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[Démonstration]
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\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1308063988568--
%%--QCM sur les complexes--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
On suppose que le plan complexe est muni d'un rep\`{e}re orthonormal direct
$\left(  O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)  $.

Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse \textbf{en
justifiant votre r\'{e}ponse}.

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre $z,$ $\operatorname{Im}(z)$ est un imaginaire pur.

\item Multiplier par $i$ est la m\^{e}me chose que diviser par $-i$.

\item $\sin(\dfrac{\pi}{2}-\theta)+i\cos(\dfrac{\pi}{2}-\theta)$ a pour
argument $\theta$.

\item $z^{3}=1\Leftrightarrow z=1$.

\item Pour tout r\'{e}el $x$ et $y$:%
\[
x^{2}+i(y^{2})\geq0.
\]


\item $\arg\left(  e^{\tfrac{2\pi}{3}}\right)  =\dfrac{2\pi}{3}\quad
\lbrack2\pi]$.

\item $\arg\left(  \dfrac{1-i}{1+i}\right)  =\dfrac{\pi}{2}\quad\lbrack2\pi]$.

\item $\arg\left(  \dfrac{3}{5i}\right)  =\dfrac{3\pi}{2}\quad\lbrack2\pi].$

\item $\arg\left(  e^{i\tfrac{7\pi}{4}}e^{i\tfrac{8\pi}{5}}\right)
=-\dfrac{13\pi}{20}\quad\lbrack2\pi]$.

\item Si $z=e^{i\theta}$ avec $\theta\neq\pi+2k\pi,$ $k\in%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
,$ alors:%
\[
Z=\dfrac{1-z}{1+z}\text{ est un imaginaire pur.}%
\]


\item Pour tout nombre complexe $z:$%
\[
\text{si }\left\vert 1+iz\right\vert =\left\vert 1-iz\right\vert \text{ alors
}z\text{ est un r\'{e}el.}%
\]


\item Pour tout complexe $z:$%
\[
\text{si }z+\dfrac{1}{z}=1\text{ alors }\operatorname{Re}(z)=\dfrac{1}{2}.
\]


\item Le complexe $\left(  1+i\right)  ^{18}$ est imaginaire pur.

\item $\arg(z)=\dfrac{\pi}{2}\quad\lbrack2\pi]\Leftrightarrow z$ est un
imaginaire pur.

\item Pour tout complexe $z\neq0$:%
\[
\arg\left(  \dfrac{z}{\overline{z}}\right)  =0\quad\left[  2\pi\right]
\Leftrightarrow z\in%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{\star+}.
\]


\item Pour tout complexe $z\neq0$:%
\[
\dfrac{\pi}{2}>\arg(z)>-\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow z+\overline{z}>0
\]


\item Les points $A,$ $B$ et $C$ ont pour affixes respectives:%
\[
a=e^{i\theta}\quad;\quad b=e^{i\left(  \theta+\frac{2\pi}{3}\right)  }%
\quad;\quad c=e^{i\left(  \theta-\tfrac{2\pi}{3}\right)  }%
\]
alors $ABC$ est un triangle \'{e}quilat\'{e}ral.

\item Si, au point $M$ d'affixe $z$ on associe le point $M^{\prime}$ d'affixe
$z^{\prime}$ d\'{e}fini par:%
\[
z^{\prime}=\left(  \dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}i\right)  z
\]
alors $M^{\prime}$ est l'image de $M$ par une rotation de centre $O$.

\item Les points $A(a)$ et $B(b)$ sont des points distincts du plan complexe.
Si l'on note $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que:%
\[
\dfrac{z-a}{z-b}\text{ est un r\'{e}el n\'{e}gatif}%
\]
alors $\mathcal{E}$ est la droite $\left(  AB\right)  $ priv\'{e}e de $\left[
AB\right]  $.

\item On donne les points $A(-i)$ et $B(i).$

L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que:%
\[
(z-i)(\overline{z}+i)=(1-i)(1+i)
\]
est le cercle de diam\`{e}tre $\left[  AB\right]  $.

\item Il n'existe pas de triangles \'{e}quilat\'{e}raux dont les sommets sont
\`{a} coordonn\'{e}es enti\`{e}res.

\emph{Aide: raisonner par l'absurde en utilisant une rotation.}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}