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\newcommand{\ve}[1]{\overrightarrow{#1}}

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	\raisebox{#1}{%
		$\left(\raisebox{-#1}{\ensuremath{#2}}\right)$}}
            \newcommand{\oij}[1][O]{\DecalV[.8pt]{#1;\ve{\imath},\ve{\jmath}\,}\xspace}

            
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\newcommand{\RR}{\mathcal{R}}

\newcommand{\I}{{\rm \textbf{i}}\,}

%transposee
\usepackage{fouridx}


\paper{DS-M13} % <- do not include FC, FT etc
%\version{0}                     % <- for multiple choice exams
\title{Devoir Surveillé \no 3 - Mathématiques}
\time{Quelques minutes} % <- number of hours: default is three
\semester{2\up{nde} 5}
\annee{17 Décembre 2018} % <- default is the current year

% %\campus{City}
%\note{\small \bfseries Vous justifierez vos réponses
%  avec le plus grand soin. 
 % MAY THE FORCE BE WITH YOU!}


\begin{document}




\begin{exercice}[]


Le Père No\"el s'ennuie en Laponie pendant l'été. Il s'occupe en lançant des elfes vers le haut, depuis
le sommet d'une falaise donnant sur
un lac tranquille. La hauteur en mètres de l'elfe
par rapport à la surface de l'eau est une fonction $f$ du temps 
en seconde, représentée par la courbe $(P)$.


\textbf{Partie A : Étude graphique}



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{DS_fonc_usu_Vecteurs.1}
\end{center}
%\end{figure}



Avec la précision permise par la lecture du graphique précédent, 
répondre aux questions suivantes.  Vous donnerez également à chaque fois
une  expression  mathématique utilisant  la  fonction $f$
(par exemple \og Calculons $f(3)$\fg{} ou \og $f(x)=3$\fg{}, etc.)
\begin{enumerate}
\item À quelle hauteur se trouve l'elfe au moment où le Père Noël le lance~?
\item Pendant combien de temps l'elfe reste-t-elle à une hauteur 
supérieure à la hauteur d'où il a été lancée~?
\item Au bout de combien de temps l'elfe touche-t-il la surface de 
l'eau avant de s'y enfoncer?
\item Quelle est la hauteur maximale atteinte par l'elfe et au bout 
de combien de temps cette hauteur est-elle atteinte?
%\item  Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}


\textbf{Partie B : Etude théorique }

La fonction $f$ est en fait définie sur $[0;3]$ par $f(x) = - 5 x^2 + 10 x + 15$,
 où $x$ désigne le temps en secondes et $f(x)$ la hauteur de l'elfe
 par rapport à la surface de l'eau en mètres. 
\begin{enumerate}
\item Démontrez que $f(x)$ vérifie \[f(x)=20-5 {\left( x-1 \right)}^2\].
\item  Factorisez $f(x)$ et résolvez l'équation $f(x) = 0$ sur $[0\,;\,3]$.\\
Que représente la solution dans le contexte  du lancer d'elfe~?
\item Résolvez l'équation $f(x)=20$ puis l'inéquation $f(x)\leqslant  20$. 
Comment interpréter ce résultat concernant 
  l'expérience du lancer d'elfe?
\item Calculez~:
\begin{enumerate}
\item l'image de $10^{3}$ par $f$~;
\item l'image de $\frac{2}{3}$ par $f$~;
\item l'image de $\sqrt{2}$ par $f$~;
\item  l'image  de  $\frac{2}{1+\sqrt{3}}$  par  $f$.  Vous  écrirez  le
  résultat sans radical au dénominateur en détaillant vos calculs.
\end{enumerate}
\item Le Père Noël est-t-il méchant?
\end{enumerate}


\end{exercice}





\begin{exercice}[]

  
Soit  $f$  définie  par  $f~:~x\longmapsto  3x+2$  et  $\mathscr{C}$  sa  courbe
représentative dans un certain repère.

En utilisant des termes parmi \emph{une équation, une fonction, un nombre, 
un ensemble  de nombre,  un ensemble de  points, un film  de gladiateur,
un elfe du Père Noël, un lombric, une inconnue, un super-héros, une
nullité }, complétez les phrases
suivantes~:

\begin{itemize}
\item $f$ est \dotfill
\item $f(x)$ est \dotfill
\item $f(x)=3$ est \dotfill
\item Dans $f(x)=3$, $x$ est \dotfill
\item Un antécédent de 3 par $f$ est \dotfill
\item $\mathscr{C}$ est \dotfill
\item L'image de 5 par $f$ est \dotfill
\item Les solutions de $f(x)>0$ forment \dotfill
\item Ma voisine est \dotfill
\item J'aime regarder \dotfill
\item Mon prof de maths est \dotfill
\end{itemize}


  
\end{exercice}

\begin{exercice}[]
  Comparez  les nombres  suivants en  utilisant si  nécessaire les  théorèmes du
  cours. Vous détaillerez les opérations effectuées.

  \begin{enumerate}
  \item $12x^2+7$ et $6x^2+5$
    \item On  suppose par la  suite que $x$ et  $y$ sont deux  réels strictement
      positifs tels que $0<x<y$. Comparez:
      \begin{enumerate}
      \item $5x+4$ et $5y+4$
      \item $-3x+2$ et $-3y+2$
      \item $\frac{7}{x}$ et $\frac{7}{y}$
      \item $2x^2-5$ et $2y^2-5$
      \item $-\frac{7}{4x^2}$ et $-\frac{7}{4y^2}$
      \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[]
  Donnez l'intervalle de $\bbr$ défini par les équations suivantes:

  \begin{multicols}{3}
    \begin{enumerate}
    \item $-2<x<4$
    \item $x \geqslant -2,5$
    \item $x \leqslant -3$
    \end{enumerate}
    
  \end{multicols}
\end{exercice}

\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
