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\newenvironment{proof}[1][Démonstration]{\noindent\textbf{#1:}}{\ \fbox{cqfd.}}
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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1315725758513--
%%--Calculs numériques--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
Les réels $a$ et $b$ étant non nuls, mettre les expressions suivantes sous la
forme $\frac{b^{m}}{a^{n}},$ où $m\in%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$ et $n\in%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
.$%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{3}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $X=\frac{\left(  a^{2}b\right)  ^{5}}{\left(  -a^{3}\right)  ^{4}};$

\item $Y=\frac{\left(  -ab^{2}\right)  (-ab)^{2}}{\left(  -a\right)  ^{7}};$

\item $Z=\left(  a^{3}b^{2}\right)  ^{-5}\left(  ab\right)  ^{12}.$
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Dans les deux cas suivants, montrer que $a=b:$%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $a=\frac{2}{3\sqrt{3}-5}$ et $b=5+3\sqrt{3};$

\item $a=3-\sqrt{2}$ et $b=\sqrt{11-6\sqrt{2}}.$
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Donner les valeurs de $x$ pour lesquelles les expressions suivantes sont définies:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{3}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sqrt{2x-3};$

\item $g(x)=\sqrt{x^{2}+1};$

\item $h(x)=\frac{1}{\sqrt{x-4}}.$
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Développer et réduire les expressions suivantes:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $A=3(a+b-c)-2(a-b+c)+5(a-b-c);$

\item $B=a^{3}-5a\times a-8a+3a^{2}-2a^{2}\times a;$

\item $C=(a-\sqrt{a})(a+\sqrt{a});$

\item $D=\left(  \sqrt{a}+\sqrt{b}\right)  ^{2}+\left(  \sqrt{a}-\sqrt
{b}\right)  ^{2};$

\item $E=\left(  \sqrt{a}\right)  ^{3}+2\left(  \sqrt{a}\right)  ^{2}-a\left(
\sqrt{a}+1\right)  ;$

\item $f(x)=\left(  3x^{2}-4\right)  (x+2)-(2x+1)(x^{2}-1);$

\item $g(x)=(x+1)(x+2)(2x^{2}+1);$

\item $h(x)=\left(  2\sqrt{5}-3x\right)  \left(  2\sqrt{5}+3x\right)  ;$

\item $i(x)=\left(  2x-1\right)  ^{3};$

\item $j(x)=\left(  x^{2}+x+1\right)  ^{2}.$
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Factoriser au maximum les expressions suivantes:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $f(x)=3(x-5)^{2}+(x-5)(2x+1)$ ;

\item $f(x)=5x^{2}-1$ ;

\item $f(x)=(3x-4)^{2}+5(4-3x)$ ;

\item $f(x)=4x^{2}+4x\sqrt{3}+3$ ;

\item $f(x)=\left(  2x+3\right)  ^{2}-\left(  x^{2}-1\right)  ^{2}$ ;

\item $f(x)=(x-1)(x+2)^{2}+(x^{2}-1)(x+2)$ ;

\item $f(x)=x^{3}-27$ ;

\item $f(x)=5x^{3}-2x^{2}+5x-2$ .
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
En vous inspirant de l'exemple ci-dessous, factoriser les polynômes suivants:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{3}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $P(x)=x^{2}-4x+3$ ;

\item $Q(x)=x^{2}+2x-5$ ;

\item $R(x)=4x^{2}-6x-18$ .
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\textit{Exemple: pour factoriser }$x^{2}+4x-5$ \textit{,on remarque que
}$(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$\textit{\ donc:}

$x^{2}+4x-5=(x+2)^{2}-4-5=(x+2)^{2}-9=\left(  \left(  x+2\right)  -3\right)
\left(  \left(  x+2\right)  +3\right)  =\left(  x-1\right)  (x+5)$\textit{.}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Simplifier les expressions suivantes aprés avoir indiqué leur condition d'existence:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{3}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $f(x)=\frac{2x^{2}+x}{x}$ ;

\item $f(x)=\frac{(2x-3)(x+1)}{2x^{2}-3x}$ ;

\item $f(x)=\frac{x^{2}-4x}{(x-1)^{2}-1}$ .
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $x$, $y$ et $z$ trois réels non nuls. On pose:
\[
A=\frac{y}{z}+\frac{z}{y},\quad B=\frac{z}{x}+\frac{x}{z},\quad C=\frac{x}%
{y}+\frac{y}{x}.
\]


Montrer que $A^{2}+B^{2}+C^{2}-ABC$ est indépendant de $x$, $y$ et $z$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels non nuls dont la somme des inverses est nulle.

\begin{enumerate}
\item Calculer $c$ dans chacuns des cas suivants:

\begin{enumerate}
\item $a=2$ et $b=4$;

\item $a=\frac{1}{3}$ et $b=-\frac{3}{4}$.
\end{enumerate}

\item Démontrer dans le cas général que le carré de la somme de ces trois
nombres est égal à la somme de leurs carrés.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}