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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1315779925996--
%%--Optimisation par la moyenne d\'une serie statistique--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
Soit $x$ la série statistique prenant les valeurs $x_{1},$ $x_{2},\ldots,$
$x_{p}$ d'effectifs respectifs $n_{1,}$ $n_{2},\cdots,$ $n_{p}.$

On veut rechercher le nombre $a$ qui minimise :%
\[
\sum_{i=1}^{p}\frac{n_{i}(x_{i}-a)^{2}}{n}=\frac{n_{1}(x_{1}-a)^{2}%
+n_{2}(x_{2}-a)^{2}+\cdots+n_{p}(x_{p}-a)^{2}}{n}\quad\text{où }n=\sum
_{i=1}^{p}n_{i}\text{ .}%
\]


\begin{enumerate}
\item \textbf{Cas particulier:} on prend la serie $x_{1}=0,$ $x_{2}=1,$
$x_{3}=2,$ $x_{4}=4$ avec $n_{1}=n_{2}=n_{3}=n_{4}=1.$

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne $\overline{x}$ et la variance $V$ de cette série.

\item Développer et réduire la somme:%
\[
S(a)=\frac{a^{2}+(1-a)^{2}+(2-a)^{2}+(4-a)^{2}}{4}.
\]


\item Représenter la série sur une droite graduée et donner l'interprétation
géométrique de $S(a).$

\item Aprés avoir démontrer que $S(a)=(a-7/4)^{2}+35/16,$ déterminer la valeur
de $a$ qui minimise $S(a).$ Que constate-t-on? Donner une interprétation
géométrique et statistique du $a$ obtenu.
\end{enumerate}

\item \textbf{Cas général:} on se propose de démontrer le résultat obtenu au
1) pour une série quelconque $x_{1},$ $x_{2},\ldots,$ $x_{p}$.

\begin{enumerate}
\item \label{a_iuirti}Démontrer que $(x_{i}-a)^{2}=(x_{i}-\overline{x}%
)^{2}+2(x_{i}-\overline{x})(\overline{x}-a)+(\overline{x}-a)^{2}.$

\item \label{b_gfb}Démontrer que $n_{1}(x_{1}-\overline{x})+n_{2}%
(x_{2}-\overline{x})+\cdots+n_{p}(x_{p}-\overline{x})=0.$

\item En utilisant les questions \textbf{\ref{a_iuirti}} et
\textbf{\ref{b_gfb}} démontrer que:%
\[
\frac{n_{1}(x_{1}-a)^{2}+n_{2}(x_{2}-a)^{2}+\cdots+n_{p}(x_{p}-a)^{2}}%
{n}=V+(\overline{x}-a)^2.
\]


\item En déduire le nombre $a$ qui minimise:%
\[
\frac{n_{1}(x_{1}-a)^{2}+n_{2}(x_{2}-a)^{2}+\cdots+n_{p}(x_{p}-a)^{2}}{n}.
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}
