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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13150012615514--
%%--Approximation d\'une aire par des suites--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]  0;+\infty\right[  $ par
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans
un repère orthonormé $\left(  O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)
$. On prendra pour unité graphique 2cm.

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation $f$ sur $\left]  0;+\infty\right[  $.

\item Tracer soigneusement la courbe $\mathcal{C}_{f}$ sur $\left[
1;9\right]  $. On note $A_{n}$ la portion du plan grisée dans la figure
suivante:\bigskip%
%TCIMACRO{\FRAME{dtbpF}{196.125pt}{54.625pt}{0pt}{}{}{Figure}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "T";
%width 196.125pt;  height 54.625pt;  depth 0pt;  original-width 193.125pt;
%original-height 52.3125pt;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "0.9994";
%cropbottom "0";
%tempfilename 'Include/h44uuv0m.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
trim=0.000000pt 0.000000pt 0.115871pt 0.000000pt,
height=54.625pt,
width=196.125pt
]%
{Include/i3fgylfx.eps}%
\end{center}
%EndExpansion


\item Pour $k\geq1$, on note $M_{k}$\emph{\ le point de }$C_{f}$ d'abscisse
$k$ et $r_{k}$ le rectangle délimité par les droites d'équation $x=k,$
$x=k+1,$ l'axe des abscisses et la parallèle à $\left(  OI\right)  $ passant
par $M_{k+1}$.

\begin{enumerate}
\item Placer les points $M_{1},$ $M_{2},\ldots,M_{9}$ ainsi que les rectangles
$r_{1},$ $r_{2},\ldots,r_{8},$ sur votre représentation graphique.

\item Déterminer l'aire de $r_{1},$ de $r_{2},$ puis de $r_{k}$ pour $k\geq1.$
\end{enumerate}

\item Soit $u_{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}%
{\sqrt{n}}$ pour $n\geq2$.

\begin{enumerate}
\item Interpréter graphiquement $u_{n}.$

\item Montrer que pour tout entier $k,$ $k\geq1,$ on a:%
\[
\sqrt{k+1}-\sqrt{k}=\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}.
\]


\item En déduire pour tout $k\geq1,$ l'encadrement:%
\[
\frac{1}{\sqrt{k+1}}\leq2\left(  \sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)  \leq\frac
{1}{\sqrt{k}}.
\]


\item En déduire que pour tout $n\geq2,$ $2\left(  \sqrt{n+1}-\sqrt{2}\right)
\leq u_{n}\leq2\left(  \sqrt{n}-1\right)  .$

\emph{on pourra remarquer que:}%
\[
u_{n}=\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{k+1}}.
\]


\item Minorer $A_{n}$ en fonction de n. A-t-on $A_{n}\leq2(\sqrt{n}-1)$ ?
\end{enumerate}

\item On considère maintenant les rectangles $R_{k}$ délimités par les droites
d'équation $x=k,$ $x=k+1,$ l'axe $(OI)$ et la parallèle à $(OI)$ passant par
$M_{k}.$

\begin{enumerate}
\item Tracer sur votre représentation graphique les rectangles $R_{1},$
$R_{2},\ldots,$ $R_{8}.$

\item Calculer l'aire de $R_{k}$ où $k\geq1.$

\item On pose pour tout $n\geq2,$ $v_{n}=$ aire de $R_{1}+$aire de
$R_{2}+\ldots+$ aire de $R_{n-1}.$

Interpréter géométriquement $v_{n}$ et démontrer que $v_{n}=1+u_{n-1}$ pour
$n\geq2.$

\item De l'encadrement 4d, déduire que $v_{n}\leq2\sqrt{n-1}-1$ pour tout
$n\geq3.$
\end{enumerate}

\item Donner un encadrement de $A_{n}$ en fonction de $n$. Quelle valeur
approchée de $A_{100}$ peut-on proposer ? avec quelle précision ?
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}