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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13148768710911--
%%--Polynésie 2001--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES\bigskip}

{\LARGE BACCALAUREAT S \bigskip}

{\LARGE POLYNESIE 2001\bigskip}

{\Large ENONCE\medskip}
\end{center}

\begin{exercise}
[5 points]Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormal
direct $\left(  O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $, unité
graphique 2 cm, on considère les point $A$ et $B$ d'affixes respectives
$z_{A}=-1$ et $z_{B}=3i$.\newline Soit la fonction $f$ de $\mathcal{P}$ privé
du point $A$ dans $\mathcal{P}$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le
point $M\prime$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que :
\[
z^{\prime}=i\left(  \frac{z-3i}{z+1}\right)  \text{\hspace{1cm}(1)}%
\]


\begin{enumerate}
\item Soit $C$ le point d'affixe $z_{\text{C}}=2-i$.\newline Montrer qu'il
existe un seul point $D$ tel que $f(D)=$C.

\item Déterminer la nature du triangle $ABC$.

\item A l'aide de l'égalité (1), montrer que, pour tout point $M$ distinct de
$A$ et de $B$ :
\[
OM^{\prime}=\frac{BM}{AM}%
\]
et
\[
\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{OM^{\prime}}\right)  =\frac{\pi}%
{2}+\left(  \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right)  \text{ modulo
}2\pi
\]


\item En déduire et construire les ensembles de points suivants :

\begin{enumerate}
\item L'ensemble ($E$) des points $M$ tels que l'image $M\prime$ soit située
sur le cercle $(\Gamma)$ de centre O, et de rayon 1

\item L'ensemble ($F$) des points $M$ tels que l'affixe de $M\prime$ soit réelle.
\end{enumerate}

\item On considère la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}%
$.\newline On note C$_{1}$ l'image de $C$ par $R$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'affixe de C$_{1}$.

\item Montrer que$C_{1}$ appartient à l'ensemble ($F$).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[4 points]$\vspace*{-0.35cm}$

Une boîte contient 8 cubes : $\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
1\ \text{gros rouge et}\ 3\ \text{petits rouges};\\
2\ \text{gros verts et}\ 1\ \text{petit vert};\\
1\ \text{petit jaune}%
\end{array}
\right.  $\newline Un enfant choisit au hasard et simultanément 3 cubes de la
boîte (\textit{on admettra que la probabilité de tirer un cube donné est
indépendante de sa taille et de sa couleur}).\newline Les résultats seront
donnés sous forme de fractions irréductibles.

\begin{enumerate}
\item On note : A, l'événement
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
Obtenir des cubes de couleurs différentes
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
; B, l'événement :
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
Obtenir au plus un petit cube
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de A.

\item Vérifier que la probabilité de B est égale à $\frac{2}{7}$.
\end{enumerate}

\item Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de petits cubes rouges
tirés par l'enfant.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de X.

\item Calculer l'espérance mathématique de X.
\end{enumerate}

\item L'enfant répète $n$ fois l'épreuve
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
Tirer simultanément trois cubes de la boîte
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
, en remettant dans la boîte les cubes tirés avant de procéder au tirage
suivant. Les tirages sont indépendants.\newline On note $\text{P}_{n}$ la
probabilité que l'événement B soit réalisé au moins une fois.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\text{P}_{n}$ en fonction de $n$.

\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\text{P}_{n}\geqslant0,99$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 11 points]Dans tout le texte, $e$ désigne le nombre réel qui
vérifie $\ln e=1$.\newline On considère la fonction $f$ définie sur
$]0;+\infty\lbrack$ par
\[
f(x)=\frac{\ln x+xe}{x^{2}}%
\]
On note ($\Gamma$ ) sa courbe représentative dans un repère orthonormal
$\left(  O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $, unité graphique :
2 cm.\newline%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection
%*{Partie A. Étude d'une fonction auxiliaire}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A. Étude d'une fonction auxiliaire}%
%EndExpansion


On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty\lbrack$ par
\[
g(x)=-2\ln x-xe+1
\]


\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $g$ en 0 et en $+\infty$.

\item Étudier le sens de variation de $g$.

\item Montrer que dans [0,5 ; 1] l'équation $g(x)=0$ admet une solution et une
seule notée $\alpha$.\newline Déterminer un encadrement de $\alpha$ à 0,1 près.

\item En déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie B. Étude de la fonction $f$}%
%}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B. Étude de la fonction $f$}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

\item Soit $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$.\newline Vérifier que
\[
f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x^{3}}%
\]
puis étudier le sens de variation de $f$ sur $]0;+\infty\lbrack$.

\item Montrer que
\[
f(\alpha)=\frac{1+\alpha e}{2\alpha^{2}}%
\]


\item Donner le tableau de variation de $f$.

\item Construire ($\Gamma$ ).
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie C. Intégrale et suite}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie C. Intégrale et suite}%
%EndExpansion


Soit
\[
\text{I}_{n}=\int_{e^{n}}^{e^{n+1}}\left(  \frac{\ln t}{t^{2}}\right)  dt
\]
et
\[
\text{A}_{n}=\int_{e^{n}}^{e^{n+1}}f(t)dt
\]
pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
\item Montrer à l'aide d'une intégration par parties que :
\[
\text{I}_{n}=\frac{n+1}{e^{n}}-\frac{n+2}{e^{n+1}}%
\]


\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\text{A}_{n}=\text{I}_{n}+e$.

\item Calculer $\text{I}_{0}$ et $\text{A}_{0}$.

\item Donner une interprétation géométrique de $\text{A}_{0}$.
\end{enumerate}

\item Montrer que la suite $(\text{A}_{n})$ converge vers $e$.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}