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\newenvironment{listerd}
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\begin{itemize}
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\DeclareMathOperator{\e}{e}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13120340416008--
%%--Polynésie 1998--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE {\textbf{Polyn\'esie 1998 S\'erie S}}\\[0pt]}{\textbf{Enonc\'e}}
\end{center}

\begin{exercise}
[5 points]Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B
contient 3 boules rouges et deux boules noires.\newline On tire au hasard une
boule de l'urne A :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] si elle est noire, on la place dans l'urne B,

\item[$\bullet$] sinon, on l'écarte du jeu.
\end{itemize}

On tire au hasard ensuite une boule de l'urne B.\newline On considère les
événéments suivants :

R$_{1}$ : " La boule tirée de A est rouge "

N$_{1}$ : " La boule tirée de A est noire "

R$_{2}$ : " La boule tirée de B est rouge "

N$_{2}$ : " La boule tirée de B est noire "

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des événements ${R_{1}}$ et ${N_{1}}$.
\index{Probabilité}%


\item Calculer les probabilités des événements " R$_{2}$ sachant R$_{1}$ " et
" R$_{2}$ sachant N$_{1}$ ". En déduire que la probabilité de ${R_{2}}$ est de
${\displaystyle\frac{27}{50}}$.

\item Calculer la probabilite de ${N_{2}}$.
\end{enumerate}

\item On répète $n$ fois l'épreuve précédente (tirage d'une boule de A, suivie
du tirage d'une boule de B dans les mêmes conditions initiales indiquées
ci-dessus), en supposant les différentes épreuves indépendantes.\newline

Quel nombre minimum d'essais doit-on effectuer pour que la probabilité
d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B soit supérieure à 0,99
?\bigskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points]Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(
O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $ ( unité graphique 2 cm ). On
note A le point d'affixe 1 et B le point
\index{Affixe}%
d'affixe $3+2i$.\newline On appelle $f$ l'application qui, à tout point M
distinct de A et d'affixe $z $, associe le point M' d'affixe $z^{\prime}$
définie par
\index{Application!complexe}
\[
{z^{\prime}=\frac{z-1+2i}{z-1}}%
\]


\begin{enumerate}
\item Calculer les affixes des points O' et B', images respectives des points
O et B par $f$. Placer les points A, O', B et B' dans le plan.

\item
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour tout complexe $z$ différent de 1, le produit
\[
\left(  z^{\prime}-1\right)  \left(  z-1\right)
\]


\item En déduire que, pour tout point M distinct de A, on a :
\[
\text{AM}\times\text{AM'}=2\text{ et }\left(  \overrightarrow{u}%
,\overrightarrow{\text{AM}}\right)  +\left(  \overrightarrow{u}%
,\overrightarrow{\text{AM'}}\right)  \text{=}\frac{\pi}{2}+2k\pi
,\;k\in\mathbb{Z}%
\]

\end{enumerate}

\item Démontrer que, si M appartient au cercle ($C$) de centre A passant par
O, alors M' appartient à un cercle ($C^{\prime}$). En préciser le centre et le
rayon.
\index{Cercle}%
Construire ($C$) et ($C^{\prime}$).

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'angle ${(\overrightarrow{\strut u},\overrightarrow
{\strut\text{AB}})}$.
\index{Angle}%


\item Démontrer que, si M est un point autre que A de la demi-droite ($d $)
d'origine A, passant par B, alors M' appartient à une demi-droite que l'on
précisera.
\index{Demi-droite}%

\end{enumerate}

\item On appelle P le point d'intersection du cercle ($C$) et de la
demi-droite ($d$).\newline Placer son image P' sur la figure.\bigskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 10 points]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection
%*{Partie A: Résolution d'une équation différentielle}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A: Résolution d'une équation différentielle}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item \label{1_oioizza}Déterminer les fonctions définies sur $\mathbb{R}$
solutions de l'équation différentielle (E$_{1}$) :\newline%
\[
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0.
\]
(\textbf{Remarque :} Cette question est désormais hors programme, voir la fin
du problème pour de plus amples informations).

\item On considère l'équation différentielle (E$_{2}$):
\[
y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=x+3.
\]


\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $p$ définie sur $\mathbb{R}$ par $p(x)=x+1$ est
solution de (E$_{2}$).

\item \label{2b_ueuzz}Démontrer qu'une fonction $g$ est solution de (E$_{2}$)
si, et seulement si, la fonction $g-p$ est solution de (E$_{1}$).

\item Déduire des questions \ref{1_oioizza}\textbf{.} et \ref{2b_ueuzz}%
\textbf{.} les solutions de (E$_{2}$)

\item Déterminer la solution générale de (E$_{2}$) qui vérifie :\newline%
\[
g(0)=1 \quad\text{et} \quad g^{\prime}(0)=2.
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection
%*{Partie B: Étude d'une fonction $\boldmath f \unboldmath
%$ et courbe représentative}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B: Étude d'une fonction $\boldmath f \unboldmath
$ et courbe représentative}%
%EndExpansion


On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0,$+\infty$[ par :
\[
f(x)=x+1+xe^{-x}.
\]
On note ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan muni du
repère orthonormal $\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}$
\ (unité graphique 2 cm).
\index{Fonction!exponentielle}%


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $f^{\prime}$ et $f^{\prime\prime}$ désignant respectivement les dérivées
première et seconde de $f$, calculer, pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)$ et
$f^{\prime\prime}(x)$.

\item Etudier le sens de variation de la dérivée $f^{\prime}$.

\item Démontrer que, pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)>0$.

\item Calculer la limite de $f$ en +$\infty$.

\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite ($\mathcal{D}$) d'équation $y=x+1$ est asymptote
à ($\mathcal{C}$) et préciser la position relative de ($\mathcal{D} $) et
($\mathcal{C}$).
\index{Position!relative}%


\item \label{ptA_ouio}La courbe ($\mathcal{C}$) admet en un point A une
tangente parallèle à la droite ($\mathcal{D}$).\newline Déterminer les
coordonnées de A.
\end{enumerate}

\item Démontrer que l'équation de $f(x)=2$ admet sur [0,$+\infty$[ une unique
solution notée $\alpha$ , puis vérifier que $0<\alpha<1$.

\item
\begin{enumerate}
\item Construire la droite ($\mathcal{D}$), le point A défini au
\textbf{\ref{ptA_ouio}.}, la courbe ($\mathcal{C}$) et la tangente en A à la
courbe ($\mathcal{C}$).
\index{Tangente}%


\item Donner par lecture graphique une valeur approchée de $\alpha$.
\index{Valeur!approchée}%

\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection
%*{Partie C: Recherche d'une approximation décimale de $\alpha$}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie C: Recherche d'une approximation décimale de $\alpha$}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Démontrer que, sur [0,$+\infty$[, l'équation : $f(x)=2$ équivaut à
l'équation :
\[
{\frac{e^{x}}{e^{x}+1}=x}%
\]


\item On appelle $h$ la fonction définie sur l'intervalle [0 , 1] par :
\[
h(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}.
\]


\begin{enumerate}
\item Calculer $h^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 , 1] et
réaliser le tableau de variations de la fonction $h$.

\item En déduire que, pour tout réel $x$ de [0 , 1], $h(x)$ appartient à [0 , 1].

\item Calculer $h^{\prime\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ,
1] ; étudier le sens de variations de $h^{\prime}$.
\index{Dérivée!seconde}%


\item En déduire que, pour tout réel $x$ de [0 , 1],
\[
{0\leqslant h^{\prime}(x)\leqslant\frac{1}{4}}%
\]

\end{enumerate}

\item On définit la suite ${(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\text{ par :}\ }$%
\[
{\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
u_{0}=0\\
u_{n+1}=h(u_{n})
\end{array}
\right.  }%
\]
pour tout entier naturel $n$.
\index{Suite!récurrente}%


\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ appartient à
l'intervalle [0 , 1].

\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,
\[
{|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\frac{1}{4}|u_{n}-\alpha|}%
\]


\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,
\[
{|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\left(  \frac{1}{4}\right)  ^{n}}%
\]
puis que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$.

\item Déterminer un entier $p$ tel que $u_{p}$ soit une valeur approchée à
$10^{-6}$ près de $\alpha$ et, à à l'aide de la calculatrice, proposer une
approximation décimale de $u_{p}$ à $10^{-6}$ près. Que peut-on en déduire
pour $\alpha$ ?
\index{Valeur!approchée}%

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Remarque :} La question \textbf{A.1.} n'est plus au programme. Nous
admettrons, pour traiter la suite de la \textbf{partie A}, que les solutions
de l'équation (E$_{1}$) sont les fonctions ${\displaystyle x\mapsto
(Ax+B)e^{-x}}$ \quad(A et B étant des constantes réelles).
\end{exercise}


\end{document}