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%\renewcommand{\labelenumiv}{\textbf{\theenumiv.}}

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{\Roman{Cprob}.}
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\theoremstyle{break}
\newtheorem{solution}[Csol]{Solution}
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\newcounter{Csum}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
}
\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}

\newcommand{\cro}{
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}
}
\newcommand{\dec}{
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
\end{picture}
}
}

\renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\;}}}
\newcommand{\vecteur}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\;}}}
\newcommand{\vi}{\vecteur{\imath}}
\newcommand{\vj}{\vecteur{\jmath}}
\newcommand{\vk}{\vecteur{k}}
\newcommand{\oij}{\ensuremath{(O;\vecteur{\imath},\vecteur{\jmath})}}
\newcommand{\oijk}{\ensuremath{\left(O;\vecteur{\imath},\vecteur{\jmath},\vecteur{k}\right)}}
\newcommand{\ouv}{\ensuremath{\left(O;\vecteur{u},\vecteur{v}\right)}}
\newcommand{\anglevec}[2]{\ensuremath{\left(\vecteur{#1};\vecteur{#2}\right)}}
\newcommand{\aire}[1]{\ensuremath{\mathcal{A}ire(#1)}}
\newcommand{\Lim}[1]{\underset{#1}{\lim }}
\newcommand{\coche}{\rule[-0.3em]{1.1em}{1.1em}}
\DeclareMathOperator{\e}{e}

%%%%%%%%%%% Fin de mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}
\newcommand{\LeTitre}{}
\newcommand{\Titre}[1]{\title{#1} \renewcommand
{\LeTitre}{#1}}
\newcommand{\LaClasse}{}
\newcommand
{\Classe}[1]{\renewcommand{\LaClasse} {#1}}
\newcommand{\LaDate}{}
\newcommand
{\Date}[1]{\author{#1}\renewcommand{\LaDate} {#1}}
\newcommand{\Duree}[1]{\date{#1}}
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\newcommand{\Ladiscipline}{}
\newcommand{\Discipline}[1]{\renewcommand{\Ladiscipline} {#1}}
\renewcommand{\thesection}
{\Alph{section}}
\renewcommand{\thesubsection}
{\thesection\arabic{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}
{\thesubsection.\arabic{subsubsection}}
\newenvironment{qcm}
{   \renewcommand{\labelitemi}{{\setlength{\fboxrule}{.05em}\setlength{\fboxsep}{0pt}\fbox{\rule[-0.3em]{0pt}{1em}\hspace{1em}}}}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}

\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13165426212125--
%%--Coordonnées polaires--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
$\left(  O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)  $ est un rep\`{e}re
orthonormal direct ; 
$A$ est le point de coordonn\'{e}es polaires $\left[
2;\dfrac{\pi}{3}\right] ; 
$ $OABC$ est le carr\'{e} tel que $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\right)  =-\dfrac{\pi}{2}.$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}derminer les coordonn\'{e}es polaires de $C$.

\item \label{cat_A_B}Calculer les coordonn\'{e}es cart\'{e}siennes de $A,$ de $C$ et \textbf{en
d\'{e}duire} celles de $B$.

\item
\begin{enumerate}
\item Calculer (sans utiliser les résultats de la question
  \ref{cat_A_B}) $\left(\vec{\imath}\,;\;\vec{ON}\right)$ et $OB$.

\item En d\'{e}duire les valeurs \textbf{exactes} de $\cos\frac{\pi}{12}$ et
$\sin\frac{\pi}{12}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}%
%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion
Les points $A,$ $B$ et $M$ sont dispos\'{e}s comme indiqu\'{e} sur la figure ci-contre.

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonn\'{e}es polaires de $A$ et d\'{e}terminer les
coordonn\'{e}es polaires de $B;$

\item D\'{e}terminer les coordonn\'{e}es cart\'{e}siennes de $A$ et de $B$
puis en d\'{e}duire les coordonn\'{e}es cart\'{e}siennes de $M.$
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\FRAME{itbpFX}{135.1875pt}{122.3125pt}{0pt}{}{}{Figure}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "T";
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%BeginExpansion
\raisebox{-0pt}{\fbox{\includegraphics[
height=122.3125pt,
width=135.1875pt
]%
{Include/i3fgv9dx.eps}%
}}%
%EndExpansion
%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
$\left(  O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)  $ est un rep\`{e}re
orthonormal direct; $\alpha$ est un r\'{e}el quelconque; $A$ est le point de
coordonn\'{e}es polaires $\left[  1;\alpha\right]  ;$ $\mathcal{R}$ est la
rotation de centre $O$ est d'angle $\frac{2\pi}{3};$ $B$ est l'image de $A$
par $\mathcal{R}$ et $C$ est l'image de $B$ par $\mathcal{R}.$

Le but de cet exercice est de d\'{e}montrer que:%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\cos\alpha+\cos\left(  \alpha+\frac{2\pi}{3}\right)  +\cos\left(  \alpha
+\frac{4\pi}{3}\right)  =0\\
\sin\alpha+\sin\left(  \alpha+\frac{2\pi}{3}\right)  +\sin\left(  \alpha
+\frac{4\pi}{3}\right)  =0
\end{array}
\right.  .
\]


\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image de $C$ par $\mathcal{R}?$ D\'{e}montrer que $ABC$ est \'{e}quilat\'{e}ral;

\item D\'{e}montrer que $O$ est le centre de gravit\'{e} de $ABC;$

\item D\'{e}terminer les coordonn\'{e}es polaires de $B$ et de $C;$

\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $\alpha$ les coordonn\'{e}es cart\'{e}siennes de
$A,$ de $B$ et de $C;$

\item En d\'{e}duire les coordonn\'{e}es cart\'{e}siennes du vecteur
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ en fonction de
$\alpha.$
\end{enumerate}

\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{exercise}




\begin{claim}%
  \quad
%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13165426212125--
%%--Coordonnées polaires--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%
\begin{enumerate}
\item 
  \begin{itemize}
  \item \fbox{$A \left[4\,;\,\dfrac{\pi}{3}\right]$};
  \item
  $\left(\vec{OI}\,;\;\vec{OB}\right)=\left(\vec{OI}\,;\;\vec{OA}\right)+\left(\vec{OA}\,;\;\vec{OB}\right)=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{6}$ et $OB=1$
  $$\text{donc }\fbox{$B$ a pour coordonnées polaires $\left[1\,;-\dfrac{\pi}{6}\right]$}.$$
  \end{itemize}

\item 
  \begin{itemize}
  \item $A \left(4\cos \dfrac{\pi}{3}\,;\,4\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=\fbox{$\left(2\,;\,2 \sqrt{3}\right)$}$ ;
  \item $B \left(\cos \dfrac{-\pi}{6}\,;\,\sin\dfrac{-\pi}{6}\right)=\fbox{$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)$}$ ;
  \item $\vec{OM}=\vec{OA}+\vec{OB}$ d'où \fbox{$\vec{OM}$ a pour coordonnées %
      $\left(%
      \begin{array}[c]{c}
        2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
        2 \sqrt{3}-\dfrac{1}{2}
      \end{array}%
    \right)$
    }.
  \end{itemize}
\end{enumerate}

\end{claim}

\begin{claim}
%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13165426212125--
%%--Coordonnées polaires--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%

\begin{enumerate}
\item
  \begin{itemize}
  \item \label{coord_pol}$B$ a pour coordonnées polaires
  $\left[1\,;\,\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right]$ et $C\left[1\,;\,\alpha+\dfrac{4\pi}{3}\right]$ donc l'image de $C$ par $\mathcal{R}$ a pour coordonnées polaires $\left[1\,;\,\alpha+\dfrac{6\pi}{3}\right]=\left[1\,;\,\alpha\right]$ et donc \fbox{l'image de $C$ par $\mathcal{R}$ est $A$}.
\item Par $\mathcal{R}$ :
  \begin{itemize}
  \item l'image du segment $[AB]$ est $[BC]$ donc $AB=BC$ (une rotation est une isométrie) ;
  \item l'image du segment $[BC]$ est $[CA]$ donc $BC=CA$ ;
  \item l'image du segment $[CA]$ est $[AB]$ donc $CA=AB$.
  \end{itemize}
  Donc \fbox{le triangle $ABC$ est équilatérale}.
  \end{itemize}

\item Comme $OA=OB=OC$ on peut affirmer que $O$ est le point de concours des médiatrices de $ABC$ et comme $ABC$ est équilatérale ses médiatrices sont aussi ses médianes et donc $O$, point de concours des médianes de $ABC$, est le centre de gravité de $ABC$.

\item Voir la question \ref{coord_pol}.

\item
\begin{enumerate}
\item $A$ a pour coordonnées polaires $\left[1\,;\,\alpha\right]$ donc :\\
  \fbox{$A$ a pour coordonnées cartésiennes $\left(\cos\alpha\,;\,\sin\alpha\right)$}
\item $B$ a pour coordonnées polaires $\left[1\,;\,\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right]$ donc :\\
  \fbox{$B$ a pour coordonnées cartésiennes $\left(\cos\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)\,;\,\sin\left(\alpha+\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)$}
\item $C$ a pour coordonnées polaires $\left[1\,;\,\alpha+\dfrac{4\pi}{3}\right]$ donc :\\
  \fbox{$C$ a pour coordonnées cartésiennes $\left(\cos\left(\alpha+\dfrac{4\pi}{3}\right)\,;\,\sin\left(\alpha+\dfrac{4\pi}{3}\right)\right)$}

\item On en déduit immédiatement que :
$$\fbox{$\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$ a pour coordonnées
     $\left(%
      \begin{array}[c]{c}
        \cos\alpha+\cos\left(\alpha+\frac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(\alpha+\frac{4\pi}{3}\right)\\
        \sin\alpha+\sin\left(\alpha+\frac{2\pi}{3}\right)+\sin\left(\alpha+\frac{4\pi}{3}\right)
      \end{array}%
    \right)$
    }.
$$    

\end{enumerate}

\item Comme $O$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ on a $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{0}$ et donc
 \[\fbox{$
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\cos\alpha+\cos\left(  \alpha+\frac{2\pi}{3}\right)  +\cos\left(  \alpha
+\frac{4\pi}{3}\right)  =0\\
\sin\alpha+\sin\left(  \alpha+\frac{2\pi}{3}\right)  +\sin\left(  \alpha
+\frac{4\pi}{3}\right)  =0
\end{array}
\right.$} .
\]

\end{enumerate}
\end{claim}

\end{document}