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}{\end{itemize}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
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%%--Corrig� du document N� 13121778073740--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES SERIE S\bigskip}\\[0pt]{\LARGE CENTRES
ETRANGERS 1999\bigskip}\\[0pt]{\LARGE ELEMENTS DE SOLUTION\bigskip\ }
\end{center}

\bigskip

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item On a d'apr\`{e}s le texte :
\[
p\left(  U_{1}\right)  =p\left(  U_{2}\right)  =\frac{1}{2}%
\]
On d\'{e}signe par :

\begin{itemize}
\item $T_{1}$ l'\'{e}v\`{e}nement '' Tirer un jeton num\'{e}ro 1 de l'urne
$U_{1}$ ''

\item $T_{2}$ l'\'{e}v\`{e}nement '' Tirer un jeton num\'{e}ro 2 de l'urne
$U_{2}$ ''
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Comme $T_{1}$ et $T_{2}$ forment une partition de l'univers, on peut
employer la formule des probabilit\'{e}s totales :
\begin{align*}
p_{1}  &  =p\left(  U_{1}\cap T_{1}\right)  +p\left(  U_{2}\cap T_{2}\right)
\\
&  =p\left(  U_{1}\right)  \times p\left(  T_{1}/U_{1}\right)  +p\left(
U_{2}\right)  \times p\left(  T_{2}/U_{2}\right) \\
&  =\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}\\
&  =\frac{3}{8}%
\end{align*}
en appelant $p_{1}$ la probabilit\'{e} cherch\'{e}e.

\item On cherche la probabilit\'{e} de $U_{1}$ sachant que $T_{1}$ est
r\'{e}alis\'{e}, d'o\`{u} d'apr\`{e}s la formule du cours :
\[
p\left(  U_{1}/T_{1}\right)  =\frac{p\left(  U_{1}\cap T_{1}\right)
}{p\left(  T_{1}\right)  }=\frac{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}}{\frac{3}{8}%
}=\frac{2}{3}%
\]
On a tir\'{e} un jeton portant le num\'{e}ro 1. Quelle est la probabilit\'{e}
qu'il provienne de l'urne $U_{1}$ ?
\end{enumerate}

\item L'urne contient donc 2 jetons num\'{e}rot\'{e}s 1, 2 jetons
num\'{e}rot\'{e}s 2, 1 jeton num\'{e}rot\'{e} 3 et un jeton num\'{e}rot\'{e} 4.

\begin{enumerate}
\item Soit $p_{2}$ la probabilit\'{e} de tirer 2 jetons identiques. Cet
\'{e}v\`{e}nement est la r\'{e}union des \'{e}v\`{e}nements disjoints '' tirer
2 jetons num\'{e}rot\'{e}s 1 '' et '' tirer deux jetons num\'{e}rot\'{e}s 2
''. On en d\'{e}duit :
\[
p_{2}=\frac{C_{2}^{2}}{C_{6}^{2}}+\frac{C_{2}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{2}{15}%
\]


\item $S$ prend les valeurs $2,$ $3,$ $4,$ $5$, $6$ et $7.$ On utilise le
raisonnement pr\'{e}c\'{e}dent, c'est \`{a} dire que l'on d\'{e}compose chaque
\'{e}v\`{e}nement en union d'\'{e}v\`{e}nements incompatibles. On a alors
:\newline$p\left(  S=2\right)  =\frac{C_{2}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{1}{15}$ (
les deux jetons portent le num\'{e}ro 1 )\newline$p\left(  S=3\right)
=\frac{C_{2}^{1}\times C_{2}^{1}}{C_{6}^{2}}=\frac{4}{15} $ ( un jeton porte
le num\'{e}ro 2 et l'autre le num\'{e}ro 3 )\newline$p\left(  S=4\right)
=\frac{C_{2}^{2}}{C_{6}^{2}}+\frac{C_{2}^{1}\times C_{1}^{1}}{C_{6}^{2}}%
=\frac{3}{15}$ ( on tire soit 2 jetons num\'{e}rot\'{e}s 2, soit un jeton
num\'{e}rot\'{e} 1 et un jeton num\'{e}rot\'{e} 3 ).\newline On peut alors
donner la loi de probabilit\'{e} de $S$ dans le tableau suivant :
\[%
\begin{tabular}
[c]{|l|l|l|l|l|l|l|}\hline
$s_{i}$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$\\\hline
$p\left(  S=s_{i}\right)  $ & $\frac{1}{15}$ & $\frac{4}{15}$ & $\frac{3}{15}$
& $\frac{4}{15}$ & $\frac{2}{15}$ & $\frac{1}{15}$\\\hline
\end{tabular}
\]
\newline

\item On a facilement :
\begin{align*}
p\left(  X=-10\right)   &  =p\left(  S=3\right)  +p\left(  S=5\right)
+p\left(  S=7\right)  =\frac{9}{15}\\
p\left(  X=\lambda\right)   &  =p\left(  S=2\right)  +p\left(  S=4\right)
+p\left(  S=6\right)  =\frac{6}{15}%
\end{align*}
L'esp\'{e}rance de $X$ est donc donn\'{e}e par :
\[
E\left(  X\right)  =\left(  -10\right)  \left(  \frac{9}{15}\right)
+\lambda\left(  \frac{6}{15}\right)  =-6+\frac{2}{5}\lambda
\]
Le jeu est \'{e}quitable si et seulement si $E(X)=0\Leftrightarrow\lambda=15.
$\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item D'apr\`{e}s les donn\'{e}es du texte :
\[
\left|  \frac{z-z_{1}}{i-z_{1}}\right|  =\frac{\left|  z-z_{1}\right|
}{\left|  i-z_{1}\right|  }=\frac{MM_{1}}{M_{1}B}=1
\]
puique le triangl''e $BMM_{1}$ est isoc\`{e}le. De m\^{e}me,
\[
\arg\left(  \frac{z-z_{1}}{i-z_{1}}\right)  =\left(  \overrightarrow{M_{1}%
B},\overrightarrow{M_{1}M}\right)  =\frac{\pi}{2}\text{ modulo }2\pi
\]
puique le triangle $BMM_{1}$ est rectangle. Comme l'on connait le module et un
argument de notre complexe, on peut alors \'{e}crire :
\[
\frac{z-z_{1}}{i-z_{1}}=\left|  \frac{z-z_{1}}{i-z_{1}}\right|  e^{\arg\left(
\frac{z-z_{1}}{i-z_{1}}\right)  }=1\times e^{\frac{\pi}{2}}=i
\]
ce qui \'{e}quivaut \`{a} $z-z_{1}=i(i-z_{1}).$ Le m\^{e}me raisonnement en
utilisant le triangle $AMM_{2}$ fournit l'\'{e}galit\'{e} $1-z_{2}=i(z-z_{2})
$.

\item On a les \'{e}galit\'{e}s :
\[
z-z_{1}=i(i-z_{1})\Leftrightarrow z-z_{1}=-1-iz_{1}\Leftrightarrow
z_{1}\left(  i-1\right)  =-1-z\Leftrightarrow z_{1}=\frac{-1-z}{i-1}%
\]
Il suffit ensuite de simplifier l'expression pr\'{e}c\'{e}dente :
\[
z_{1}=\frac{-1-z}{i-1}=\frac{\left(  -1-z\right)  \left(  -i-1\right)
}{\left(  i-1\right)  \left(  -i-1\right)  }={\frac{1+i}{2}\,(z+1)}%
\]
Pour $z_{2},$ le calcul est similaire et on trouve bien :
\[
{z_{2}=\frac{1-i}{2}\,(z+i)}\newline%
\]

\end{enumerate}

\item Il suffit pour ces questions de calculer les longueurs \`{a} l'aide des affixes.

\begin{enumerate}
\item L'affixe de $\overrightarrow{OM_{1}}$ est \'{e}gale \`{a} $\left|
z_{1}\right|  ,$ donc
\[
OM_{1}=OM_{2}\Leftrightarrow\left|  z_{1}\right|  =\left|  z_{2}\right|
\Leftrightarrow|z+1|=|z+i|
\]
car
\begin{align*}
|z_{1}|  &  =\left|  {\frac{1+i}{2}\,(z+1)}\right|  =\left|  {\frac{1+i}{2}%
}\right|  \left|  {\,z+1}\right|  =\frac{1}{2}\sqrt{2}\left|  {\,z+1}\right|
\\
|z_{2}|  &  =\left|  {\frac{1-i}{2}\,(z+i)}\right|  =\left|  {\frac{1-i}{2}%
}\right|  \left|  {\,z+i}\right|  =\frac{1}{2}\sqrt{2}\left|  {\,z-1}\right|
\end{align*}
L'\'{e}galit\'{e} $|z+1|=|z+i|$ ''\'{e}quivaut \`{a} $A^{\prime}M=MB^{\prime
},$ ce qui prouve que l'ensemble $(\Delta)$ des points $M$ tels que
$OM_{1}=OM_{2}$ est la m\'{e}diatrice de $\left[  A^{\prime}B^{\prime}\right]
$.

\item On a
\[
OM_{1}=M_{1}M_{2}\Leftrightarrow\left|  z_{1}\right|  =\left|  z_{2}%
-z_{1}\right|  \Leftrightarrow\frac{1}{2}\sqrt{2}\left|  {\,z+1}\right|
=\left|  iz\right|  \Leftrightarrow\frac{1}{2}\sqrt{2}\left|  {\,z+1}\right|
=\left|  z\right|
\]
Cette \'{e}galit\'{e} \'{e}quivaut \`{a} celle des carr\'{e}s :
\[
OM_{1}=M_{1}M_{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left|  {\,z+1}\right|
^{2}=\left|  z\right|  ^{2}\Leftrightarrow|z+1|^{2}=2|z|^{2}%
\]


\item On pose $z=x+iy,$ avec $x$ et $y$ r\'{e}els.
\begin{align*}
|z+1|^{2}  &  =2|z|^{2}\Leftrightarrow\left|  \left(  x+1\right)  +iy\right|
^{2}=2\left(  x^{2}+y^{2}\right) \\
|z+1|^{2}  &  =2|z|^{2}\Leftrightarrow\left(  x+1\right)  ^{2}+y^{2}=2\left(
x^{2}+y^{2}\right) \\
|z+1|^{2}  &  =2|z|^{2}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2x-1=0
\end{align*}
On v\'{e}rifie enfin facilement que
\[
|z-1|^{2}=2\Leftrightarrow|\left(  x-1\right)  +iy|^{2}-2=0\Leftrightarrow
\left(  x-1\right)  ^{2}+y^{2}-2=0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2x-1=0
\]
On peut donc conclure que
\[
OM_{1}=M_{1}M_{2}\Leftrightarrow|z-1|^{2}=2\Leftrightarrow AM^{2}=2
\]
donc l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan pour lesquels $OM_{1}%
=M_{1}M_{2}$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $\sqrt{2}.$

\item $OM_{1}M_{2}$ est un triangle \'{e}quilat\'{e}ral si et seulement si
$OM_{1}=OM_{2}$ et $OM_{1}=M_{1}M_{2},$ ce qui implique que les points $M$
cherch\'{e}s sont les points d'intersection de $\left(  \Gamma\right)  $ et
$\left(  \Delta\right)  .$
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

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%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.847in,
width=2.847in
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{Include/i3faxn0v.eps}%
\end{center}
%EndExpansion

\end{claim}

\begin{claim}
[Probl\`{e}me]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie I}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie I}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Par composition, la fonction $x\mapsto\ln\left(  x^{2}+1\right)  $ est
d\'{e}rivable sur l'intervalle $[0;+\infty\lbrack.$ Par produit de fonctions
d\'{e}rivables, la fonction $x\rightarrow\left(  x^{2}+1\right)  \ln\left(
x^{2}+1\right)  $ est donc d\'{e}rivable sur ce m\^{e}me intervalle, et donc
par somme la fontion $g$ l'est aussi par somme de fonctions
d\'{e}rivables.\newline$g^{\prime}\left(  x\right)  =4x-\left(  2x\ln\left(
x^{2}+1\right)  +\left(  x^{2}+1\right)  \frac{2x}{x^{2}+1}\right)
=2x-2x\ln(x^{2}+1)=2x\left(  1-\ln\left(  x^{2}+1\right)  \right)  $

\item Sur $[0;+\infty\lbrack$, $2x$ est positif, donc le signe de $g^{\prime
}\left(  x\right)  $ est celui de $\left(  1-\ln\left(  x^{2}+1\right)
\right)  .$ Or,
\[
1-\ln\left(  x^{2}+1\right)  >0\Leftrightarrow1>\ln\left(  x^{2}+1\right)
\Leftrightarrow e>x^{2}+1\Leftrightarrow e-1>x^{2}%
\]
Comme $x\in$ $[0;+\infty\lbrack,$ cette in\'{e}galit\'{e} \'{e}quivaut \`{a}
$0\leqslant x\leqslant\sqrt{e-1},$ puisque $e-1>0.$ En conclusion, la fonction
$g$ est strictement croissante sur $\left]  0,\sqrt{e-1}\right[  $ et
strictement d\'{e}croissante sur $\left]  \sqrt{e-1},+\infty\right[  .$

\item Sur $[\sqrt{e-1},\sqrt{e^{2}-1}],$ la fonction $g$ est d\'{e}rivable,
strictement d\'{e}croissante. Comme de plus $g\left(  \sqrt{e-1}\right)
\simeq0\allowbreak.\,\allowbreak718\,28>0$ et $g\left(  \sqrt{e^{2}-1}\right)
\simeq\allowbreak-2.0<0,$ on peut affirmer qu'il existe un unique r\'{e}el
$\alpha$ dans l'intervalle $[\sqrt{e-1},\sqrt{e^{2}-1}]$ tel que $g(\alpha)=0.
$ Par la m\'{e}thode de dichotomie, on a $\alpha\simeq1.\,\allowbreak98.$

\item Sur $\left]  0,\sqrt{e-1}\right[  ,$ $g$ est stictement croissante et
$g\left(  0\right)  =\allowbreak0,$ donc $g\left(  x\right)  >0$ sur cet
intervalle.\newline Sur $\left]  \sqrt{e-1},\alpha\right[  ,$ $g$ est
d\'{e}croissante et $g\left(  \alpha\right)  =0$ donc $g\left(  x\right)  >0$
sur cet intervalle.\newline Sur $\left]  \alpha,+\infty\right[  ,$ $g$ est
d\'{e}croissante et $g\left(  \alpha\right)  =0,$ donc $g\left(  x\right)  <0$
sur cet intervalle.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie II}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie II}%
%EndExpansion


On utilise le changement de variable d\'{e}fini par $X=x^{2}.$ Il vient :
\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{f\left(  x\right)  }{x}=\lim_{x\rightarrow0}%
\frac{\ln(1+x^{2})}{x^{2}}=\lim_{X\rightarrow0}\frac{\ln(1+X)}{X}=1
\]
d'apr\`{e}s le formulaire. Comme cette limite s'\'{e}crit en fait :
\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{f\left(  x\right)  }{x}=\lim_{x\rightarrow0}%
\frac{f\left(  x\right)  -f\left(  0\right)  }{x-0}%
\]
on a donc prouv\'{e} que la fonction $f$ est d\'{e}rivable en $0$ et que
$f^{\prime}(0)=1$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Par les formules de d\'{e}rivation, on a pour tout $x>0$ :
\[
f^{\prime}\left(  x\right)  =-\frac{1}{x^{2}}\ln\left(  1+x^{2}\right)
+\frac{1}{x}\times\frac{2x}{1+x^{2}}=\frac{2x^{2}-\left(  \ln\left(
x^{2}+1\right)  \right)  x^{2}-\ln\left(  x^{2}+1\right)  }{\left(
x^{2}+1\right)  x^{2}}=\frac{g(x)}{x^{2}(1+x^{2})}%
\]
\newline Comme $x^{2}\left(  1+x^{2}\right)  >0,$ le signe de $f^{\prime
}\left(  x\right)  $ est celui de $g\left(  x\right)  .$ On peut donc conclure
que $f$ est croissante sur $\left[  0,\alpha\right]  $ et d\'{e}croissante sur
$\left[  \alpha,+\infty\right[  .$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Pour $x\geqslant1,$ $1+x^{2}\geqslant2,$ donc $\ln\left(  1+x^{2}%
\right)  \geqslant\ln2$ et $f\left(  x\right)  \geqslant0.$\newline Pour
$1\leqslant x$ on a $1\leqslant x^{2}$ et donc $\left(  1+x^{2}\right)
\leqslant2x^{2},$ ce qui entra\^{\i}ne $\ln\left(  1+x^{2}\right)
\leqslant\ln\left(  2x^{2}\right)  .$ Par cons\'{e}quent, on a bien $\frac
{\ln\left(  1+x^{2}\right)  }{x}\leqslant\frac{\ln\left(  2x^{2}\right)  }{x}$
pour tout $x$ de l'intervalle $\left[  1,+\infty\right[  ,$ ce qui \'{e}tablit
la double in\'{e}galit\'{e} demand\'{e}e.

\item Comme
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln\left(  2x^{2}\right)  }{x}=\lim
_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln2+2\ln x}{x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}%
\frac{\ln2}{x}+2\frac{\ln x}{x}=0
\]
en utilisant la limite du formulaire. Le th\'{e}or\`{e}me des gendarmes permet
alors de conclure que $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)
=\allowbreak0.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie III}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie III}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Pour $x>0$, on a $1+x^{2}\geqslant x^{2},$ et donc $\ln\left(
1+x^{2}\right)  \geqslant\ln x^{2}.$ On en d\'{e}duit alors
l'in\'{e}galit\'{e} valable pour tout $x$ strictement positif :
\[
f(x)\geqslant\frac{\ln x^{2}}{x}\geqslant\frac{2\ln(x)}{x}%
\]
\ 

\item On a :
\[
\int_{1}^{x}\frac{2\ln(t)}{t}dt=\left[  \ln^{2}t\right]  _{1}^{x}=\ln^{2}x
\]
Par int\'{e}gration de l'in\'{e}galit\'{e} obtenue \`{a} la question a), on a
pour tout $x\geqslant1$ :
\[
F\left(  x\right)  =\int_{1}^{x}f\left(  t\right)  \,dt\geqslant\int_{1}%
^{x}\frac{2\ln(t)}{t}dt\geqslant\ln^{2}x
\]
Comme $\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln^{2}x=\allowbreak+\infty,$ le
th\'{e}or\`{e}me des gendarmes permet de conclure que $\lim_{x\rightarrow
+\infty}F\left(  x\right)  =\allowbreak+\infty$.
\end{enumerate}

\item Par d\'{e}finition, $F^{\prime}\left(  x\right)  =\allowbreak f\left(
x\right)  $ pour tout $x$ de $\mathbb{R}_{+}.$ Or, on a montr\'{e} dans la
partie pr\'{e}c\'{e}dente que $f$ \'{e}tait croissante sur $\left[
0,\alpha\right]  $ et d\'{e}croissante sur $\left[  \alpha,+\infty\right[  .$
Comme $f\left(  0\right)  =0$ et $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)
=\allowbreak0,$ la fonction $f$ est donc \`{a} valeurs positives, ce qui
entra\^{\i}ne la croissance de la fonction $F$ sur son domaine de
d\'{e}finition.
\[%
\begin{tabular}
[c]{l|lll}%
$x$ & $0$ &  & $+\infty$\\\hline
$F^{\prime}\left(  x\right)  $ &  & $+$ & \\\hline
&  &  & $+\infty$\\
$F\left(  x\right)  $ &  &
%TCIMACRO{\TeXButton{Croissant}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,0){\vector(2,1){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
& \\
& $F\left(  0\right)  $ &  &
\end{tabular}
\]


\item Sur $\left[  1,\alpha\right]  ,$ $f$ est croissante donc $f\left(
1\right)  \leqslant f\left(  x\right)  \leqslant f\left(  \alpha\right)
.$\newline Sur $\left[  \alpha,2\right]  ,$ $f$ est d\'{e}croissante donc
$f\left(  2\right)  \leqslant f\left(  x\right)  \leqslant f\left(
\alpha\right)  .$ \newline On remarque ensuite que $f\left(  1\right)
\simeq0\allowbreak.\,\allowbreak693\,15$ et $f\left(  2\right)  \simeq
0\allowbreak.\,\allowbreak804\,72,$ donc on peut affirmer que pour tout $x$ de
$\left[  1,2\right]  ,$ $f\left(  1\right)  \leqslant f\left(  x\right)
\leqslant f\left(  \alpha\right)  .$ Par int\'{e}gration, on a alors :
\[
\int_{1}^{2}f\left(  1\right)  dt\leqslant\int_{1}^{2}f\left(  t\right)
dt\leqslant\int_{1}^{2}f\left(  \alpha\right)  dt\Rightarrow f\left(
1\right)  \leqslant F\left(  2\right)  \leqslant f\left(  \alpha\right)
\]
Un calcul num\'{e}rique fournit l'encadrement $0.69\leqslant F\left(
2\right)  \leqslant0,8$.

\item
\begin{enumerate}
\item Equation de la tangente \`{a} ($\mathcal{C}$) en O : $y=f^{\prime
}\left(  0\right)  x+f\left(  0\right)  $, soit $y=x,$ et il est imm\'{e}diat
de v\'{e}rifier que $B$ appartient \`{a} cette tangente.

\item Voir la repr\'{e}sentation graphique ci-dessous :%
%TCIMACRO{\FRAME{dtbhF}{3.2197in}{3.2197in}{0pt}{}{}{Include/ex07-f1.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 3.2197in;  height 3.2197in;  depth 0pt;  original-width 3.531in;
%original-height 3.531in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/ex07-f1.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=3.2197in,
width=3.2197in
]%
{Include/i3faxn0x.eps}%
\end{center}
%EndExpansion


\item Remarquons que
\[
F\left(  0\right)  =\allowbreak\int_{1}^{0}\frac{\ln\left(  t^{2}+1\right)
}{t}\,dt=-\int_{0}^{1}\frac{\ln\left(  t^{2}+1\right)  }{t}\,dt
\]
Or, comme la fonction $t\mapsto\frac{\ln\left(  t^{2}+1\right)  }{t}$ est
positive sur $\left[  0,1\right]  ,$ on peut dire que l'int\'{e}grale
$I=\int_{0}^{1}\frac{\ln\left(  t^{2}+1\right)  }{t}\,dt$ repr\'{e}sente
l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses, et les droites
d'\'{e}quation $x=0 $ et $x=1.$ Cette aire est inf\'{e}rieure \`{a} l'aire du
trap\`{e}ze $OIAB,$ dont la valeur est
\[
\frac{1+\left(  1-\ln2\right)  }{2}\times\ln2=\ln2-\frac{1}{2}\ln^{2}2
\]
: et sup\'{e}rieure \`{a} l'aire du triangle $OAI,$ de valeur $\frac{\ln2}%
{2}.$ Par cons\'{e}quent,
\[
\frac{\ln2}{2}\leqslant I\leqslant\ln2-\frac{1}{2}\ln^{2}2
\]
ce qui fournit enfin :
\[
-\ln2+\frac{1}{2}\ln^{2}2\leqslant F\left(  0\right)  \leqslant-\frac{\ln2}{2}%
\]
soit en valeur num\'{e}rique $-0.\,\allowbreak5\leqslant F\left(  0\right)
\leqslant-0.\,\allowbreak3$
\end{enumerate}

\item La tangente \`{a} $\left(  \Gamma\right)  $ a pour coefficient directeur
$F^{\prime}\left(  1\right)  =f\left(  1\right)  =\allowbreak\ln2.$
%TCIMACRO{\FRAME{dtbhF}{5.1257in}{3.1548in}{0pt}{}{}{Include/ex07-f2.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 5.1257in;  height 3.1548in;  depth 0pt;  original-width 3.9998in;
%original-height 2.4517in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/ex07-f2.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=3.1548in,
width=5.1257in
]%
{Include/i3faxn0z.eps}%
\end{center}
%EndExpansion

\end{enumerate}
\end{claim}


\end{document}