\chapterimage{robin}
\chaptertext{ À la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item traduire le lien entre deux quantités par une formule ;
\item pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule :
       \begin{itemize}
        \item identifier la variable et, éventuellement, l'ensemble de définition ;
        \item déterminer l'image d'un nombre ;
        \item rechercher des antécédents d'un nombre ;
        \end{itemize}
\item résoudre graphiquement des inéquations de la forme : $f ( x ) < k$ ; $f ( x ) < g ( x )$.
\end{itemize}}
\chapter{Fonctions}

\newcommand{\f}{\varphi}

\section{Teaser...}

\subsection{Suivez la flèche}

Pour  définir  une fonction,  il  faut  un ensemble  de  départ  et un  ensemble
d'arrivée.  Une 
fonction associe à chaque élément de l'ensemble de départ AU PLUS UN ÉLÉMENT
de l'ensemble d'arrivée.

En fait, une fonction c'est une \textit{flèche} entre deux ensembles... 


\begin{exemple}[Un exemple de fonction]

  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{robin0}
\end{center}
%\end{figure}
\end{exemple}


\subsection{In English}

\textit{Les Euromaths vont traduire :)}

\begin{quote}
{\itshape
  Loosely speaking, a function  is a rule that, for each element in  some set D of
possible  inputs, assigns  a  possible output.  The  output is  said  to be  the
\textit{image}  of   the  input  under   the  function   and  the  input   is  a
\textit{pre-image} of  the input.  The set  D of possible  inputs is  called the
\textit{domain} of the function.

For a function  named $f$, the image of  $q$ under $f$ is denoted  by $f(q)$, we
say that \textit{q maps to r under f}.  The notation for \og q maps to r\fg{} is
$q \mapsto r$.

It is convenient when specifying a  function to specify a \textit{co-domain} for
the function. The co-domain is a set  for which the function's output values are
chosen.

The notation

$$f : D \mapsto F$$

means that $f$ is a function whose domain  is the set D and whose co-domain (the
set of  possible outputs) is the  set F. More briefly  \og a function from  D to
F\fg{} or \og a function that maps D to F\fg{}
}
\end{quote}


\subsection{Les fonctions en informatique}

\subsection{Une fonction qui existe déjà}

Par exemple,  il existe une fonction  Python qui prend  en entrée un mot  ou une
phrase  (ou  plutôt une  \textit{chaîne  de  caractère} ou  \textit{string})  et
renvoie sa longueur. Il s'agit de la fonction \texttt{len}:

\begin{pythoncode}
In [13]: len("abcd")
Out[13]: 4

In [14]: len("")
Out[14]: 0

In [15]: len("I love Maths")
Out[15]: 12
\end{pythoncode}

Le domaine de \texttt{len} est l'ensemble  des objets de type \textit{string} et
le co-domaine est l'ensemble des entiers positifs.

$$\mathtt{len} : \mathtt{String} \mapsto \mathtt{Positive Integer}$$

\subsection{Créons une fonction simple}

On peut créer ses propres fonctions.  Par exemple, créons une fonction qui prend
en entrée  le rayon d'une sphère  et renvoie une approximation  de son volume.On
doit faire attention: le rayon doit être positif:

\begin{pythoncode}
def vol_sphere(rayon:float) -> float:
    assert rayon >0, "Le rayon doit être positif !"
    pi = 3.1415926
    return 4*pi*rayon/3
\end{pythoncode}

Alors par exemple:

\begin{pythoncode}
In [3]: vol_sphere(10)
Out[3]: 41.88790133333333

In [4]: vol_sphere(-3)
---------------------------------------------------------------------------
AssertionError: Le rayon doit être positif !
\end{pythoncode}

Le  domaine  de  \texttt{vol\_sphere}  est l'ensemble  des  nombres  à  virgules
flottantes positifs et le
co-domaine aussi.



$$\mathtt{vol\_sphere} : \mathtt{float} \mapsto \mathtt{float}$$

\subsection{Créons une fonction un peu plus compliquée}

Créons maintenant une  fonction qui prend les longueurs des  côtés d'un triangle
et vérifie si  ce triangle est rectangle. Il suffit  d'utiliser la réciproque du
théorème de Pythagore. On va tester si le  carré de l'un est égal à la somme des
carrés des deux autres.

Comme on crée une fonction qui  doit...fonctionner pour des nombres rentrés dans
n'importe quel ordre.On va donc tester les trois égalités possibles.

La fonction doit nous renvoyer \og Vrai\fg{} ou \og Faux\fg{}. Il existe un type
particulier  pour  ça:  le  type  \texttt{boolean}  qui  ne  contient  que  deux
éléments : \texttt{true} et \texttt{false}.

On doit rentrer le plus grand côté en premier,sinon on renvoie un message d'erreur.

Ensuite on  teste si l'égalité de  Pythagore est vérifiée. On  teste une égalité
avec \texttt{==}:

\begin{pythoncode}
def est_rectangle(hypo:int, c1:int, c2:int) -> bool:
    assert hypo > c1 and hypo > c2, "le plus grand côté doit être rentré en premier"
    return hypo**2 == c1**2 + c2**2
\end{pythoncode}

Alors:

\begin{pythoncode}
In [76]: est_rectangle(5,4,3)
Out[76]: True

In [77]: est_rectangle(5,4,2)
Out[77]: False

In [78]: est_rectangle(10,8,6)
Out[78]: True
\end{pythoncode}


Mais:

\begin{pythoncode}
In [79]: est_rectangle(3,4,5)
---------------------------------------------------------------------------

AssertionError: le plus grand côté doit être rentré en premier
\end{pythoncode}







\section{Qu'est-ce qu'une fonction~?}


\pro ce nom vous est familier...

\sx oui~! Au Collège, nous avons étudié les fonctions linéaires et les
fonctions affines. Ça parle de droites, c'est ça ?

\pro mmmmouais... Il va falloir reprendre depuis le début~! Alors ouvrez
un dictionnaire pour y regarder la définition de \emph{fonction}.

\sx Ouh la la ! Il y en a des tonnes. 

\pro Regardez le quatrième paragraphe.


\sx alors...

\begin{quote}
  {\bf   4.   FONCTION}   n.f.   (de  \emph{fonction   1;   1692}  ) {\bf
    1.} \textit{Math.} Grandeur variable dont la valeur dépend de celle
  qui  est   attribuée  à   une  autre  variable,   dite  \emph{variable
    indépendante}. - {\bf  2.} (1890) \emph{Être fonction de  }, dans la
  langue  usuelle,  se  dit  d'une   chose  dont  la  nature,  le  rôle,
  etc. dépendant d'une  autre chose~:~\emph{Le développement de l'enfant
    est fonction de l'établissement des connexions nerveuses}.)
\end{quote}


\pro Arrêtons-nous  là~! Ces dates  montrent que la  notion mathématique
date  de la  fin du  XVII\eme siècle  (voir le  petit  aparté historique
\vpageref{histoire}) et que cette notion est entrée dans la langue
usuelle deux siècles plus tard.


\sx une notion mathématique est passée dans le langage courant~!


\pro  c'est en  effet  une notion  assez  naturelle~:~il est  facilement
compréhensible que la taille d'un enfant varie \emph{en fonction de } son
âge, que l'on  prépare sa valise \emph{en fonction  de} la destination
de son voyage, que la consommation d'une voiture varie \emph{en fonction
  de} sa vitesse, etc.

D'ailleurs,  nous  ne  donnerons  pas  une  définition  mathématiquement
rigoureuse d'une fonction. Pour cela,  il aurait fallu être habitué à la
notion de  \emph{relation} entre  des ensembles~:~vos parents  y avaient
été initiés dès la maternelle... En parler maintenant risquerait de vous
traumatiser durablement.

\sx vous croyez que je suis plus bête que mes parents, c'est ça~?...

\pro loin de moi cette  idée. Le contenu des enseignements ayant changé,
il faut  adapter nos travaux  d'approche. Nous reviendrons  d'ailleurs à
la  notion  originale, celle  de  \textsc{Leibniz},  celle d'action,  de
mécanisme, de fonctionnement, de dépendance, bref une notion dynamique.


  \begin{definition}[Fonction numérique d'une variable réelle]
    On appelle fonction numérique d'une variable réelle un \og~mécanisme
    mathématique~\fg  qui,  à  tout  nombre  appartenant  à  un  certain
    ensemble appelé \textbf{domaine de définition de la fonction}, associe
    un nouveau nombre, appelé \textbf{image} du nombre initial.
    \end{definition}
  
\textsc{Lagrange}  présenta  cette  idée   d'une  manière  un  peu  plus
sophistiquée comme nous pouvons le découvrir sur le texte de la figure suivante~:


\begin{center}
%\begin{figure}[!h]
  \includegraphics[width=0.6\linewidth]{LagrangeTheorie}% \caption{Extrait
    % de    la    \og~Théorie    des    fonctions    analytiques~\fg    de
    % \textsc{Lagrange}}
 \label{lagrange}
%\end{figure}
\end{center}


Nous  ne pouvons vraiment  définir la  notion de  \og~mécanisme~\fg mais
elle  est assez  parlante pour  vous aider  à comprendre  ce  qu'est une
fonction.

  \begin{exemple}[]
    Considérons par exemple  la fonction qui à tout  nombre réel associe
    le  carré de  son double  auquel  on ajoute  dix-huit. Calculez  les
    images de 7, $-\frac{5}{2}$, $\sqrt{3}$.
    \end{exemple}
 

\sx voyons  si j'ai bien compris~:~je  pars de 7, je  prends son double,
c'est-à-dire 14, je  l'élève au carré ce qui donne  196 puis j'ajoute 18
et j'obtiens 214. L'image de 7 par cette fonction est donc 214.

\pro parfait~! Il ne reste plus qu'à traiter les autres cas.

\sx pas de problème~!

\begin{itemize}
\item \dotfill
\item \dotfill
\item \dotfill
\item \dotfill
\end{itemize}


\pro nous  avons ici défini  une fonction qui transforme  n'importe quel
nombre réel en un autre suivant un mécanisme décrit par une phrase.

Nous pouvons également décrire cette fonction en utilisant des notations
mathématiques  utilisées   depuis  qu'elles  ont   été  introduites  par
\textsc{Lagrange}.

Détaillons   \emph{algébriquement}   la   transformation   d'un   nombre
quelconque $n$~:

\begin{itemize}
\item on prend le double de $n$ qui devient donc $2n$~;
\item on élève ce double au carré~:~on obtient $(2n)^2$~;
\item on ajoute au nombre précédent 18~:~on obtient finalement $(2n)^2+18$.
\end{itemize}

Ainsi, la fonction  étudiée transforme un nombre réel  quelconque $n$ en
$(2n)^2+18$.

Donnons un nom à cette fonction, par exemple $\varphi$.


\sx c'est quoi cette lettre~?

\pro c'est la lettre grecque  \og~phi~\fg... comme fonction. Le choix de
la lettre  n'est pas important.  On prend celle  qu'on veut. On  peut se
mettre d'accord si vous voulez  d'utiliser des lettres grecques pour les
fonctions  pour les  distinguer  des nombres  désignés  par des  lettres
romaines  mais ce  n'est pas  obligatoire  et il  n'existe aucune  règle
générale. Sachez que quand  \textsc{Lagrange} a introduit ses notations,
il a  utilisé $f$ pour la  fonction et $x$  pour la variable et  que cette
habitude est restée mais ce n'est qu'une habitude.


\sx vous savez, moi et l'alphabet grec....

\pro  $\alpha$ $\beta$ $\gamma$  $\delta$ $\varepsilon$  $\zeta$ $\eta$
$\theta$ $\iota$ $\kappa$  $\lambda$ $\mu$ $\nu$ $\xi$ o  $\pi$ $\rho $
$\sigma$ $\tau$ $\upsilon$ $\varphi$ $\chi$ $\psi$ $\omega$...
 

\bigskip


Revenons à notre problème. Il est d'usage
d'écrire~:

\[
\varphi~:~n\longmapsto (2n)^2+18
\]

la  petite flèche  traduisant  l'idée dynamique  de transformation  d'un
nombre en un autre. Notez que  cette flèche commence avec un petit trait
vertical.  C'est une  habitude pour  la distinguer  des autres  types de
relations désignés par des flèches.


On peut aussi préciser les ensembles avec lesquels on travaille~:


\[\varphi \colon\begin{array}{rll} \bbr&\longrightarrow &[0, +\infty[ \\ n & \longmapsto &\varphi(n)=(2n^2)+18 \end{array}\]

qui se  lit~:~\og~la fonction  $\varphi$ qui va  de $\bbr$  dans l'intervalle
$[0, +\infty[$ et qui à un nombre $n$ associe le nombre $(2n)^2+18$.

\medskip

Voici une variante~:



\[
n \stackrel{\varphi}{\longmapsto} (2n)^2+18
\]

On a plutôt l'habitude d'écrire~:

\[\varphi(n)=(2n)^2+18\] 

Le \og~$\varphi(n)$~\fg  se lisant \og~phi  de n~\fg et désignant  l'image du
nombre  $n$ par la  fonction $\varphi$.  Il ne  faudra surtout  pas confondre
cette  écriture   avec  une   quelconque  multiplication  de   $\varphi$  par
$n$. J'avoue que l'écriture est  ambiguë mais le contexte nous permettra
de distinguer les cas.



Par exemple, ici, on peut noter~:



\[
\varphi~:~7\longmapsto 214
\]


ou


\[
7 \stackrel{\varphi}{\longmapsto}214
\]

ou encore


\[\varphi(7)=214\]

Avec Python:

\begin{pythoncode}
def phi(n:float) -> float:
    return (2*n)**2 + 18

In [1]: phi(7)
Out[1]: 214
\end{pythoncode}




Faites de même avec les deux autre exemples.



  \begin{Idee}[Un peu d'histoire...]\label{histoire}
    D'abord une  date~:~1692. C'est en effet cette
année-là que Wilhelm \textsc{Leibniz}(1646-1716) introduisit officiellement le terme de
\emph{fonction}      du      latin     \emph{functio}~:~accomplissement,
exécution qui a donné en français \emph{fonctionnement}. La notation que nous utilisons actuellement, à savoir $f(x)$
qui  désigne l'image  de $x$  par la  fonction $f$  a été  introduite un
siècle plus  tard par Joseph-Louis de  \textsc{Lagrange} (1736-1813) dans
sa  \og~Théorie des fonctions  analytiques~\fg parue  en 1797  dont vous
pouvez voir un extrait à la \vpageref{lagrange}.

Pendant longtemps, $f(x)$ désigna  aussi bien une fonction que l'image
d'un nombre $x$  par cette fonction. À partir de  1940, suite au travail
du groupe  de mathématiciens  français \textsc{Bourbaki}, c'est  $f$ qui
désigne  la fonction  et $f(x)$  ne désigne  que l'image  de $x$  par la
fonction $f$.

Au  lieu de  $f(x)$,  on notait  souvent  avant \textsc{Lagrange}  $f_x$
l'image  de  $x$  par  la   fonction  $f$.  Cette  notation  est  restée
aujourd'hui pour  désigner un cas particulier de  fonctions, les suites,
que vous étudierez en classe de 1\ere.
    \end{Idee}
  





\pro  avec nos  notations,  nous pouvons  réécrire  notre définition  et
préciser quelques notations~:

  \begin{definition}[Fonction~:~notation et vocabulaire]
    Soit $\DR_{\varphi}$ un ensemble.  Une fonction $\varphi$ est un \og~mécanisme
    mathématique~\fg  qui à  tout  nombre $n$  appartenant à  $\DR_{\varphi}$
    associe le nombre $\varphi(n)$ appelé \textbf{image} de $n$ par $\varphi$.

On note~:

\[\varphi \colon\begin{array}{rll} \DR_{\varphi}&\longrightarrow &\bbr \\ n & \longmapsto &\varphi(n) \end{array}\]
    
On appelle $\DR_{\varphi}$ l'\textbf{ensemble de définition} de $\varphi$.

Le nombre $n$ est \textbf{UN antécédent} de $\varphi(n)$ par $\varphi$.

\end{definition}
 
\section{Différentes représentations d'une fonction}


Étudions  cette fois  la fonction  $\psi$ qui  à un  nombre $n$ associe $n\cdot(n+1)\cdot(n-2)$~:

\[\psi \colon\begin{array}{rll}\bbr &\to &[0\pv +\infty[ \\ n & \mapsto & n\cdot(n+1)\cdot(n-2)\end{array}\]


Par exemple, $\psi(2)=......$, $\psi(0,5)=......$, $\psi(-2)=......$

%\pagebreak

\subsection{Diagramme sagittal}
On  peut   représenter  la  situation  à   l'aide  d'un  \emph{diagramme
  sagittal}~:



\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{diagram.43}
\end{center}




Alors~:

\begin{multicols}{2}

$2$ a pour image ........

$-1$ a pour image ........

$0,5$ a pour image ........

$-2$ a pour image ........

$880$ a pour antécédent ........

$-1,125$ a pour antécédent ........

0 a pour antécédent ........
\end{multicols}
\subsection{Tableau de valeurs}


On aurait pu opter pour un \emph{tableau de valeurs}~:



\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.8\textwidth}{Y{6}}
	     \whline
$n$&$-3$&$-2$&$-1$&0&1&2&3\\
\hline
$\psi(n)$&&&&&&&\\
             

             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}



\subsection{Utilisation de la machine}

Ici les  calculs peuvent être effectués  de tête mais  dans certains cas
l'usage de la machine rendra bien des services.

Comment obtenir le tableau ci-dessus avec une CASIO ou une TI~?

% \subsubsection{Avec les CASIO}


% On appuie sur \keystroke{MENU} puis on sélectionne {\LARGE \CTable}

% \begin{center}
%   \includegraphics[height=4cm]{table}
% \end{center}


% On peut effectuer des réglages en sélectionnant [RANG]~:



% \begin{center}
%   \includegraphics[height=4cm]{rang}
% \end{center}

% \texttt{Start} et  \texttt{End} ne sont  pas des mots trop  compliqués à
% comprendre...  Quant à  \texttt{Pitch},  il correspond  au pas  régulier
% entre chaque valeur des nombres dont on veut connaître l'image.


% On entre alors la formule correspondant à la fonction étudiée. Ici~:

% \begin{center}
%   \keystroke{X,$\theta$,T}     \keystroke{(}    \keystroke{X,$\theta$,T}
%   \keystroke{+}      \keystroke{1}      \keystroke{)}      \keystroke{(}
%   \keystroke{X,$\theta$,T} \keystroke{$-$}  \keystroke{2} \keystroke{)} \keystroke{EXE}
% \end{center}

% \begin{center}
%   \includegraphics[height=4cm]{tablef}
% \end{center}

% On obtient le tableau sur deux colonnes~:


% \begin{center}
%   \includegraphics[height=4cm]{tablev}
% \end{center}


% Pour calculer l'image d'une valeur n'intervenant pas dans le tableau, on
% met  en  surbrillance une  valeur  et on  la  remplace  par la  nouvelle
% valeur. Par exemple, pour obtenir l'image  de $-2,5$ à la place de celle
% de $-1$ on peut faire~:

% \begin{center}
%   \includegraphics[height=4cm]{dbltable}
% \end{center}


% % \pagebreak

\subsubsection{Avec les CASIO}


On      va     sur      le     menu      \menu{TABLE}{black}.



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{Table1}
\end{center}
%\end{figure}


 On      rentre
 \function{Yequal}
 \key[scale=1.5]{XthetaT}
 %\key[scale=1.5]{times}
 \key[scale=1.5]{openparen}
 \key[scale=1.5]{XthetaT}
 \key[scale=1.5]{plus}
 \key[scale=1.5]{1}
 \key[scale=1.5]{closeparen}
 %\key[scale=1.5]{times}
 \key[scale=1.5]{openparen}
 \key[scale=1.5]{XthetaT}
 \key[scale=1.5]{minus}
 \key[scale=1.5]{2}
 \key[scale=1.5]{closeparen}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{Table2}
\end{center}
%\end{figure}


On tape sous  \function{SET-b} sur la touche \key[scale=1.5]{F5}  pour régler le
début, la fin et le pas de la table:


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{Table3}
\end{center}
% \end{figure}

On sort avec \key[scale=1.5]{EXIT}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{Table4}
\end{center}
%\end{figure}




% On sort avec \key[scale=1.5]{MENU} puis on va sur \menu{GRAPH}{black} pour avoir
% le tracé.


% On peut régler la fenêtre avec \key[scale=1.5]{SHIFT}\function{VWIN-b} puis
% \begin{itemize}
% \item \texttt{Xmin : -6}
% \item \texttt{Xmax : 6}
% \item \texttt{Ymin : -3}
% \item \texttt{Ymax : 3}
% \end{itemize}



% %\begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=4cm]{Table5}
% \end{center}
% %\end{figure}




\subsubsection{Avec les TI}

Vérifier que vous êtes dans le bon mode en tapant sur \keystroke{mode}~:

\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{mode}
\end{center}

Taper ensuite  sur \keystroke{$f(x)$} et  entrer la fonction:


\begin{center}
  \keystroke{$x$,$t$,$\theta$,$n$}     \keystroke{(}    \keystroke{$x$,$t$,$\theta$,$n$}
  \keystroke{+}      \keystroke{1}      \keystroke{)}      \keystroke{(}
  \keystroke{$x$,$t$,$\theta$,$n$} \keystroke{$-$}  \keystroke{2} \keystroke{)} \keystroke{entrer}
\end{center}



\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{fonc}
\end{center}


Il  s'agit   ensuite  d'effectuer   quelques  réglages  en   allant  sur
\keystroke{2nde} [déf table]~:


\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{def}
\end{center}



Les  deux  premières lignes  sont  faciles  à  utiliser. Pour  les  deux
dernières, on les réglera selon nos besoins. 


Si on laisse en mode \texttt{Auto}, on a notre tableau avec un pas régulier~:

\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{auto}
\end{center}


Le mode \texttt{Dem}  est le mode manuel. En  le mettant en surbrillance
pour \texttt{Valeurs}, on obtient cet écran~:

\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{dem}
\end{center}

Il  suffit alors  de  taper dans  la  première colonne  les valeurs  des
nombres dont on veut connaître l'image.



\subsection{Représentation graphique}

\subsubsection{Lecture d'une courbe}

  \begin{exemple}[]
Ivan \textsc{Ivanov}, un dissident Bordure, décide de passer clandestinement la frontière
borduro-syldave   en    empruntant   un   tunnel    construit   par   la
résistance.  Malheureusement, le  réseau a  été infiltré  par  la police
Bordure qui  a placé une  balise GPS sur  Ivan ce qui  permet de
suivre son cheminement. Voici le tracé obtenu par les Bordures qui donne
à chaque instant l'altitude en mètres d' Ivan en fonction du temps
$t$  exprimé en minutes  sachant que  $t=0$ correspond  au passage  de la
frontière~:


% \begin{center}
  
% \begin{pro-courbebezier}{1}
% [[-10,10],[-8,3],[-4,12],[-2,0],[0,-10],[3,0],[5,8],[6,7],[8,12]],-11,9,-11,13,14,10,1,1,1,1,3,[["croix"]]
% \end{pro-courbebezier}

% \end{center}





En  utilisant ce  graphique, répondez  aux questions  suivantes  avec la
précision permise par le tracé.
    
    \end{exemple}
  
\begin{enumerate}
\item Combien de temps Ivan a-t-il passé sous terre~?

\dotfill


\item Combien de temps a-t-il mis pour atteindre la frontière~?

\dotfill


\item Combien de fois s'est-il trouvé à 11 mètres d'altitude~?

\dotfill


\item À quel instant se trouvait-il à 12 mètres d'altitudes~?

\dotfill

\item À quelle hauteur se trouvait-il 6 minutes après avoir passé la frontière~?

\dotfill




\item Résumez le  parcours d'Ivan dans un tableau  où vous figurerez par
  une  flèche vers le  haut les  périodes où  Ivan a  grimpé et  par une
  flèche vers le bas les périodes où Ivan a descendu.

\vspace{4cm}


\item Résumez le  parcours d'Ivan dans un tableau  où vous figurerez par
  un + les périodes  où Ivan a été au-dessus du niveau  de la mer et par
  un $-$ les périodes où Ivan a été en-dessous du niveau de la mer.


\vspace{4cm}


\end{enumerate}


Voilà à quoi se résume ce qui vous est demandé de savoir faire en classe
de 2\up{nde} sur la lecture graphique...

\subsubsection{Représentation graphique d'une fonction~:~un exemple}


  \begin{exemple}[]
    Des savants syldaves ont mis au point une formule donnant la hauteur $h$
    du gazon  du jardin du Guide  Suprême en centimètres  en fonction du
    temps $t$ en année écoulé depuis la Grande Révolution~:

\[h(t)=\frac{t^3}{3}-2t^2+3t+10\]


    \end{exemple}




    
  \begin{enumerate}
  \item Complétez le tableau suivant~:
{\tiny
\begin{center}
             \begin{tabularx}{\linewidth}{Y{17}}
	     \whline
         $t$&0&0,25&0,5&0,75&1&1,25&1,5&1,75&2&2,25&2,5&2,75&3&3,25&3,5&3,75&4&4,25\\
\whline
$h(t)$ &&&&&&&&&&&&&&&&&&\\   

             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}
}


\item  Placez   dans  le  repère  suivant  les   points  de  coordonnées
  $(t,h(t))$,  en  remplaçant  $t$  par  les valeurs  du  tableau.  Vous
  marquerez les points par une croix~:



  \begin{center}
    \begin{pro-repere}{1}
0,5,9,13.5,14,5.5,1,1,.25,.5,[]
\end{pro-repere}

  \end{center}

\item Que se passe-t-il à votre avis «~entre les croix~»~?



  \end{enumerate}

\subsubsection{Représentation graphique d'une fonction~:~le cours}

  \begin{definition}[représentation graphique d'une fonction]
    Soit  $\varphi$ une  fonction définie  sur un  ensemble $\DR_{\varphi}$  et un
    repère (O,I,J). 

On appelle {\bf représentation graphique de la fonction} $\varphi$ l'ensemble
des points de coordonnées $\bigl(t\pv \varphi(t)\bigr)$, avec $t\in\DR_{\varphi}$.

On note souvent cet ensemble $\bigl(\CR_{\varphi}\bigr)$
    \end{definition}



\begin{center}
% \psset{unit=.9cm}
% \pspicture(-4,-4)(4,4)
% \psline{->}(-4,0)(4,0)
% \psline{->}(0,-4)(0,4)
% %\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(1,0)(0,0)(0,1)
% %\uput[d](0.5,0){$\ve{\imath}$}
% %\uput[l](0,0.5){$\ve{\jmath}$}
% \uput[dl](0,0){$O$}
% %\uput[u](3,0){abscisses : $x$}
% \psplot[linecolor=blue]{-3.5}{3.5}{x 2 add x 2 neg add mul x mul 8 div}
% \psdot(3,1.875)
% \uput[r](3,1.875){$\bigl(t\pv \varphi(t)\bigr)$}
% \psline[linestyle=dashed](3,1.875)(0,1.875)
% \psline[linestyle=dashed](3,1.875)(3,0)
% \uput[d](3,0){$t$}
% \uput[l](0,1.875){$\varphi(t)$}
% %\rput[d]{90}(-0.35,3){ordonnées : $f(x)$}
% \uput[u](-3,0){\textcolor{0.6white}{antécédents}}
% \rput[d]{90}(0.35,3){\textcolor{0.6white}{images}}
% \uput[r](-3,-1.875){\textcolor{blue}{$\bigl(\CR_{\f}\bigr)$}}
% \endpspicture


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.6\linewidth]{images}
\end{center}
%\end{figure}


  
\end{center}

              \begin{DANGER}
              Une courbe peut être... une droite. En effet, vous avez vu
              l'année  dernière  que   la  courbe  représentative  d'une
              fonction affine était une droite. Nous en reparlerons plus tard.
               \end{DANGER}
              


\section{Résolution d'équations et d'inéquations}

\subsection{Résolution graphique d'équations}


Nous ne savons résoudre que  très peu d'équations algébriquement (par le
calcul). Par exemple, nous ne savons pas résoudre sur $[0\pv 4]$ l'équation~:

\[\frac{x^3}{3}-2x^2+3x+10=11\]

Mais nous  savons tracer  à peu près  la représentation graphique  de la
fonction \[\varphi\colon\begin{array}{rll} [0\pv 4] &\to & \bbr\\ t & \mapsto &\frac{t^3}{3}-2t^2+3t+10 \end{array}\]


Nous savons aussi tracer la représentation graphique de la fonction~:

\[\psi\colon\begin{array}{rll} [0\pv 4] &\to & \bbr\\ t & \mapsto &11 \end{array}\]

Regroupons les deux représentations sur un même graphique (il en manque une...)~:


% \begin{center}
%   \begin{pro-courbefn}{1}
%  [x^3/3-2*x^2+3*x+10,"bleu",[0,4,"ff"]],  // expression,couleur,optionnel(intervalle, bornes)
%  0,4.5,9.5,12,       //xmin,xmax,ymin,ymax,
%  4.5/14,2.5/6,1,1,.25,.5,      //ux,uy,cx,cy,gx,gy,
%  [                 // ----------------- debut des options
%  ]               // ----------------- fin des options
% \end{pro-courbefn}
% \end{center}


Un point situé à l'intersection de ces deux courbes...  appartient à ces
deux courbes donc ses coordonnées sont de la forme~:
\begin{itemize}
\item d'une part  $(t,\frac{t^3}{3}-2t^2+3t+10)$ car il appartient à
  $(\CR_{\f})$~;
\item d'autre part $(t,11)$  car il appartient à
  $(\CR_{\psi})$.
\end{itemize}

Alors $\frac{t^3}{3}-2t^2+3t+10=11$ donc l'abscisse $t$ de ce
point est une solution de l'équation $\frac{x^3}{3}-2x^2+3x+10=11$

On peut  donc lire  les solutions de  l'équation sur  le graphiques~:~ce
sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

Ici, on trouve trois solutions~: $x_1\approx.....$, $x_2\approx.....$ et
$x_3\approx.....$.




\subsection{Résolution graphique d'inéquations}



C'est  un  peu  le  même  problème que  pour  les  équations.  Reprenons
l'exemple précédent.  Nous ne savons toujours pas résoudre sur $[0\pv 4]$ l'inéquation~:

\[\frac{x^3}{3}-2x^2+3x+10\leqslant11\]

Mais nous  savons tracer  à peu près  la représentation graphique  de la
fonction \[\f\colon\begin{array}{rll} [0\pv 4] &\to & \bbr\\ t & \mapsto &\frac{t^3}{3}-2t^2+3t+10 \end{array}\]


Nous savons aussi tracer la représentation graphique de la fonction~:

\[\psi\colon\begin{array}{rll} [0\pv 4] &\to & \bbr\\ t & \mapsto &11 \end{array}\]

Regroupons les deux représentations sur  un même graphique (il en manque
toujours une...) et plaçons les trois solutions trouvées précédemment~:


\begin{multicols}{2}
  
  \includegraphics[width=.85\linewidth]{Fonc1}
  
 \includegraphics[width=.85\linewidth]{Fonc2}

 \includegraphics[width=.85\linewidth]{Fonc3}

 \includegraphics[width=.85\linewidth]{Fonc4}
\end{multicols}


Un point de $\CR_{\varphi}$ dont  l'abscisse $t$ est située dans l'intervalle
$[0\pv  x_1]$ est  au-dessous du  point  de $\CR_{\psi}$  ayant la  même
abscisse.

L'ordonnée $\varphi(t)$ du premier est donc inférieure à l'ordonnée $\psi(t)$
du second.

Ainsi,  quelque   soit  $t\in[0\pv  x_1]$,  on   a  $\varphi(t)\leqslant  \psi(t)$,
c'est-à-dire $\frac{x^3}{3}-2x^2+3x+10\leqslant11$.  L'intervalle $[0\pv x_1]$
est donc inclus dans l'ensemble des solutions de l'inéquation.

Trouvez l'autre intervalle qui  est inclus dans l'ensemble des solutions
de l'inéquation.

\bigskip

Résolvez alors l'inéquation sur $[0\pv 4]$ :



              \begin{DANGER}
              Ces méthodes de résolutions d'équations et d'inéquations présentent deux gros
              inconvénients~:

              \begin{itemize}
              \item on n'obtient  que des APPROXIMATIONS des solutions.
                Pour  vérifier  s'il  s'agit réellement  d'une  solution
                exacte, il faut effectuer un calcul~;
\item  on  ne  peut  lire  que  les  approximations  des  solutions  qui
  apparaissent dans la «~fenêtre~» affichée.  On ne peut donc pas savoir
  s'il en existe d'autres ailleurs.
              \end{itemize}

Cependant, ces méthodes présentent  l'avantage de pouvoir localiser à peu
près des solutions d'équations et d'inéquations que nous ne savons pas (encore) résoudre
algébriquement.
               \end{DANGER}
               



\subsection{Résolution algébrique d'équations}


Nous sommes en Seconde donc nous ne savons résoudre qu'un type d'equation:

$$ax + b = 0$$

N'oubliez pas que  résoudre une équation, c'est trouver  les éventuelles valeurs
de l'inconnue qui vérifient l'égalité.


On appelle  ce genre d´équation  une \textit{équation  du premier degré}  car la
plus haute puissance à laquelle est élevée l'inconnue est 1.

Si vous n'êtes pas confronté à une  équation du premier degré, il faut tenter de
s'y ramener.

Par exemple,  soit $f$ la  fonction $x\mapsto  x^2$. On cherche  les antécédents
éventuels de 5 par $f$.

On doit donc résoudre l'équation $f(x)=5$, c.a.d.

$$x^2 = 5$$

Ouh la la, mais c'est une équation du  second degré, on ne sait pas faire, c'est
un méchant prof qui nous pose des problèmes de 1ère...quoique...

Essayons  de  nous ramener  à  un  cas connu.  J'ai  déjà  été confronté  à  des
expressions du second degré dans ma jeunesse...Bon  sang ! Mais c'est bien sûr !
Les identités remarquables ! Ah, c'était  le bon temps, on répétait bêtement des
formules pendant des heures, sans chercher à réfléchir...

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

$$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)(a+b)$$

...Mais !...Cela nous  permet de passer du  second au premier degré  ! Oui mais,
quel rapport avec mon problème?

$$x^2=5 \text{ si, et seulement si, } x^2 - 5 = 0$$

et 5,  ce n'est pas  un carré :-(  ah mais  si :-) $5  = \sqrt{5}^2$ donc  je me
ramène à résoudre l'équation:

$$x^2 - \sqrt{5}^2 = 0$$

c.a.d.

$$(x- \sqrt{5})(x + \sqrt{5})= 0$$

Et là, une autre tarte à la crème  du collège: on a deux nombres dont le produit
est nul, cela signifie que l'un des deux au moins vaut zéro! (vous n'êtes pas de
ceux qui pensent ue c'est pareil pour tout  autre nombre : si le produit de deux
nombres vaut  4, c'sst  que l'un au  moins des  deux vaut 4  ?...Meu non  ! Vous
n'êtes pas de ces gens qui ne réfléchissent pas !)


$$
x - \sqrt{5} = 0 \text{ ou } x + \sqrt{5} = 0
$$

Deux problèmes du second degré que l'on sait résoudre et on trouve bien:

$$x = \sqrt{5} \text{ ou } x = - \sqrt{5}$$


Bon,   on  aurait   pu   aussi   réfléchir  à   la   notion  de   \textit{racine
  carrée}. Résoudre $x^2=5$  c'est chercher les nombres dont le  carré vaut 5 et
on sait qu'il en existe deux, $\sqrt{5}$ et $-\sqrt{5}$....


\begin{recherche}
  Que se passe-t-il si on doit résoudre $(x+2)^2 = 5$?
\end{recherche}


Il y a aussi un autre cas qui peut être étudé au collège:

$$x^2 + 4x + 4 = 0$$


\begin{recherche}
  Comment faire?
\end{recherche}


Et puis il y a des petites  surprises...Si on nous les propose en Seconde, c'est
qu'on nous aidera pour retrouver un cas connu.

Pour régler les problèmes du style $7x^2 -  123x + 1678 = 0$, on attendra d'être
en première...


%\pagebreak

% \geqslantction{Variations d'une fonction}



% \subsection{Définitions}






%   \begin{definition}[fonctions croissantes et décroissantes sur un intervalle]
%     Soit $\varphi$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ est
% dite \begin{itemize}
% \item \emph{croissante} si, et seulement si, quels que soient les réels $t_1$ et $t_2$ dans $I$
% vérifiant $t_1\leqslant t_2$, leurs images par $\varphi$ vérifient aussi
% $\varphi(t_1)\leqslant \varphi(t_2)$ ;
% \item \emph{décroissante} si, et seulement si, quels que soient les réels $t_1$ et $t_2$ dans $I$
% vérifiant $t_1\leqslant t_2$, leurs images par $\varphi$ vérifient aussi
% $\varphi(t_1)\geqslant \varphi(t_2)$.
% \end{itemize}
%     \end{definition}

% Autrement dit, une fonction croissante est une fonction qui
% conserve l'ordre et une fonction décroissante est une fonction qui
% l'inverse.\\ On parle de fonction \emph{strictement croissante} si
% $t_1<t_2$ implique $\varphi(t_1)<\varphi(t_2)$ et \emph{strictement
% décroissante} si $t_1<t_2$ implique $\varphi(t_1)>\varphi(t_2)$.

% Graphiquement,  la  courbe   représentative  d'une  fonction  croissante
% «~monte~»  de  la  gauche  vers   la  droite  et  celle  d'une  fonction
% décroissante «~descend~».

%   \begin{exemple}[]
%     Déterminer \emph{graphiquement} le sens de variation de la fonction $\varphi\colon\begin{array}{rll}
%   [0\pv      4]      &\to       &      \bbr\\      t      &      \mapsto
%   &\frac{t^3}{3}-2t^2+3t+10 \end{array}$ étudiée précédemment.
%     \end{exemple}






% \vspace{4cm}








%   \begin{definition}[fonction constante]
%     Une fonction $\varphi$ est \emph{constante} sur un intervalle $I$ de $\R$
%     si, et seulement si, 
% quels que soient réels $t_1$ et $t_2$ dans $\R$, $\varphi(t_1)=\varphi(t_2)$.
%     \end{definition}
 

%     \begin{definition}[fonction monotone]
%       Une fonction est monotone sur un intervalle I si, et seulement si,
%       elle est soit toujours  croissante, soit toujours décroissante sur
%       cet intervalle.
%       \end{definition}
    




% %\pagebreak

%       \begin{definition}[extremum local]
%         Soit $\varphi$ un fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$.


% Un réel $M$ est un \emph{maximum local} d'une fonction $\varphi$ sur un
% intervalle $J$ inclus dans $I$ si pour tout élément $t$ de $J$ on a
% $$\varphi(t)\leqslant M$$
%  C'est l'ordonnée du point le plus haut de la courbe
% représentative de $f$ sur l'intervalle $J$.

% \smallskip

%  Un réel $m$ est un
% \emph{minimum local} d'une fonction $\varphi$ sur un intervalle $J$ inclus
% dans $I$ si pour tout élément $t$ de $J$ on a $$\varphi(t)\geqslant m$$ 
%  C'est
% l'ordonnée du point le plus bas de la courbe représentative de $\varphi$
% sur l'intervalle $J$.
%         \end{definition}
     

%         \begin{exemple}[]
%           Déterminez \emph{graphiquement} les extrema locaux de la fonction $\varphi\colon\begin{array}{rll}
%   [0\pv      4]      &\to       &      \bbr\\      t      &      \mapsto
%   &\frac{t^3}{3}-2t^2+3t+10 \end{array}$ étudiée précédemment.

%           \end{exemple}
       

% \subsection{Tableau de variation}

% On représente parfois les variations d'une fonction par un
% tableau. La première ligne contient les valeurs importantes de la
% variable $t$, c'est à dire les bornes de l'intervalle de définition
% et les valeurs pour lesquelles le sens de variation change. La
% seconde ligne expose les variations de la fonction par des flèches
% et les images, si elles existent, des nombres présents dans la
% première ligne. En première, on y fera aussi apparaître les
% \emph{limites} de la fonctions.


% Par exemple, en reprenant une nouvelle fois la fonction $\varphi\colon\begin{array}{rll}
%   [0\pv      4]      &\to       &      \bbr\\      t      &      \mapsto
%   &\frac{t^3}{3}-2t^2+3t+10 \end{array}$

% \begin{center}
%   \begin{TV}{100}
%     TV([0,4],[],"f","t",x^3/3-2*x^2+3*x+10,0,n,\tv)
%     \end{TV}
%   \end{center}


\modeexercice


\section{EXERCICES}



\begin{pyxercice}
Définissez une fonction Python qui prend  en entrée les dimensions d'un rectangle
et qui calcule son périmètre puis une autre qui calcule son aire.
\end{pyxercice}


\begin{pyxercice}
  Documentez-vous sur le code ASCII.
  
  Étudiez les fonctions  Python \texttt{ord} et \texttt{chr}  sachant qu'en gros
  \texttt{ord}  renvoie  le  code  ASCII  d'un  caractère  donné  en  entrée  et
  \texttt{chr} renvoie le caractère dont on a donné le code ASCII en entrée.

  Par exemple:

  \begin{pythoncode}
In [213]: ord('a')
Out[213]: 97

In [214]: chr(97)
Out[214]: 'a'

In [215]: ord('A')
Out[215]: 65

In [216]: ord('B')
Out[216]: 66

In [217]: ord('b')
Out[217]: 98
\end{pythoncode}
  

  Construisez une  fonction Python qui prend  en entrée une lettre  majuscule et
  renvoie la même lettre en minuscule. Par exemple, vous devez obtenir:

  \begin{pythoncode}
In [220]: to_minus('E')
Out[222]: 'e'
\end{pythoncode}
  


  
  
\end{pyxercice}


\begin{exercice}
  On  considère un  \og  mécanisme\fg{}  qui prend  deux  entiers \texttt{p}  et
  \texttt{q} en entrée et renvoie
  leur produit: est-ce une fonction?


  On considère  un \og mécanisme\fg{}  qui prend un  entier en entrée  un entier
  \texttt{m} et qui renvoie un couple d'entiers dont \texttt{m} est 
  le produit: est-ce une fonction?

\end{exercice}








\begin{exercice}
Un appareil a relevé de manière continue la température dans un abri entre 0 heure à 24 heures. Les points notés
sur la courbe indiquent des relevés exacts.



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{fig7Fonc}
\end{center}
\caption{}
\label{ex1}
\end{figure}

  
Sur ce graphique, on peut lire par exemple qu'a 12h00, la température était de 4\degre. Au nombre 12 est ainsi associé la valeur 4. On note $\boldsymbol{f(12) = 4}$ ou encore $\boldsymbol{f : 12\mapsto 4}$. La \textbf{fonction $f$} représente l'association entre l'heure et la température. On dit que 12 a pour \textbf{image} 4 ou que 4 est \textbf{l'image de $12$ par la fonction $f$}.

\begin{enumerate}
\item Compléter :
	\begin{enumerate}
	\item La température à 4h00 est de~\hspace{1.2cm}~donc $f(4)=$\hspace{1.2cm}.\\ L'image de 4 par $f$ est
\mbox{\hspace{1.2cm}.}
	\item $f(9)$ = \hspace{1.2cm}. L'image de 9 par la fonction $f$ est  \hspace{1.2cm}.\\ Il faisait 
\hspace{1.2cm} $^o$ à  \hspace{1.2cm} heures.
	\item L'image de 20 par la fonction $f$ est \hspace{1.2cm} donc la température était de \hspace{1.2cm} à
\hspace{1.2cm}.
	\item $f(\hspace{1.2cm})=7$ donc à \hspace{1.2cm} heures la température était de \hspace{1.2cm}\degre. 
	\item $f : 6 \mapsto \hspace{1.2cm} $ donc l'image de \hspace{1.2cm}.
	\end{enumerate}
\item Expliquer pourquoi il n'existe pas plusieurs points distincts de la courbe qui ont la même abscisse ? 
\hspace{11.5cm}
\item Déterminer l'intervalle de temps pendant lequel la température a été relevée :\\ $\DR_f=$\hspace{2cm}
\item Plus généralement, on note $x$ l'heure de l'enregistrement et $f(x)$ la température correspondante (avec $x$
appartenant à $\DR_f$).
Compléter le tableau suivant : 
\begin{center}
$\begin{array}{|*{10}{>\hfil p{1cm}|}}
\hline $x$&0&3&6&9&12&15&18&21&24 \\ \hline
$f(x)$&&&&&&&&& \\ \hline \end{array}$
\end{center}
\end{enumerate}
}

\end{exercice}









\begin{exercice}
  Traduire par une ou plusieurs égalités chacune des phrases suivantes :
	\begin{enumerate}
	\item L'image de 5 par la fonction $f$ est égale à 4.
	\item 5 est l'image de $-3$ par la fonction $f$.
	\item 2 a pour image $0$ par la fonction $f$.
	\item Les images de $2$ et $4$ par la fonction $f$ sont nulles.
	\item Les nombres qui ont pour image $5$ par la fonction $f$ sont $-3$ et $0$.
	\item $1$ est l'image des nombres $-2$ et $1$ par la fonction $f$.
	\item Au nombre $8$, on associe le nombre $17$ par la fonction $f$.
	\item $f$ est une fonction qui, au nombre $-2$ associe le nombre $\sqrt3$.
	\item $f$ est la fonction qui à tout nombre réel $x$ associe son carré.
	\item $f$ associe à tout nombre réel $x$ la somme de son carré et de son triple.
% 	\item La fonction $f$ fait correspondre, à la durée $t$ d'un trajet, la distance $d$ parcourue.
\end{enumerate}
\end{exercice}




\begin{exercice}
  Traduire chaque égalité par une phrase, en utilisant le mot image:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(-2)=1$
\item $f(x)=-2$
\item $g(4)=0$
\item $b=g(0)$
\item $y=f(x)$
\item $v=f(t)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}




\begin{exercice}
  Here is the table of values of a function $f$ :
$$\begin{tabular}{|*{8}{>\hfil p{1cm}|}} \hline
$x$    & $-3$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\ \hline
$f(x)$ & $5$  & $0$  & $3$  & $5$ & $2$ & $1$ & $4$ \\ \hline
\end{tabular}$$
\begin{enumerate}
 \item What is the image of $-2$ ?
 \item What number has image $2$ ?
 \item What number has preimage $-1$ ?
 \item Give two numbers that have the same image.
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}
  La courbe ci-contre représente une fonction $f$.\\
\begin{minipage}{8cm}
\begin{enumerate}
  \item Compléter les phrases suivantes : 
	\begin{itemize}
	\item L'image de $1$ est \hspace{1.2cm}.
	\item L'image de \hspace{1.2cm} est $4$.
	\item L'antécédent de $-3$ est \hspace{1.2cm}.
	\item L'antécédent de \hspace{1.2cm} est $4$.
	\end{itemize}
  \item Compléter les égalités : 
	\begin{itemize}
	 \item $f(-3)=\hspace{1.2cm}$.
	 \item $f(\hspace{1.2cm})=-3$.
	 \item $f(0)=\hspace{1.2cm}$.
	 \item $f(\hspace{1.2cm})=-4$.
	\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=8cm]{fig8Fonc}
\end{center}
\caption{}
\label{ex1}
\end{figure}

  \end{minipage}
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
 \item Dresser le tableau de valeurs de $f$ pour $x$ variant entre $-6$ et $6$, de $1$ en $1$.
 %\pagebreak
 \item Compléter les phrases en utilisant soit ``Pour tout \dots on a \dots'' soit ``il existe un \dots tel que \dots''.
	\begin{enumerate}
        \item \dots nombre réel $x$ \dots $f(x)=3$.
        \item \dots nombre réel $x$ \dots $f(x)\leq4$.
        \item \dots nombre réel $x$ \dots $f(x)=-3$.
        \item \dots nombre réel $x$ de $[-4;-2]$, \dots $f(x)$ est positif.
        \item \dots nombre réel $x$ de $[0;5]$, \dots $f(x)$ est négatif.
       \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}






\begin{exercice}
  Below  is given  the graph  of a  function $f$  defined over  $[-4,3]$ by  the
  formula $f(x)=0.5(x+1)^2-2$





\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=5cm]{fig9Fonc}
\end{center}
\caption{}
\label{ex1}
\end{figure}



  \begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
	\item Read on the graph the images of 0, $-1$ and $\sqrt{2}$.
	\item Check these results using the formula.
	\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
	\item Read on the graph the preimages of 0, $-3$ and $-2$.
	\item Check these results using the formula.
	\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
	\item Are the following point on the graph of $f$ ? $$A(1,0) \quad ; \quad B(2,2)\quad ; \quad C(-3,0).$$
	\item Explain how you can check the previous answer using the formula, and do it.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}
  Cet exercice est un vrai ou faux. Justifier pour chacune des propositions suivantes si elle est vraie ou fausse
puis rectifier les propositions fausses.

%Une réponse correcte et justifiée rapporte 1 point. Une mauvaise réponse ou réponse correcte non justifiée ne rapporte ni n'enlève de points.

\medskip
La courbe d'une fonction $f$ a été représentée ci-dessous.
\begin{multicols}{2}

\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=6cm]{fig91Fonc}
\end{center}
\caption{}
\label{ex1}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item $3,5$ a pour image $-6$ par $f$.
\item $3$ est l'image de $0$ par $f$.
\item La courbe représentative de $f$ a deux points d'ordonnée nulle.
\item $f(-1)=f(2)$.
\item $f(x)$ n'est jamais inférieur à $1,5$.
\item $f(2)<f(3)$.
\item si $0\leq x \leq3$ alors $0\leq f(x)\leq 4$.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{exercice}






\begin{exercice}
  On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=(x+1)^2+4$.
\begin{enumerate}
	\item Déterminer par le calcul les images de $0$, de $-1$ et de $\sqrt2$.
	\item Déterminer les antécédents de $0$, puis ceux de $4$ et enfin ceux de $8$.
	\item Dresser un tableau de valeurs de pas 1 pour $x$ variant de $-4$ à $3$.
	\item Tracer la représentation graphique de $f$.
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}
  On considère l'algorithme ci-dessous : 
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item Déterminer l'image de $0$ par cet algorithme.
 \item Déterminer l'image de $-3$ par cet algorithme.
       Quel modification faudrait-il apporter à l'algorithme pour éviter le problème ?
 \item Soit $f$ la fonction qui à la variable $x$ associe le réel $y$ obtenu après application de l'algorithme. Donner
l'expression algébrique de $f$. Simplifier.
\end{enumerate}
\begin{center}\vspace*{-15pt}
\begin{minipage}[t]{7cm}
%\IncMargin{1em}
\begin{algo}
%\KwData{$x$, $a$ and $b$ three real numbers \;}
  \FUNC{f}{\pfarg{$x$}{réel}}{réel}
  \BEGIN
\STATE{$a$ \recoit{} $x+2 $ }
\STATE{$b$ \recoit{} $\dfrac{1}{a+1} $ }
\STATE{$y$ \recoit{} $ a^2+\dfrac{1}{b} $} 
\RETURN{$y$}
\END
\end{algo}
%\DecMargin{1em}
\end{minipage}
\end{center}
\end{multicols}
\end{exercice}




\begin{exercice}
  Pour  chacune  des  courbes  ci-dessous,  indiquer  s'il  peut  s'agir  de  la
  représentation graphique d'une fonction.
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.9\linewidth]{fig92Fonc}
\end{center}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.9\linewidth]{fig93Fonc}
\end{center}
\caption{}
\label{ex1}
\end{figure}
  
\end{exercice}



\begin{exercice}
  Parmi les tableaux de valeurs ci-dessous, lequel ne peut pas \^etre celui d'une fonction. Justifier.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
% \item \begin{tabular}{|*{8}{c|}} \hline
% 			$x$ & $-5$ & $-2$ & $0$ & $1$ & $10$ & $-3$ & $-4$ \\\hline 
% 			$y$ & $2$  & $3$  & $1$ & $7$ & $5$  & $4$  & $6$ \\\hline
% 			\end{tabular}
\item \begin{tabular}{|*{8}{c|}} \hline
			$x$ & $-5$ & $-2$ & $0$ & $1$ & $10$ & $-3$ & $-4$ \\\hline 
			$y$ & $2$  & $3$  & $1$ & $2$ & $3$  & $1$  & $2$ \\\hline
			\end{tabular}
\item \begin{tabular}{|*{8}{c|}} \hline
			$x$ & $-5$ & $-2$ & $0$ & $-5$ & $-2$ & $0$ & $-5$ \\\hline 
			$y$ & $2$  & $3$  & $1$ & $7$ & $5$  & $4$  & $6$ \\\hline
			\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}







\begin{exercice}
  L'algorithme ci-dessous est une simplification du procédé utilisé pour tracer des courbes en CAO.
\begin{center}\vspace*{-15pt}
\begin{minipage}[t]{12cm}

\begin{algo}
%\KwData{$x$, $a$ and $b$ three real numbers \;}
  \FUNC{f}{\pfarg{$x$, $a$, $b$}{ réels}}{réels}
  \BEGIN
\IF{$x\in [0;1]$ }
\STATE{$a$ \recoit{} $x$}
  \STATE{$b$ \recoit{} 0}
  
  \ELSEIF{$x\in [1;2]$}
\STATE{$a$ \recoit{} $x$}
  \STATE{$b$ \recoit{} $x-1$}
  \ELSEIF{$x\in [2;3]$}
\STATE{$a$ \recoit{} $4-x$}
  \STATE{$b$ \recoit{} $x-1$}
  \ELSEIF{$x\in [3;4]$ }
\STATE{$a$ \recoit{} $4-x$}
  \STATE{$b$ \recoit{} $5-x$}
  \ELSEIF{$x\in [4;5]$}
\STATE{$a$ \recoit{} $0$}
  \STATE{$b$ \recoit{} $5-x$}
\ENDIF
\RETURN{$a$, $b$}
\END
\end{algo}

\end{minipage}
\end{center}
\begin{enumerate}
 \item En utilisant l'algorithme, compléter le tableau de valeur suivant : 
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|*{11}{p{0.5cm}|}}\hline
	$x$ & 0 & 0.5 &1 &1.5&2&2.5&3&3.5&4&4.5&5\\\hline
	$a$ &   &     &  &   & &   & &   & &   &  \\\hline
	$b$ &   &     &  &   & &   & &   & &   &  \\\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
 \item Dans un repère, placer l'ensemble des points de coordonnées $(a;b)$ obtenus ci-dessus.
 \item La courbe obtenue est-elle celle d'une fonction ? Expliquer
\end{enumerate}
\end{exercice}

















\begin{exercice}[Les Syldaves et leurs Schritzz\^n\`otschhs à poil vert]
  
Les Syldaves aiment les animaux et ceux-ci le leur rendent bien. Le Schritzz\^n\`otschh à poil vert est d'ailleurs comme vous le savez l'animal préféré des Syldaves.

Si vous allez en Syldavie, une question que ne manqueront pas de vous poser les indigènes est~:~\og
entre votre Schritzz\^n\`otschh à poil vert et vous, qui est le plus jeune ?\fg.

Pour ne pas vous laisser surprendre, mieux vaut jeter un coup d'\oe il sur le tableau suivant :

\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{22}{c|}}\hline
$x$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 &
17 & 18 & 19 & 20 \\ \hline
$y$ & 0 & 16 & 23 & 28 & 32 & 36 & 40 & 44 & 48 & 52 & 56 & 60 & 64 & 68 & 72 &
76 & 80 & 84 & 88 & 92 & 96 \\ \hline 
\end{tabular}
\caption{L'âge d'un Schritzz\^n\`otschh à poil vert ramené à l'échelle humaine}
\end{center}
\end{table}




$x$ est l'\^age du Schritzz\^n\`otschh à poil vert (en années) et $y$ est l'\^age humain correspondant
(en années).

\begin{enumerate}
 
\item Représenter dans un repère orthogonal $\oij$ les points de coordonnées
$(x;y)$ correspondant aux différentes valeurs du tableau ci-dessus
(échelle: 1 cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2 mm pour une année sur
l'axe des ordonnées). Que remarque-t-on ?


\item \begin{enumerate} %
	\item On appelle $D$ la droite à laquelle appartiennent la majorité
	des points du graphique. 
	
	Déterminer une équation de $D$. 
	
	\item  Adolf a 4 ans et demi; à quel \^age humain cela correspond-il ?
	\item  Quel sera l'\^age de Grossertaleruntersturmenfeldenfühlenratschweintöte lorsque son \^age humain
		correspondant sera 89 ans ?
	\item Stalishnaïa a 9 mois; peut-on estimer avec précision, en utilisant la
		droite $D$, l'\^age humain correspondant ? 
	
	\end{enumerate}

\item On propose de compléter la formule précédente pour 
$0\leqslant x\leqslant 2$. 

	\begin{enumerate}
	\item Tracer les trois segments de droites $[OA]$, $[AB]$ et $[BC]$ avec
	$A(1;16)$, $B(2;23)$ et $C(2;28)$.
	
	Si l'on respecte le graphique, quelle est la formule liant $x$ et $y$ pour :
	\begin{multicols}{3}
	\begin{listerd}
	\item $0\leqslant x\leqslant 1$
	\item $1\leqslant x\leqslant 2$
	\item $2\leqslant x\leqslant 3$
	\end{listerd}
	\end{multicols}
	
	Dans ces conditions, quel est l'\^age humain correspondant à l'\^age du Schritzz\^n\`otschh à poil vert
	Stalishnaïa ?
	
	\item On envisage de chercher une formule conduisant à une courbe
	au tracé \og plus régulier\fg  entre les trois premiers points $O$, $A$, $B$.
	
	On propose : $y = ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels. 
	
	Calculer $a$, $b$ et $c$ sachant que la courbe doit passer par les points $O$,
	$A$ et $B$.
	
	Compléter le tableau suivant à l'aide de la formule obtenue :
	
	\begin{table}[h]
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|*{17}{c|}}\hline
	$x$ & 0 & 0,2 & 0,4 & 0,6 & 0,8 & 1 & 1,2 & 1,4 & 1,6 & 1,8 & 2 
	 & 2,2 & 2,4 & 2,6 & 2,8 & 3 \\ \hline
	\vtab $y$ & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & 
	\hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} &
	\hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} &
	\hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} & \hspace{.6cm} &
	\hspace{.6cm} \\ \hline
	\end{tabular}
	\end{center}
	\end{table}
	
	Représenter dans un repère orthogonal les points de coordonnées $(x,y)$
	correspondant aux différentes valeurs du tableau ci-dessus (échelle : 5 cm
	pour une année sur l'axe des abscisses, 2 mm pour une année sur l'axe des
	ordonnées). Tracer la courbe qui en résulte.
	
	Placer les points $A$, $B$ et $C$. Cette courbe passe-t-elle par le point $C$.
	
	
	\end{enumerate}

\item Un grand savant syldave propose de décrire la correspondance entre l'\^age d'un
Schritzz\^n\`otschh à poil vert et celui d'un \^etre humain par une formule unique pour :
$0\leqslant x\leqslant 10$ :
$$y = 4( x + 4 ) - 4^{(2-x)}$$ 

	\begin{enumerate}
	\item Calculer $y$ pour chacun des entiers 0, 1, 2. Cette formule vous
	para\^it-elle satisfaisante ?
	
	\item En utilisant une calculatrice, calculer $y$ pour 
	\begin{listerd}
	\item $x$ variant de 0 à 1 au pas de 0,1;
	\item $x$ variant de 1 à 2 au pas de 0,2;
	\item $x$ variant de 2 à 10 au pas de 0,5.
	\end{listerd}
	Représenter sur le m\^eme graphique qu'au \textbf{3.2.} 1es points de
	coordonnées $(x;y)$ pour $0\leqslant x\leqslant 10$
	
	\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{exercice}




\begin{exercice}[\'Evolution de la population des Schritzz\^n\`otschhs à poil vert]
  
L'évolution de la  population des Schritzz\^n\`otschhs à poil vert d'une année à l'année suivante a,
dans certains cas, été modélisée par des écologistes syldaves de la façon suivante :
\begin{itemize}
\item soit $x$ la population, en milliers d'individus, d'une année donnée;
\item la population $x'$ l'année suivante, toujours en milliers d'individus,
est : $$x'=f(x)=\lambda x(1-x)$$
\end{itemize}

On se propose d'étudier une telle évolution dans le cas particulier où :
$x'=f(x)=1,6 x(1-x)$ et $x\in[0,1]$.

Sur le graphique \vref{pop},
on a représenté $\mathcal{C}$ la courbe représentative
de la fonction $f$ ainsi que la droite $D$ d'équation $y=x$.


\subsection*{Exemples d'évolution de la population d'une
	année à l'année suivante}

\begin{enumerate}
\item La population, une année donnée, est égale à $0,7$.
	Soit $p$ la population de l'année suivante.
	\begin{enumerate}
	\item Vrai ou faux ?
	
	\begin{enumerate}
	\item $p$ est un antécédent de $0,7$ par $f$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $p$ est la solution de l'équation $f(x)=x$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $p=f(0,7)$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $p$ est une solution de l'équation $f(x)=0,7$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $p$ est l'image de $0,7$ par $f$ \hfill Vrai -- Faux 
	\end{enumerate}
	
	\item Déterminer $p$ à l'aide du graphique, puis à l'aide d'une
		calculatrice.
	
	\end{enumerate}

\item La population, une année donnée, est égale à $q$ (non nul) et
	s'éteint l'année suivante.
	\begin{enumerate}
	\item Vrai ou faux ?
	
	\begin{enumerate}
	\item $q$ est un antécédent de $0$ par $f$ \hfill Vrai -- Faux 
	\item $q$ est la solution de l'équation $f(x)=x$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $q=f(0)$ \hfill Vrai -- Faux \hspace{5cm}  
	\item $q$ est une solution de l'équation $f(x)=0$ \hfill Vrai -- Faux  
	\item $q$ est l'image de $0$ par $f$ \hfill Vrai -- Faux  
	\end{enumerate}
	
	\item Déterminer $q$ à l'aide du graphique, puis à l'aide d'une
		calculatrice.
	\item Pourquoi la population s'est-elle éteinte ?
	
	\end{enumerate}

\item La population, une année donnée, est égale à $r$ (non nul) et
	reste la même l'année suivante.
	\begin{enumerate}
	\item Vrai ou faux ?
	
          \begin{enumerate}
	\item $r$ est un antécédent de $0$ par $f$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $r$ est la solution de l'équation $f(x)=x$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $r=f(0)$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $r$ est une solution de l'équation $f(x)=0$ \hfill Vrai -- Faux
	\item $r$ est l'image de $0$ par $f$ \hfill Vrai -- Faux
	\end{enumerate}
	
	
	\item Déterminer $r$ à l'aide du graphique, puis à l'aide d'une
		calculatrice.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection*{Etude de l'évolution d'une population sur plusieurs années}

En 1990, la population de Schritzz\^n\`otschhs à poil vert compte 0,9 milliers d'individus.

On pose $a=0,9$, $b=f(a)$, $c=f(b)$, $d=f(c)$, $e=f(d)$, $g=f(e)$, $h=f(g)$ et
$i=f(h)$,  

\begin{enumerate}
\item Que représentent les nombres $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $g$, $h$
	et $i$ par rapport à la population de Schritzz\^n\`otschhs à poil vert ?

\item \textbf{Etude graphique}
	\begin{enumerate}
	\item En s'aidant de la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ et
		de la droite $D$, placer successivement $a$ sur l'axe des abscisses,
		puis $b$ sur l'axe des ordonnées, puis $b$ sur l'axe des abscisses,
		puis $c$ sur l'axe des ordonnées, etc ...
	
	\item Déterminer graphiquement l'évolution à long terme de la
		population de Schritzz\^n\`otschhs à poil vert.
	
	\end{enumerate}

\item \textbf{Etude algébrique}

	\begin{enumerate}
	\item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une valeur approchée
		de chacun de ces 7 nombres à 0,01 près.
	\item Grâce à ces valeurs numériques, vérifier et éventuellement
		corriger les constructions graphiques.
	\item Comment évolue à long terme la population de Schritzz\^n\`otschhs à poil vert ?
	
	\end{enumerate}

\item \textbf{Comparaison des méthodes}
	
	Quels avantages peut-on trouver à chacune des méthodes
	algébrique et graphique pour l'étude de l'évolution de cette
	population:
	\begin{enumerate}
	\item du point de vue de la précision des résultats ?
	\item du point de vue de la compréhension des phénomènes ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=8cm]{fig1Fonc}
\end{center}
\caption{\'Evolution de la population de Schritzz\^n\`otschhs à poil vert}
\label{pop}
\end{figure}



\end{exercice}






\begin{exercice}[Science Syldave]

  
\subsection*{Chimie}

Au temps $t=0$ on met du Atchtzztscct et du Brtzzscfghj (notés )$A$ et $B$) dans un bécher.
Ils réagissent ensemble de sorte que l'on a constamment $C_A(t)+C_B(t)=1$, où $C_A(t)$~et~$C_B(t)$ 
sont les concentrations respectives des produits $A$ et $B$ au temps $t$.
Sur le graphique~\vref{chch} on a représenté la concentration du produit $A$ en fonction du temps (en heures).
\begin{enumerate}
\item Représenter sur le même graphique la concentration $C_B(t)$ du produit $B$. 
\item Résoudre les équations et inéquations suivantes :  
\begin{enumerate}
\item $C_A(t)=C_B(t)$ 
\item $C_A(t)\geqslant C_B(t)$ 

\item $C_B(t)\geqslant 0,6$ 
\end{enumerate} 
 
\end{enumerate} 


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=8cm]{fig2Fonc}
\end{center}
\caption{Concentration de Atchtzztscct en fonction du temps}
\label{chch}
\end{figure}





%\begin{minipage}[b]{7.3cm} 
\subsection*{Électricité} 
 
En électricité, si on mesure l'intensité qui traverse une résistance ainsi que la tension à ses bor
nes, on trouve la relation suivante : 
 $$\fbox{$U=RI$}$$ 
où : 

\begin{itemize} 
\item $U$ est tension (en Volts) 
\item $R$ est la résistance (en Ohms) 

\item $I$ est l'intensité (en Ampères) 
\end{itemize} 
On effectue une expérience au cours de laquelle on fixe la tension $U=400 V$ aux bornes d'un dipôle
 et on augmente petit à petit la valeur de la résistance de ce dipôle. 
La mesure $R(t)$ de cette résistance au cours du temps est donnée par le graphique \vref{riri}. 
 

\begin{enumerate} 
 
\item Représenter dans le même graphique l'intensité $I(t)$ en fonction du temps. 

 
\item Résoudre les équations et inéquations suivantes: 

\begin{enumerate} 
\item $I(t)=20$ 
\item $I(t)\leqslant 10$ 

\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
%\end{minipage} 




\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=8cm]{fig3Fonc}
\end{center}
\caption{Résistance en fonction du temps}
\label{riri}
\end{figure}

  
\end{exercice}




\begin{exercice}[Résolution graphique]
  
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{enumerate}
\item On a représenté dans un même repère orthonormal sur l'intervalle $[-4;3]$
\begin{itemize}
\item la fonction $f$ définie sur $\Re$ par $f(x)=(x+2)^2$,
\item la fonction $g$ définie sur $\Re$ par $g(x)=5x+10$.
\end{itemize}
\item Utiliser ces représentations graphiques pour résoudre graphiquement :
  \begin{enumerate}
  \item l'équation $(x+2)^2=5x+10$;
  \item l'inéquation $(x+2)^2\leqslant 5x+10$.
  \end{enumerate}
\item Retrouver les résultats précédents par le calcul.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{fig4Fonc}
\end{center}
\end{minipage}




\end{exercice}






\begin{exercice}
  Une balle est lancée d'une hauteur de 2 mètres (c'est à dire du bout du bras d'une joueuse), avec un angle
d'environ $11^\circ$ par rapport au sol. Elle suit alors une trajectoire donnée approximativement par la formule
$$h(x)=-0,04x^2+0,2x+2.$$

\begin{enumerate}
  \item 
\begin{enumerate}
\item Dresser un tableau de valeurs pour $h$ avec toutes les valeurs de $x$ entières entre $0$ et $10$. Quelle semble
être la valeur maximale de $h(x)$.
\item Représenter graphiquement la fonction $h$ sur l'intervalle $[0;10]$.
\item Décrire les variations de $h$ par un tableau de variations sur l'intervalle $[0;10]$.
\item Utiliser les éléments précédents pour répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
	\item A quelle distance du point de lancer la balle touche-t-elle le sol ?
	\item A quelle distance la balle atteint-elle son altitude maximale ?
	\item Pour quelles distances la balle est-elle au-dessus de son altitude initiale ? Pour quelles distances
est-elle en-dessous ?
	\item Pour quelles distances la balle est-elle à une altitude comprise entre 1 et 2 mètres ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item 
Après le premier rebond, la balle suit une trajectoire donnée approximativement par la formule 
$$h(x)=-0,1x^2+2,5x-15.$$

\begin{enumerate}
\item A quelle distance du point de lancer la balle touche-t-elle le sol pour la 2ème fois ?
\item A quelle distance la balle atteint-elle son altitude maximale entre les deux rebonds ? Comparer cette altitude
maximale avec la valeur maximale avant le premier rebond.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}






\begin{exercice}
  Let $f$ and $g$ be two functions such that $f(x)=x^2+2x$ and $g(x)=-x^2-2x+6$.

\begin{enumerate}
\item Draw the graphs of functions $f$ and $g$ in the same coordinate system.
\item Solve graphically the equations and inequations below :
  \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
  \item $f(x)=0$ ;
  \item $g(x)=0$ ;
  \item $f(x)=-1$ ;
  \item $f(x)=g(x)$ ;
  \item $f(x)<3$ ;
  \item $f(x)\leq g(x)$.
  \end{enumerate}
  \end{multicols}
\item Find graphically two numbers $x$ such that $g(x)-f(x)=6$.
\item Solve algebraically the equations $f(x)=0$ and $f(x)=-1$.
\item \begin{enumerate}
  \item Prove that the equation $f(x)=g(x)$ is equivalent to $x^2+2x-3=0$. 
  \item Check algebraically that the solutions you found graphically for the equation $f(x)=g(x)$ are such that
$x^2+2x-3=0$.
  \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
  \item Prove that the equation $g(x)-f(x)=6$ is equivalent to $x^2+2x=0$. 
  \item Deduce the solutions of the equation $g(x)-f(x)=6$. Do you find the same values that you found graphically ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}



%%


% \exot{tableau de variation}



% \begin{exercice}
  
% On donne le tableau de variations suivant :\\

% \begin{center}
% \begin{variations}
% x        & -6    &     &   -1  &     &  2    &     & 7\\
% %\filet
% %f'(x)    &       &  -  &   0   &  +  &  0    &  -  &   \\
% \filet
% \m{f(x)} & \h{0} & \d  &  -6   &  \c & \h{5} &  \d & 1 \\
% \end{variations}
% \end{center}

% \begin{enumerate}
% \item Donner l'ensemble de définition ${\cal D}_f$ de la fonction $f$.
% \item Comparer $f(3)$ et $f(4)$.
% \item Déterminer le maximum de la fonction $f$ sur $[-6;7]$.
% \item Déterminer le maximum de la fonction $f$ sur $[-6;-1]$.
% \item Combien $4$ a-t-il d'antécédents ? Justifier
% \end{enumerate}

% \end{exercice}

% % \exot{Tableau de variation bis}

% \begin{exercice}
%   \parbox[l]{0.45\linewidth}
%   {
% %\begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=7cm]{fig51Fonc}
% \end{center}
% %\caption{Courbe représentative de $g$}
% %\label{loulou}
% %\end{figure}
%   }
% % {\begin{center}
% % %-------------- unités
% % \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
% % %-------------- (xmin,ymin)(xmax,ymax)
% % \begin{pspicture}(-2,-10)(4,4)
% % %-------------- [graduations](xmin,ymin)(xmax,ymax)
% % \psaxes[Dx=2,Dy=2](0,0)(-2,-10)(4,4)
% % %-------------- grilles
% % \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=5](0,0)(-2,-10)(4,4)
% % %------------- nom de la courbe
% % \uput[r](1.5,-4){$(\mathcal{C}_g)$}
% % %------------- {xmin}{xmax}{expression de la fonction}
% % \psplot{-2}{4}{x 4 exp -0.5 mul  x 3 exp 2 mul add x 2 exp add x -6 mul add -2 add}
% % \end{pspicture} 
% % \end{center}}
%   \hfill \parbox[l]{0.45\linewidth}
%  {
% \begin{enumerate}
% \item Donner le tableau de variations de la fonction $g$ dont on a donné ci-contre la courbe représentative.
% \item Combien l'équation $g(x)=0$ a-t-elle de solutions ? Justifier. On ne demande pas les valeurs des solutions.
% \item Résoudre l'équation $g(x)=-2$.
% \item On donne :
% $$ g(x)= -\dfrac{1}{2}x^4+2x^3+x^2-6x-2.$$
% Calculer l'image de $3$.

% \end{enumerate}
%  }


% \end{exercice}



% \exot{Une ou plusieurs ?}

\begin{exercice}

On appelle $({\cal C}_f)$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-5~;~8]$.\\
On sait que la courbe passe par les points $A(-5~;~1)$, $B(-1~;~3)$, $C(3~;~4)$, $D(6~;~3)$ et $E(8~;~-1)$.
\begin{enumerate}
\item Placer ces points dans un repère du plan.
\item Tracer une courbe pouvant représenter $f$ sachant que :
  \begin{itemize}
  \item $f$ est strictement croissante sur $[-5~;~3]$ ;
  \item $f$ est strictement décroissante sur $[3~;~8]$.
  \end{itemize}
\item Quel est l'image de $3$ ?
\item $3$ a-t-il des antécédents ? Si oui, préciser lesquels.
\item Peut-on tracer une autre courbe respectant les conditions données ?
\end{enumerate}


\end{exercice}
% \exot{Signe et variation}



% \begin{exercice}
% Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ :\\

% \begin{center}
% \begin{variations}
% x        & -10     &     &  -6   &     &  -1    &     & 4\\
% %\filet
% %f'(x)    &         &  -  &   0   &  +  &  0    &  -  &   \\
% \filet
% \m{f(x)} & \h{5} & \d  &  -1  &  \c & \h{3} &  \d & -5 \\
% \end{variations}
% \end{center}



% Voici son tableau de signes :\\

% \begin{center}
% \begin{variations}
% x      & -10 &     &  -7 &       & -3 &       &  1 &     &4\\
% \filet\filet
% f(x)   &     & +~~ &  \z & ~~-~~ & \z & ~~+~~ & \z & ~~- & \\
% \end{variations}
% \end{center}

% Tracer une représentation graphique de cette fonction.


% \end{exercice}

% % \exot{Prudence}


% \begin{exercice}
  
% Soit la fonction $f$ définie par :
% $$f(x)=2x^2-x+1.$$

% \begin{enumerate}
% \item Calculer, à l'aide de la calculatrice,  les images des nombres suivants :  $0$ ; $0,5$ ; $1$ ; $1,5$ et $2$.
% \item Quelle conjecture peut-on alors faire sur la  fonction $f$  sur l'intervalle $[0;2]$ ?
% \item Calculer $f(0,4)$.
% \item Que peut-on dire de la conjecture précédente ?
% \end{enumerate}

% \end{exercice}









% % \exot{Tableau de variation encore}

% \begin{exercice}
% \begin{center}
% \begin{variations}
% x        & -5     &     &  -2   &     &  0    &     & 3\\
% %\filet
% %f'(x)    &         &  -  &   0   &  +  &  0    &  -  &   \\
% \filet
% \m{f(x)} & \h{4} & \d  &  1  &  \c & \h{3} &  \d & -1 \\
% \end{variations}
% \end{center}

% A l'aide du tableau de variations, indiquer si les égalités ou inégalités proposées sont vraies, fausses ou si le tableau des variations ne permet pas de conclure.\\

% \begin{center}
% \begin{tabular}[l]{|l|l|}
% \hline
% $f(-1)=0$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
% \hline
% $f(-4) > f(-2)$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
% \hline
% $f(1) > f(2) \qquad$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
% \hline
% $f(-1)= 2$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
% \hline
% $f(-3) > 1$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
% \hline
% $f(-1) < f(-5)$ & $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ \\
% \hline
% \end{tabular}
% \end{center}
% \end{exercice}




% % \exot{Parité}


% % Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$ :
% % \begin{itemize}
% % \item[$\bullet$] $f(x)=8x^3-4x+5$\\

% % \item[$\bullet$] $g(x)=\dfrac{2x}{|x|}$\\

% % \item[$\bullet$] $h(x)=x\sqrt{4-x^2}$
% %  \end{itemize}


% % \exot{Parité : le retour}
% % \begin{minipage}{0.4\textwidth}
% % Soit $f$ la fonction impaire définie sur $[-2~;~2]$.\\
% % Son tableau de variations sur $[0~;~2]$ est donné ci-dessus.\\

% % Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-2~;~2]$.
% % \end{minipage}
% % \begin{minipage}{0.4\textwidth}
% % \begin{center}
% % \begin{variations}
% % x        & 0     &     &   1   &     & 2\\
% % %\filet
% % %f'(x)    &         &  -  &   0   &  +  &    \\
% % \filet
% % \m{f(x)} & \h{0} & \d  &  -1   &  \c & \h{4} \\
% % \end{variations}

% % \end{center}
% % \end{minipage}




% % \exot{Fonction affine}


% \begin{exercice}

% Soit $f$ la fonction affine tel que $f(1)=2$ et $f(-1)=4$.

% \begin{enumerate}
% \item Déterminer l'expression de $f$.
% \item Représenter la courbe $({\cal C}_f)$ représentative de $f$ dans un repère orthonormal.
% \end{enumerate}
% \end{exercice}





% % \exot{Ensemble de définition}


% \begin{exercice}
% Donner les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression suivante a un sens, puis réduire l'expression au même dénominateur :\\

% $f(x)=\dfrac{2}{x+4}-\dfrac{5}{x-1}+2$

% \end{exercice}
% %\exot{Fonctions affines}



% \begin{exercice}

% Dans un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, on définit la droite $(d)$ par son équation réduite $y=-\dfrac{4}{3}x+2$.\\

% \begin{enumerate}
% \item Donner trois points de coordonnées entières de la droite $(d)$.
% \item Tracer la droite $(d)$.
% \item Mettre en évidence sur le graphique \textbf{le coefficient directeur} et \textbf{l'ordonnée à l'origine}.
% \item Déterminer l'équation réduite de la droite $(d')$ parallèle à la droite $(d)$ passant par le point $S(-3~;~-1)$.
% \end{enumerate}
% \end{exercice}








% % \exot{Lecture graphique}


% \begin{exercice}


% \begin{minipage}{0.4\textwidth}

% \begin{enumerate}
% \item Résoudre graphiquement, en justifiant aussi précisément que possible, en donnant si besoin les valeurs approchées au dixième :
%    \begin{enumerate}
%    \item l'équation $f(x)=0$ ;
%    \item l'équation $f(x)=2$ ;
%    \item l'équation $f(x)=g(x)$ ;
%    \item l'inéquation $f(x) \leqslant 0$.
%    \end{enumerate}
% \item Donner le tableau de variation  de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1~;~2]$.
% \end{enumerate}

% \end{minipage}
% \begin{minipage}{0.4\textwidth}
% \begin{center}
%   \includegraphics[width=\linewidth]{fig6Fonc}
% \end{center}


  
% \begin{center}
% %-------------- unités
% \psset{xunit=.7cm,yunit=.7cm}

% %-------------- (xmin,ymin)(xmax,ymax)
% \def\xmin{-4}
% \def\xmax{6}
% \def\ymin{-5}
% \def\ymax{6}
% %-------------- définition de la fonction \f et \g
% \def\f{x 2 exp 2 x mul sub 1 sub}%{x^2-2x-1}
% \def\g{ 0 2 x 2 exp mul sub 4 x mul add 1 sub}%{-2x^2+4x-1}
% \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
% %-------------- découpage de la boîte
% \psclip{\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)}
% %-------------- [graduations]
% \psaxes[Dx=1,Dy=1](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
% %-------------- grilles
% \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=0,griddots=2](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
% %-------------- repère Oij
% \psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0)
% \uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{i}$}
% \psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1)
% \uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
% %------------- {a}{b}{tracé de la fonction \f sur [a,b]}
% \psplot[plotpoints=200]
% {\xmin}{\xmax}{\f}
% \uput[r](3,2){$(\mathcal{C}_f)$}
% %------------- {a}{b}{tracé de la fonction \g sur [a,b]}
% \psplot[plotpoints=200]
% {\xmin}{\xmax}{\g}
% \uput[u](3,-4){$(\mathcal{C}_g)$}
% %------------- fin du découpage
% \endpsclip
% \end{pspicture}
% \end{center}

%  \end{minipage}



% \end{exercice}







\begin{exercice}[Horner's machines]
Any operation involving additions, multiplications and squares can be described by a \emph{machine} made the three components shown below :
\begin{center}
 
    
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\linewidth]{fig94Fonc}
\end{center}
%\end{figure}

\end{center}


\subsection*{Study of some machines}


\begin{enumerate}
\item Consider the two machines below.
\begin{center}
 
    
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\linewidth]{fig95Fonc}
\end{center}
%\end{figure}

\end{center}
\begin{enumerate}
	  \item Compute the outputs $A$ and $B$.
	  \item What is the output of the second machine (the one of the right-hand side) when the input is $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ and $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ ?
	  \item Express the output of the second machine as a formula with input $a$ and $b$.
	  \end{enumerate}
\item In the two situations below, compare the outputs $A$ and $B$.
	    \begin{itemize}
	    \item \textit{Situation 1:}
              
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\linewidth]{fig96Fonc}
\end{center}
%\end{figure}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	    \item \textit{Situation 2:}
  \begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\linewidth]{fig97Fonc}
\end{center}

 \end{itemize}
\item Draw a machine which outputs $(a+2b)^2$ when $a$ and $b$ are entered.
\item How can the addition component be used to carry out a subtraction ?
\end{enumerate}

\subsection{ The most economical machine}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Check that the outputs $A(x)$ and $B(x)$ of the two machines below are the same.
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.8\linewidth]{fig98Fonc}
\end{center}
 \item Count the number of components and connexions in each of the two machines above. Which on is the most economical ?
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item Check that the outputs $C(x)$ and $D(x)$ of the two machines below are the same.

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.8\linewidth]{fig99Fonc}
\end{center}
\item Count the number of components and connexions in each of the two machines above. Which on is the most economical ?
    \end{enumerate}
% \item \begin{enumerate}
      \item Draw the most economical machine for the expression $7x^4+5x^3+3x^2+6x+4$.
%       \item Deduce the most econominal form of this expression.
%       \end{enumerate}
% \item More generally, let's suppose you have an expanded algebraic expression. How would you transform it to obtain its most economical form ?
\end{enumerate}


\end{exercice}





























\modenormal

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "Poly2e16_17"
%%% End: 
