%\renewcommand{\theenumi}{\Roman{enumi}}
%\renewcommand{\labelenumiv}{\textbf{\theenumiv.}}

\documentclass{article}%
\usepackage{makeidx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{geometry}
\usepackage{multicol}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{layout}
\usepackage{boxedminipage}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{sectsty}
\usepackage{theorem}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
%TCIDATA{Created=Thursday, August 07, 2003 09:49:52}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, September 02, 2004 21:04:14}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="Articles\SW\DevoirJFil">}
\geometry{
a4paper,
marginpar=2cm,
lmargin=0cm,
rmargin=2cm,
marginparsep=0pt,
includemp=true,
reversemp=true,
nohead=true
}
\theoremheaderfont{\large\bfseries}
{  \theorembodyfont{\large\upshape\mdseries}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
}
\newcounter{Cack}[section]
{   \theorembodyfont{\large\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem  {acknowledgement}[Cack]{A savoir}
}
\newcounter{Calg}[section]
{  \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{algorithm}[Calg]{Méthode}
}
\newcounter{Caxi}[section]
{   \theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{axiom}[Caxi]{Axiome}
}
\newcounter{Ccas}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{case}[Ccas]{Cas}
}
\newcounter{Ccla}[section]
{   \theorembodyfont{\large\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{claim}[Ccla]{Proposition}
}
\newcounter{Cconc}[theorem]
{   \theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{conclusion}[Cconc]{Conclusion}
}
\newcounter{Ccond}[theorem]
{  \theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{condition}[Ccond]{Hypothèse}
}
\newcounter{Cconj}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{conjecture}[Cconj]{Conjecture}
}
\newcounter{Ccor}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{corollary}[Ccor]{Corollaire}
}
\newcounter{Ccrit}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{criterion}[Ccrit]{Critère}
}
\newcounter{Cdef}[section]
\newcounter{Cnot}[section]
{   \theorembodyfont{\large\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{definition}[Cdef]{Définition}
\newtheorem{notation}[Cnot]{Notation}
}
\newcounter{Cexa}[section]
{   \theorembodyfont{\slshape}
\newtheorem{example}[Cexa]{Exemple}
}
\newcounter{Cexe}[section]
\renewcommand{\theCexe}{\Roman{Cexe}}
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exercise}[Cexe]{Exercice}
}
\newcounter{Clem}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{lemma}[Clem]{Lemme}
}
\newcounter{Cprob}[section]
\renewcommand{\theCprob}
{\Roman{Cprob}.}
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{problem}[Cprob]{Problème}
}
{   \theorembodyfont{\large\mdseries}
\newcounter{Cprop}[section]
\theoremstyle{break}
\newtheorem{proposition}[Cprop]{Propriété}
}
\newcounter{Crem}[section]
{   \theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{remark}[Crem]{Remarque}
}
\newcounter{Csol}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{solution}[Csol]{Solution}
}
\newcounter{Csum}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
}
\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}
\newcommand{\LeTitre}{}
\newcommand{\Titre}[1]{\title{#1} \renewcommand
{\LeTitre}{#1}}
\newcommand{\LaClasse}{}
\newcommand
{\Classe}[1]{\renewcommand{\LaClasse} {#1}}
\newcommand{\LaDate}{}
\newcommand
{\Date}[1]{\author{#1}\renewcommand{\LaDate} {#1}}
\renewcommand{\thesection}
{\Alph{section}}
\renewcommand{\thesubsection}
{\thesection\arabic{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}
{\thesubsection.\arabic{subsubsection}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13079356810360--
%%--Nombres complexes en robotique--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


Copyright (c) 2004, Philippe Ivaldi. Le contenu de ce document peut \^{e}tre
redistribu\'{e} sous les conditions \'{e}nonc\'{e}es dans la Licence pour
Documents Libres version 1.1 ou utl\'{e}rieure.\newline%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginExo}{\begin{exercise}%
%[nombres complexes et robotique]}}%
%BeginExpansion
\begin{exercise}[nombres complexes et robotique]%
%EndExpansion
%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2} }}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}
%EndExpansion


Dans la figure ci-contre:

\begin{itemize}
\item $A$ est un point du cercle trigonom\'{e}trique et $\alpha$ est la
mesure, dans $[0;2\pi\lbrack,$ de l'angle $\left(  \overrightarrow
{u};\overrightarrow{OA}\right)  ;$

\item $M$ est un point tel que $AM=l$ o\`{u} $l$ est une longueur fix\'{e}
avec $0<l<1$ et $\alpha^{\prime}$ est la mesure, dans $]-\pi;\pi],$ de l'angle
$\left(  \overrightarrow{OA};\overrightarrow{AM}\right)  .$
\end{itemize}

On sch\'{e}matise ainsi le mouvement plan d'un bras articul\'{e}:

\begin{itemize}
\item le segment $\left[  OA\right]  $ tourne autour du point $O;$

\item le segment $\left[  AM\right]  $ tourne autour du point d'articulation
$A $.
\end{itemize}

%

%TCIMACRO{\FRAME{dtbpFUX}{155.9992pt}{147.2993pt}{0pt}{\Qcb{La donn\'{e}e d'un
%couple $\left(  \alpha;\alpha^{\prime}\right)  $ avec $0\leq\alpha<2\pi$ et
%$-\pi<\alpha^{\prime}\leq\pi$ d\'{e}termine enti\`{e}rement la position du
%point $M;$ un tel couple est appel\'{e}
%\guilsinglleft \guilsinglleft \emph{une commande}%
%\guilsinglright \guilsinglright .}}{}{Figure}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "T";
%width 155.9992pt;  height 147.2993pt;  depth 0pt;  original-width 153.1875pt;
%original-height 144.5625pt;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";
%tempfilename 'Include/hti0ss00.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\fbox{\includegraphics[
height=147.2993pt,
width=155.9992pt
]%
{Include/i3fgz2fz.eps}%
}\\
La donn\'{e}e d'un couple $\left(  \alpha;\alpha^{\prime}\right)  $ avec
$0\leq\alpha<2\pi$ et $-\pi<\alpha^{\prime}\leq\pi$ d\'{e}termine
enti\`{e}rement la position du point $M;$ un tel couple est appel\'{e}
\guilsinglleft \guilsinglleft \emph{une commande}%
\guilsinglright \guilsinglright .
\end{center}
%EndExpansion
%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Repr\'{e}senter la partie du plan que peut atteindre le point $M$
lorsque $l=0.5.$

\item \'{E}valuer l'angle $\left(  \overrightarrow{u};\overrightarrow
{AM}\right)  $ en foction de $\alpha$ et $\alpha^{\prime};$

En d\'{e}duire que l'affixe $z_{M}$ du point $M$ est donn\'{e}e par:%
\[
z_{M}=e^{i\alpha}\left(  1+le^{i\alpha^{\prime}}\right)  .
\]


\emph{(On pourra utiliser le fait que }$z_{M}=z_{\overrightarrow{OM}%
}=z_{\overrightarrow{OA}}+z_{\overrightarrow{AM}}$\emph{)}

\item Soit $r$ le module de $z_{M}$ et $\theta$ l'argument principal de
$z_{M}.$

Montrer que:%
\begin{gather*}
\cos\alpha^{\prime}=\frac{r^{2}-\left(  1+l^{2}\right)  }{2l};\\
\theta=\phi+\alpha\quad\text{avec }\cos\phi=\frac{1+r^{2}-l^{2}}{2r}.
\end{gather*}


\item On suppose que $l=1/2$ et que $P$ est le point du plan de
coordonn\'{e}es polaires $\left[  r_{0}=1.2;\theta_{0}=50%
%TCIMACRO{\unit{\U{b0}}}%
%BeginExpansion
\operatorname{{{}^\circ}}%
%EndExpansion
\right]  .$

Trouver deux commandes permettant de positionner $M$ en $P$ \emph{(ie,
exprimer }$\alpha$ \emph{et }$\alpha^{\prime}$\emph{\ en degr\'{e}s \`{a}
}$0.01$\emph{\ degr\'{e}s pr\'{e}s).}

Faire une figure et expliquer la pr\'{e}sence d'une sym\'{e}trie dans une
partie de la figure.
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndExo}{\end{exercise}}}%
%BeginExpansion
\end{exercise}%
%EndExpansion



\end{document}