soit un imaginaire pur.
\end{enumerate}

\item  Soit le polyn\^{o}me :%
\[
P\left(  z\right)  =z^{3}+2\left(  i-1\right)  z^{2}+4\left(  1-i\right)
z+8i
\]
Sachant que $z_{0}=-2i$ est racine de ce polyn\^{o}me, si on note $z_{1}$ et
$z_{2}$ les deux autres racines de $P,$ alors :

\begin{enumerate}
\item $z_{1}+z_{2}=-2$

\item $\left|  z_{1}\right|  \;\left|  z_{2}\right|  =16$

\item $\arg\left(  z_{1}\right)  =\frac{\pi}{6}$ $\left[  2\pi\right]  $ et
$\arg\left(  z_{2}\right)  =-\frac{\pi}{6}$ $\left[  2\pi\right]  $

\item $\arg\left(  z_{1}\right)  =\frac{\pi}{3}$ $\left[  2\pi\right]  $ et
$\arg\left(  z_{2}\right)  =\frac{4\pi}{3}$ $\left[  2\pi\right]  $

\item $\arg\left(  z_{1}\right)  =\frac{\pi}{3}$ $\left[  2\pi\right]  $ et
$\arg\left(  z_{2}\right)  =-\frac{\pi}{3}$ $\left[  2\pi\right]  $
\end{enumerate}

\item  Soit l'\'{e}quation $\left(  E\right)  $ :%
\[
z^{3}-8=0
\]
o\`{u} $z$ $\in\mathbb{C}.$ On note $z_{1},$ $z_{2}$ et $z_{3}$ les racines de
$\left(  E\right)  .$ On note $A_{1}$ le point d'affixe $z_{1},$ $A_{2}$ le
point d'affixe $z_{2}$ et $A_{3}$ le point d'affixe $z_{3}.$ Le point $A_{1}$
se trouve sur l'axe des r\'{e}els et l'ordonn\'{e}e du point $A_{2}$ est
positive. On a alors :

\begin{enumerate}
\item $z_{1}=\overline{z_{3}}$

\item $z_{1}+z_{2}+z_{3}=4$

\item  Le triangle $A_{1}A_{2}A_{3}$ est rectangle.

\item $A_{3}$ est l'image de $A_{1}$ par la rotation de centre $O$ et d'angle
$\frac{\pi}{3}.$

\item $\arg\left(  \dfrac{z_{2}-z_{3}}{z_{1}-z_{3}}\right)  =\dfrac{\pi}{3}$
$\left[  2\pi\right]  $
\end{enumerate}

\item  Soit le complexe :%
\[
Z=\left(  1-z\right)  \left(  1-iz\right)
\]
avec $z\in\mathbb{C}.$ On cherche l'ensemble $\mathcal{E}$ des points d'affixe
$z$ tels que $Z$ soit un r\'{e}el.

\begin{enumerate}
\item $\mathcal{E}$ est un cercle de centre $\left(  \frac{1}{2},-\frac{1}%
{2}\right)  .$

\item $\mathcal{E}$ est la r\'{e}union de deux droites qui se coupent au point
$\left(  \frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)  .$

\item $\mathcal{E}$ est r\'{e}duit au point $\left(  \frac{1}{2},-\frac{1}%
{2}\right)  .$

\item $\mathcal{E}$ est la droite d'\'{e}quation $y=-x.$

\item $\mathcal{E}$ est la r\'{e}union des droites $y=x$ et $y=1-x.$
\end{enumerate}

\item  Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :%
\[
f\left(  t\right)  =\frac{\sin\left(  \frac{\pi}{2}t\right)  }{t^{2}-t}%
\]
On cherche la limite de $f\left(  t\right)  $ lorsque $t$ tend vers $0.$

\begin{enumerate}
\item $\lim_{t\rightarrow0}f\left(  t\right)  =0$

\item $\lim_{t\rightarrow0}f\left(  t\right)  =-\frac{2}{\pi}$

\item $\lim_{t\rightarrow0}f\left(  t\right)  =-1$

\item $\lim_{t\rightarrow0}f\left(  t\right)  =-\frac{\pi}{2}$

\item $\lim_{t\rightarrow0}f\left(  t\right)  =-\infty$
\end{enumerate}

\item  Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :%
\[
f\left(  x\right)  =\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{x+7}-3}%
\]
On cherche la limite de $f\left(  x\right)  $ lorsque $x$ tend vers $2$ :

\begin{enumerate}
\item $f$ n'admet pas de limite quand $x$ tend vers $2.$

\item $\lim_{x\rightarrow2}f\left(  x\right)  =0$

\item $\lim_{x\rightarrow2}f\left(  x\right)  =1$

\item $\lim_{x\rightarrow2}f\left(  x\right)  =\frac{3}{2}$

\item $\lim_{x\rightarrow2}f\left(  x\right)  =3$
\end{enumerate}

\item  Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :%
\[
f\left(  x\right)  =\sqrt{\frac{x^{2}+10x-11}{x^{3}-1}}%
\]
On cherche la limite de $f\left(  x\right)  $ lorsque $x$ tend vers 1 :

\begin{enumerate}
\item $\lim_{x\rightarrow1}f\left(  x\right)  =0$

\item $\lim_{x\rightarrow1}f\left(  x\right)  =2$

\item $\lim_{x\rightarrow1}f\left(  x\right)  =2\sqrt{3}$

\item $\lim_{x\rightarrow1}f\left(  x\right)  =4$

\item $\lim_{x\rightarrow1}f\left(  x\right)  =+\infty$
\end{enumerate}

\item  Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par :%
\[
f\left(  x\right)  =ax^{4}+bx^{2}+1
\]
avec $a$ et $b$ deux r\'{e}els. On cherche \`{a} d\'{e}terminer les constantes
r\'{e}elles $a$ et $b$ sachant que :%
\[
\int_{0}^{1}f\left(  x\right)  dx=\frac{1}{4}\text{ et }f^{\prime}\left(
1\right)  =\frac{1}{2}%
\]
On a alors :

\begin{enumerate}
\item $a=\frac{25}{14}$ et $b=-\frac{93}{28}$

\item $a=\frac{25}{14}$ et $b=\frac{107}{28}$

\item $a=\frac{25}{28}$ et $b=-\frac{93}{28}$

\item $a=\frac{25}{28}$ et $b=\frac{107}{28}$

\item $a=-\frac{10}{7}$ et $b=\frac{87}{28}$
\end{enumerate}

\item  Soit
\[
I=\int_{0,25}^{1,5}\frac{dx}{\sqrt{4x+3}}%
\]
La valeur de $I$ est :

\begin{enumerate}
\item $I=-\frac{1}{6}$

\item $I=\frac{1}{12}$

\item $I=\frac{1}{2}$

\item $I=1$

\item $I=2$
\end{enumerate}

\item  On cherche \`{a} calculer l'aire $\mathcal{A}$ de la surface
hachur\'{e}e suivante :
%TCIMACRO{\FRAME{dtbpF}{2.9819in}{2.4535in}{0pt}{}{}{fig2.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
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%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.4535in,
width=2.9819in
]%
{Include/fig2.eps}%
\end{center}
%EndExpansion
avec $A\left(  3,\frac{5}{3}\right)  ,$ $B\left(  3,4\right)  ,$ $C\left(
5,1\right)  $ et
\[
y=\frac{16}{\left(  x-1\right)  ^{2}}%
\]
l'\'{e}quation de l'arc $BC.$ On a alors :

\begin{enumerate}
\item $\mathcal{A}=\frac{20}{3}$

\item $\mathcal{A}=4$

\item $\mathcal{A}=2$

\item $\mathcal{A}=\frac{4}{3}$

\item $\mathcal{A}=-\frac{20}{3}$
\end{enumerate}

\item  Soit
\[
I=\int_{1}^{2}\ln\left(  x+\sqrt{x^{2}-1}\right)  dx
\]
On calcule $I$ \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties et on obtient :

\begin{enumerate}
\item $I=2\ln\left(  2+\sqrt{3}\right)  +\frac{\sqrt{3}}{2}$

\item $I=2\ln\left(  2+\sqrt{3}\right)  -2\sqrt{3}$

\item $I=2\ln\left(  2+\sqrt{3}\right)  -\frac{\sqrt{3}}{2}$

\item $I=2\ln\left(  2+\sqrt{3}\right)  +\sqrt{3}$

\item $I=2\ln\left(  2+\sqrt{3}\right)  -\sqrt{3}$
\end{enumerate}

\item  Dans l'espace rapport\'{e} au rep\`{e}re $\left(  O;\overrightarrow
{i},\overrightarrow{j}\overrightarrow{k}\right)  ,$ on consid\`{e}re
l'\'{e}quation :%
\[
x^{2}+y^{2}=3
\]

\begin{enumerate}
\item  Il s'agit de l'\'{e}quation d'un cercle.

\item  Il s'agit de l'\'{e}quation d'une sph\`{e}re.

\item  Il s'agit de l'\'{e}quation d'une droite.

\item  Il s'agit de l'\'{e}quation d'un plan.

\item  Il s'agit de l'\'{e}quation d'un cylindre.
\end{enumerate}

\item  Dans l'espace muni d'un rep\`{e}re orthonorm\'{e}, on consid\`{e}re le
plan $\mathcal{P}_{1}$ d'\'{e}quation cart\'{e}sienne :%
\[
-4x+10y-2z+7=0
\]
et le plan $\mathcal{P}_{2}$ passant par les points
\[
A\left(  0,1,10\right)  \quad B\left(  1,0,3\right)  \quad C\left(
0,0,5\right)
\]

\begin{enumerate}
\item  Les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont perpendiculaires.

\item  Les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont confondus.

\item  Les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont strictement parall\`{e}les.

\item  L'intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ est un point.

\item  Les propositions pr\'{e}c\'{e}dentes sont toutes fausses.
\end{enumerate}

\item  Soit l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle $\left(  E\right)  $ :%
\[
y^{\prime\prime}+4y=0
\]
On note $g$ la fonction solution de $\left(  E\right)  $ telle que
\[
g\left(  \frac{\pi}{2}\right)  =-1\text{ et }g^{\prime}\left(  \frac{\pi}%
{2}\right)  =-2
\]
On cherche la valeur de $g\left(  \frac{\pi}{3}\right)  $ :

\begin{enumerate}
\item $g\left(  \frac{\pi}{3}\right)  =\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

\item $g\left(  \frac{\pi}{3}\right)  =\frac{1-\sqrt{3}}{2}$

\item $g\left(  \frac{\pi}{3}\right)  =\frac{2\sqrt{3}-1}{2}$

\item $g\left(  \frac{\pi}{3}\right)  =\frac{1}{3}\left(  2e^{\frac{5\pi}{2}%
}-e^{-\frac{\pi}{3}}\right)  $

\item $g\left(  \frac{\pi}{3}\right)  =e^{\frac{\pi}{3}}\left(  \frac
{1+e^{-\frac{13\pi}{6}}}{1-e^{\pi}}\right)  $
\end{enumerate}

\item  Une balle lach\'{e}e d'une hauteur $h$ rebondit au $\frac{8}{10}$ de
cette hauteur. La hauteur initiale est de dix m\`{e}tres. On note $d$ distance
en m\`{e}tre parcourue par la balle quand elle touche le sol pour la
$100^{i\grave{e}me}$ fois. On a alors :

\begin{enumerate}
\item $d\leqslant30$

\item $30<d\leqslant100$

\item $100<d\leqslant200$

\item $200<d\leqslant500$

\item $500<d$
\end{enumerate}

\item  Une urne contient six boules num\'{e}rot\'{e}es de $1$ \`{a} $6.$ On
effectue quatre tirages successifs avec remise de deux boules. On note $P$ la
valeur approch\'{e}e par d\'{e}faut \`{a} 0,1 pr\`{e}s de la probabilit\'{e}
d'obtenir deux fois exactement sur les quatre tirages deux boules de m\^{e}me
parit\'{e}. On a donc :

\begin{enumerate}
\item $P=0,1$

\item $P=0,2$

\item $P=0,3$

\item $P=0,4$

\item $P=0,5$
\end{enumerate}

\item  Une urne contient 13 boules noires et 2 boules rouges. On tire
simultan\'{e}ment $n$ boules de l'urne. Calculer en fonction de $n$ la
probabilit\'{e} $P$ d'obtenir au moins une boule rouge. La probabilit\'{e} $P$
est sup\'{e}rieure \`{a} $\frac{6}{7}$ si et seulement si $n$ v\'{e}rifie :

\begin{enumerate}
\item $n^{2}-29n+180\leqslant0$

\item $n^{2}-9n+18\leqslant0$

\item $n^{2}-29n+30\geqslant0$

\item $n^{2}-29n+209\leqslant0$

\item $n^{2}-29n-1260\geqslant0$
\end{enumerate}

\item  Si on augmente le rayon d'une sph\`{e}re de 10\%, alors son volume
augmente \`{a} 1\% pr\`{e}s de :

\begin{enumerate}
\item 10\%

\item 21\%

\item 27\%

\item 33\%

\item 40\%
\end{enumerate}
\end{enumerate}
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