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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13121506413598--
%%--Amérique du Sud 1999--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE {\textbf{Amérique Sud 1999 Série S}}\\[0pt]}

{\LARGE {\textbf{Enoncé}}}
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points -Commun à tous les candidats-]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie I}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie I}%
%EndExpansion
Lors de la préparation d'un concours, un éléve n'a étudié que 50 des 100
leçons. On a mis 100 papiers contenant chacun une question dans une urne, ces
questions portant sur des leçons différentes. Le candidat tire simultanément
au hasard 2 papiers.

On donnera les réponses sous forme de fractions irréductibles.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'il ne connaisse aucun de ces sujets ?

\item Quelle est la probabilité qu'il connaisse les deux sujets ?

\item Quelle est la probabilité qu'il connaisse un et un seul de ces sujets ?

\item Quelle est la probabilité qu'il connaisse au moins un de ces sujets ?
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie II}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie II}%
%EndExpansion
On considère maintenant que l'élève a étudié $n$ des 100 leçons. ( $n$ étant
un entier inférieur ou égal à 100).

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité $p_{n}$ qu'il connaisse au moins un de ces
sujets ?

\item Déterminer les entiers $n$ tels que $p_{n}$ soit supérieur ou égal à
0,95.\medskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points -Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité]Les trois
parties I, II, III peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie I}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie I}%
%EndExpansion
Soit $E=\left\{  1;2;3;4;5;6;7;8;9;10\right\}  .$\newline Déterminer les
paires $\left\{  a,b\right\}  $ d'entiers distincts de $E$ tels que le reste
de la division euclidienne de $ab$ par $11$ soit $1$.%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie II}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie II}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $3$.

\begin{enumerate}
\item L'entier $\left(  n-1\right)  !+1$ est-il pair ?

\item L'entier $\left(  n-1\right)  !+1$ est-il divisible par un entier
naturel pair ?
\end{enumerate}

\item Prouver que l'entier $\left(  15-1\right)  !+1$ n'est pas divisible par
$15$.

\item L'entier $\left(  11-1\right)  !+1$ est-il divisible par 11 ?
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie III}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie III}%
%EndExpansion
Soit $p$ entier naturel non premier ($p\geqslant2$).

\begin{enumerate}
\item Prouver que $p$ admet un diviseur $\ q$ ($1<q<p)$ qui divise $\left(
p-1\right)  !.$

\item L'entier $q$ divise-t-il l'entier : $\left(  p-1\right)  !+1$ ?

\item L'entier $p$ divise-t-il l'entier : $\left(  p-1\right)  !+1$ ?\medskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points -Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité-]Le plan
orienté est rapporté au repère orthonormal $\left(  O;\overrightarrow
{u},\overrightarrow{v}\right)  $, l'unité graphique étant 4 cm.\newline On
considère les points $A_{0},$ $A_{1}$ d'affixes respectives :
\[
a_{0}=1\quad a_{1}=e^{i\frac{\pi}{12}}%
\]
Le point $A_{2}$ est l'image du point $A_{1}$ par la rotation $r$ de centre
$O$ et d'angle $\frac{\pi}{12}$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer l'affixe $a_{2}$ du point $A_{2}$ sous forme exponentielle puis
sous forme algébrique.

\item Soit $I$ le milieu du segment $\left[  A_{0}A_{2}\right]  $. Calculer
l'affixe du point $I.$

\item Faire une figure.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Prouver que les droites $\left(  OI\right)  $ et $\left(  OA_{1}\right)
$ sont confondues.

\item Ecrire sous formé trigonométrique l'affixe de $I$.

\item Déterminer $\cos\left(  \frac{\pi}{12}\right)  $ et $\sin\left(
\frac{\pi}{12}\right)  $ ( les valeurs exactes sont exigées), sachant que
\[
\sqrt{4\sqrt{3}+8}=\sqrt{6}+\sqrt{2}%
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 11 points]On considère la fonction numérique $f$ définie sur
$\left]  -\infty,1\right[  $ par :%
\[
f\left(  x\right)  =\frac{2}{\left(  x-1\right)  ^{2}}\,e^{\frac{x+1}{x-1}}%
\]


On désigne par $\Gamma$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté
à un repère orthonormal $\left(  O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)  ,$
l'unité graphique étant 2 cm.%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie I}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie I}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $X=\frac{2}{x-1}.$ Prouver l'égalité :%
\[
\frac{2}{\left(  x-1\right)  ^{2}}e^{\frac{x+1}{x-1}}=\frac{e}{2}X^{2}e^{X}%
\]
En déduire la limite de $f$ quand $x$ tend vers $1.$

\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty.$

\item En déduire une asymptote à la courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Soit $v$ la fonction numérique définie sur $\left]  -\infty,1\right[  $
par :%
\[
v\left(  x\right)  =e^{\frac{x+1}{x-1}}%
\]
calculer $v^{\prime}\left(  x\right)  .$

\item Démontrer que
\[
f^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{-4x}{\left(  x-1\right)  ^{4}}e^{\frac
{x+1}{x-1}}%
\]

\end{enumerate}

\item Etudier les variations de $f$.

\item Tracer la courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie II}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie II}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Déterminer une primitive de $f$ sur $\left]  -\infty,1\right[  .$

\item Soit $\alpha$ réel tel que $0<\alpha<1$, déterminer :%
\[
g\left(  \alpha\right)  =\int_{-\alpha}^{\alpha}f\left(  x\right)  dx
\]


\item Quelle est la limite de $g\left(  \alpha\right)  $ quand $\alpha$ tend
vers 1.

\item Quelle est l'aire en cm$^{2}$ du domaine limité par la courbe de $f,$
l'axe des abscisses, les droites d'équations respectives $x=-\alpha$ et
$x=\alpha.$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie III}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie III}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $f\left(  x\right)  =\frac{1}{2}$ a deux
solutions dont l'une est $-1$. On notera $\beta$ l'autre solution.

\item Donner un encadrement de largeur $10^{-2}$ de $\beta.$
\end{enumerate}

\item Soit $a$ un élément de $\left]  -\infty,1\right[  .$ Déterminer
graphiquement, en fonction de $a$, le nombre de solutions de l'équation
$f\left(  x\right)  =f\left(  a\right)  .$
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}